Ing Mathematik: Logisches Schließen

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Wir setzen nun fort, was im letzten Kapitel begonnen wurde. Auch wenn der Stoff etwas abstrakt erscheinen mag, ohne ihn lassen sich die mathematischen Sätze, die später kommen werden, nicht verstehen. Deshalb sollte dieser Abschnitt aufmerksam gelesen werden.

Notwendige und hinreichende Bedingungen[Bearbeiten]

Die Implikation ist bereits bekannt (aus A folgt B; A impliziert B)). Man nennt A hier auch die Voraussetzung und B die Folgerung des Satzes.


Notwendige Bedingung
Eine Bedingung B ist für einen Sachverhalt S notwendig, wenn gilt.


Hinreichende Bedingung
Eine Bedingung B ist für einen Sachverhalt S hinreichend, wenn gilt.


Notwendige und hinreichende Bedingung
Eine Bedingung B ist für einen Sachverhalt S notwendig und hinreichend, wenn gilt.


B ist wahr ? S ist wahr S ist wahr
B ist falsch S ist falsch ? S ist falsch

Grundlegende Schlussregeln[Bearbeiten]

Bei logischen Schlüssen (Konklusionen) stellen die Schlussregeln immer sicher, dass aus wahren Aussagen wieder wahre Aussagen folgen. Darin unterscheiden sie sich grundlegend von Schlussfolgerungen, die jeder immer wieder im normalen Leben zieht. Die "alltäglichen" Schlussfolgerungen können sich nämlich auch als falsch herausstellen (geozentrisches Weltbild, Hexenverfolgung, kein Alibi = schuldig, etc.)


Abtrennungsregel[Bearbeiten]

Die Abtrennungsregel wird auch als Modus ponens bezeichnet.

Ist A wahr und ist auch wahr, so ist auch B wahr.



Widerlegungsregel[Bearbeiten]

Die Widerlegungsregel wird auch als Modus tollens bezeichnet.

Ist wahr und ist auch wahr, so ist wahr.



Kontrapositionsregel[Bearbeiten]

Ist wahr , so ist auch wahr.



Kettenschluss[Bearbeiten]

Ist wahr und ist auch wahr, so ist wahr.


.


Fallunterscheidung[Bearbeiten]

Sind , , sowie wahr, so ist auch C wahr.


.

Reductio ad absurdum[Bearbeiten]

Folgt aus A sowohl B als auch B, so ist A wahr.


.

Übungen[Bearbeiten]

  1. Beweisen Sie die Schlussregeln durch Aufstellen der Wahrheitstafeln.
  2. Könnte man die Widerlegungsregel auch zu umformulieren?


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