Eine (Vektor)funktion
heißt linear,
wenn es Zahlen
gibt, sodass
mit
gilt.
Eine (Vektor)funktion
Funktion ist genau dann linear, wenn
mit
gilt.
Wie bereits bekannt, kann jeder beliebige Vektor als Linearkombination
dargestellt werden.
Somit ist
.
Für die Bilder der Einheitsvektoren gilt
.
Und somit gilt weiter
.
Natürlich kann man dies auch übersichtlicher in Matrixschreibweise ausdrücken
.
A ist dabei eine quadratische Matrix.
Gegeben sei die lineare Vektorfunktion
. Die Frage nach
der Parallelität der beiden Vektoren x und y führt zum speziellen Eigenwertproblem.
x ist dann parallel zu y, wenn
gilt.
Dies ist ein homogenes Gleichungssystem mit der
-Matrix
. Dieses
Gleichungssystem hat nur dann nichttriviale Lösungen
, wenn
. Es muss also gelten
Diese Gleichung wird auch als charakteristische Gleichung der Matrix A bezeichnet.
heißt charakteristisches Polynom
der Matrix A.
Die Wurzeln
der charakteristischen Gleichung nennt man
die Eigenwerte der Matrix A.
Die Lösungen
des linearen Gleichungssystems
heißen Eigenvektoren der Matrix A.
Beispiel:
eine mögliche Lösung:
Übung 1: Berechnen sie einen Eigenvektor
für den
zweiten Eigenwert
des obigen Beispiels.
Übung 2: Berechnen sie Eigenwerte und Eigenvektoren für die Matrix
.
- Ist die
-Matrix
symmetrisch
und reell, so sind auch alle n Eigenwerte dieser Matrix reell.
- Die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren einer reellen, symmetrischen Matrix sind orthogonal:
.
- Hauptachsentransformation: Die Matrix A kann mittels einer orthogonalen Matrix T auf Diagonalgestalt gebracht werden. Die Spalten i der orthogonalen Matrix T sind die auf Eins normierten Eigenvektoren
.

Übung: Gegeben ist die Matrix
.
Berechnen sie die Eigenwerte, Eigenvektoren und führen sie die Hauptachsentransformation durch
(Hinweis: Gram-Schmidtsches-Orthogonalisierungsverfahren).
Eine Bewegung (in der Ebene oder im Raum) ist definiert durch die Gleichung
Die Matrix A sei dabei orthogonal. Dies bedeutet, dass
und
.
: orientierungstreue Bewegung (Schraubung = Drehung + Translation)
: orientierungsumkehrende Bewegung (Umlegung)
: Translation
: Drehung um eine durch den Ursprung verlaufende Gerade
Wegen der Orthogonalität von A gilt:
Diese Gleichungen werden durch folgende trigonometrischen Gleichungen erfüllt:
Das bedeutet, daß die Matrix
eine Drehung der Ebene mit dem Winkel
um einen festen Punkt bewirkt.
Drehung des Koordinatensystems um den Winkel
bei fest gehaltenem Vektor:
Drehung des Vektors um den Winkel
bei fest gehaltenem Koordinatensystem: