Ing Mathematik: Aussagen und Aussagenverknüpfung

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Man kann sagen, dass Aussagen die Substanz der Mathematik sind, das, womit die Mathematik eigentlich arbeitet. Aussagen können wahr oder falsch sein, sie können aus anderen gefolgert werden (oder auch nicht), man kann sie verknüpfen, etc. Dieses Kapitel widmet sich den (oft intuitiven) Regeln, wie man mit Aussagen umzugehen hat. Auch wenn der Ingenieur aller Wahrscheinlichkeit nach in seinem Berufsleben nie wieder Wahrheitstafeln aufstellen muss, prägt dieses grundlegende Prinzip der Mathematik die Denkweise und sollte daher durchaus ernst genommen werden.

Aussagen

Aussage

Eine Aussage ist ein Satz in einer natürlicher oder artifiziellen Sprache, der von seinem Inhalt her entweder wahr oder falsch ist.

Beispiele für Aussagen:

• München ist die Hauptstadt von Polen.
• Die Zahl 4 ist durch 2 teilbar.
• Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper.

Keine Aussagen sind:

• Dubbl Dibbl Dum. (kein Satz, sinnlose Wortzusammenstellung)
• Regnet es jetzt? (Frage)
• Mathematik ist sinnlos. (individuelle Meinungsäußerung)

W (wahr) und F (falsch) werden als Wahrheitswerte einer Aussage bezeichnet. Wahrheitswerte sind logische Konstanten.

Aussageform

Aussageform

Der Ausdruck $A\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)$ heißt Aussageform, wenn bei jeder Substitution der Variablen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ durch Aussagen $A_{1},\ldots ,A_{n}$ der Ausdruck A in eine Aussage, egal ob wahr oder falsch, übergeht.

Aussagenverknüpfung

Es seien A und B Aussagen.

Negation

Die Negation wird auch als Komplement, logisches NICHT oder non bezeichnet.

Schreibweise: $\neg A$

Bedeutung: NICHT A

Wahrheitstafel:

A	$\neg$A
W	F
F	W

Beispiel:

A: 4 ist eine Primzahl. (F)

$\neg A$: 4 ist keine Primzahl. (W)

Konjunktion

Die Konjunktion wird auch als logisches Produkt, logisches UND oder et bezeichnet.

Schreibweise: $A\wedge B$

Bedeutung: A UND B

Wahrheitstafel:

A	B	A$\wedge$B
W	W	W
W	F	F
F	W	F
F	F	F

Beispiel:

A: 4 ist eine Primzahl. (F)

B: 4 ist durch 2 teilbar. (W)

$A\wedge B$: 4 ist eine Primzahl und durch 2 teilbar. (F)

Übung: Stellen sie die Wahrheitstafel für die Aussageverknüpfung $A\wedge (\neg B)$ auf.

Disjunktion

Die Disjunktion wird auch als Alternative, logische Addition, logisches ODER oder vel bezeichnet.

Schreibweise: $A\vee B$

Bedeutung: A ODER B

Wahrheitstafel:

A	B	A$\vee$B
W	W	W
W	F	W
F	W	W
F	F	F

Beispiel:

A: 4 ist eine Primzahl. (F)

B: 4 ist durch 2 teilbar. (W)

$A\vee B$: 4 ist eine Primzahl oder 4 ist durch 2 teilbar. (W)

Übung: Stellen sie die Wahrheitstafel für die Aussageverknüpfung $A\wedge (A\vee B)$ auf.

Antivalenz

Die Antivalenz wird auch als ausschließendes ODER, exklusives ODER oder aut bezeichnet.

Schreibweise: $A\oplus B$

Bedeutung: ENTWEDER A ODER B

Wahrheitstafel:

A	B	A$\oplus$B
W	W	F
W	F	W
F	W	W
F	F	F

Beispiel:

A: 3 ist eine Primzahl. (W)

B: 4 ist durch 2 teilbar. (W)

$A\oplus B$: Entweder ist 3 eine Primzahl oder 4 ist durch 2 teilbar. (F)

Subjunktion

Schreibweise: $A\rightarrow B$

Bedeutung: WENN A DANN B

Wahrheitstafel:

A	B	A$\rightarrow$B
W	W	W
W	F	F
F	W	W
F	F	W

Beispiel:

A: 4 ist eine Primzahl. (F)

B: 4 ist durch 2 teilbar. (W)

$A\rightarrow B$: Wenn 4 eine Primzahl ist, dann ist 4 durch 2 teilbar. (W)

Übung: Stellen sie die Wahrheitstafel für die Aussageverknüpfung $\neg (A\rightarrow B)$ auf.

Bijunktion

Schreibweise: $A\leftrightarrow B$

Bedeutung: A GENAU DANN, WENN B

Wahrheitstafel:

A	B	A$\leftrightarrow$B
W	W	W
W	F	F
F	W	F
F	F	W

Beispiel:

A: 4 ist eine Primzahl. (F)

B: 4 ist durch 2 teilbar. (W)

$A\leftrightarrow B$: 4 ist genau dann eine Primzahl, wenn 4 durch 2 teilbar ist. (F)

Übung: Stellen sie die Wahrheitstafel für die Aussageverknüpfung $\neg (A\leftrightarrow B)\wedge A$ auf.

Wichtige Rechenregeln

Prioritätsregeln

1. $\neg$ bindet stärker als $\vee$ und $\wedge$
2. $\vee$ und $\wedge$ sind gleichberechtigt und binden stärker als $\rightarrow$
3. $\rightarrow$ bindet stärker als $\leftrightarrow$

Doppelte Negation

$\neg \neg A=A$

Assoziativgesetze

$A\wedge \left(B\wedge C\right)=\left(A\wedge B\right)\wedge C$

$A\vee \left(B\vee C\right)=\left(A\vee B\right)\vee C$

Kommutativgesetze

$A\wedge B=B\wedge A$

$A\vee B=B\vee A$

Distributivgesetze

$A\wedge \left(B\vee C\right)=\left(A\wedge B\right)\vee \left(A\wedge C\right)$

$A\vee \left(B\wedge C\right)=\left(A\vee B\right)\wedge \left(A\vee C\right)$

Idempotenzgesetze

$A\wedge A=A$

$A\vee A=A$

Absorptionsgesetze

$A\wedge \left(A\vee B\right)=A$

$A\vee \left(A\wedge B\right)=A$

De Morgansche Regeln

$\neg \left(A\wedge B\right)=\neg A\vee \neg B$

$\neg \left(A\vee B\right)=\neg A\wedge \neg B$

Kontraposition

$A\rightarrow B=\neg B\rightarrow \neg A$

Weitere Regeln

$A\rightarrow B=\neg A\vee B$

$A\leftrightarrow B=\left(A\rightarrow B\right)\wedge \left(B\rightarrow A\right)$

Übungen:

• Beweisen Sie das Kontrapositionsgesetz mit Hilfe der Wahrheitstafel.
• Beweisen Sie eines der Absorptionsgesetze mit Hilfe der Wahrheitstafel.
• Vereinfachen Sie schrittweise $\neg (\neg a\wedge \neg b)$ zu $a\vee b$
• Wie lässt sich die Bijunktion allein durch Negation und Disjunktion ausdrücken?

Anti-Konjunktion

Die Anti-Konjunktion wird auch als Sheffersche Funktion oder NAND bezeichnet.

Schreibweise:$A\mid B$

Bedeutung: NICHT (A UND B)

Wahrheitstafel:

A	B	A$\mid$B
W	W	F
W	F	W
F	W	W
F	F	W

Übung: Zeigen Sie, dass sich die Negation und die Konjunktion allein durch die Anti-Konjunktion darstellen lassen.

Anti-Disjunktion

Die Anti-Disjunktion wird auch als Nicodsche Funktion oder NOR bezeichnet.

Schreibweise:$A\downarrow B$

Bedeutung: NICHT (A ODER B)

Wahrheitstafel:

A	B	A$\downarrow$B
W	W	F
W	F	F
F	W	F
F	F	W

Übung: Zeigen sie, dass sich die Negation und die Disjunktion allein durch die Anti-Disjunktion darstellen lassen.

Tautologie und Kontradiktion

Tautologie und Kontradiktion

Ein aussagenlogischer Ausdruck heißt allgemeingültig oder Tautologie, wenn er für jede Variablenbelegung mit Wahrheitswerten wahr ist. Man nennt ihn ungültig oder Kontradiktion, wenn er für jede Variablenbelegung falsch ist.

Beispiel 1:

$A\vee \neg A$

A	$\neg$ A	A$\vee \neg$ A
W	F	W
F	W	W

Der aussagenlogische Ausdruck $A\vee \neg A$ (Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten) ist für jede Belegung seiner Variablen immer wahr, der Ausdruck ist eine Tautologie.

Beispiel 2:

$A\wedge \neg A$

A	$\neg$ A	A$\wedge \neg$ A
W	F	F
F	W	F

Der aussagenlogische Ausdruck $A\wedge \neg A$ (Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch) ist für jede Belegung seiner Variablen immer falsch, der Ausdruck ist also eine Kontradiktion.

Implikation

Ist die Subjunktion A$\rightarrow$B eine Tautologie, so nennen wir sie Implikation oder Folgerung.

Schreibweise: $A\Rightarrow B$

Bedeutung: A IMPLIZIERT B oder AUS A FOLGT B

Äquivalenz

Ist die Bijunktion A$\leftrightarrow$B eine Tautologie, so nennen wir sie Äquivalenz.

Schreibweise: $A\Leftrightarrow B$

Bedeutung: A IST ÄQUIVALENT ZU B

A und B sind dann äquivalent, wenn sie die gleichen Wahrheitswerte liefern.

Normalformen [DRAFT]

Unter einer Normalform versteht man die standarisierte Form einer logischen Gleichung. Es kommen nur Negationen, konjunktive und disjunktive Verknüpfungen vor.
Bevor eine Normalform definiert werden kann, müssen die Begriffe Minterm und Maxterm definiert werden.

• ein Minterm ist eine konjunktive Verknüpfung von Eingangswerten, die logisch den Wert 1 am Ausgang erzeugen.

$f(A,B,C)=\neg A\wedge \neg B\wedge C$

• ein Maxterm ist eine disjunktive Verknüpfung von Eingangswerten die den Ausgang logisch 0 werden lassen.

$\neg f(A,B,C)=A\vee B\vee \neg C$
Eine Normalform erhält man im Folgenden durch die disjunktive Verknüpfung von Mintermen oder die konjungtive Verknüpfung von Maxtermen. Beide Formen sind gleichwertig und lassen sich mit den de'Morganschen Regeln ineinander umformen.

Kanonische Normalform: Unter einer kanonischen Normalform versteht mann eine DNF oder eine KNF die alle Eingangsgrößen in allen Summentermen verwenden.

Um die Zusammenhänge zu verdeutlichen soll als Beispiel eine Hex-Anzeige angesteuert werden.

SevenSegmentNumber

Der Balken a soll für die Ziffern 2,3,5,6,7,8,9 sichtbar sein.

number	wxyz	f(x,y,z)
0	0000	0
1	0001	0
2	0010	1
3	0011	1
4	0100	0
5	0101	1
6	0110	1
7	0111	1
8	1000	1
9	1001	1

Disjunktive Normalform

Eine Disjunktive Normalform ist eine disjunkte Verknüpfung von Mintermen.

Die Disjunktive Normalform kann anhand der Wahrheitstabelle direkt aufgestellt werden, dazu müssen nur alle Terme der Wahrheitstabelle die 1 ergeben als disjunkte Minterme übernommen werden. ${\begin{aligned}f(w,x,y,z)&=(\neg w\wedge \neg x\wedge y\wedge \neg z)\vee (\neg w\wedge \neg x\wedge y\wedge z)\vee (\neg w\wedge x\wedge \neg y\wedge z)\\&\vee (\neg w\wedge x\wedge y\wedge \neg z)\vee (\neg w\wedge x\wedge y\wedge z)\vee (w\wedge \neg x\wedge \neg y\wedge \neg z)\vee (w\wedge \neg x\wedge \neg y\wedge z)\end{aligned}}$

Konjunktive Normalform

Eine konjunktive Normalform ist eine konjunktive Verknüpfung von Maxtermen.

Die konjunktive Normalform kann ebenso an der Wahrheitsabelle aufgebaut werden. dazu müssen alle Zeilen die logisch '0' ergeben übernommen werden. $f(w,x,y,z)=(\neg w\vee \neg x\vee \neg y\vee \neg z)\wedge (\neg w\vee \neg x\vee \neg y\vee z)\wedge (\neg w\vee x\vee \neg y\vee \neg z)$

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