Ing Mathematik: Lineare Vektorfunktionen

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Lineare Vektorfunktion[Bearbeiten]

Eine (Vektor)funktion heißt linear, wenn es Zahlen gibt, sodass mit gilt.

Eine (Vektor)funktion Funktion ist genau dann linear, wenn mit gilt.


Wie bereits bekannt, kann jeder beliebige Vektor als Linearkombination

dargestellt werden.

Somit ist

.


Für die Bilder der Einheitsvektoren gilt

.


Und somit gilt weiter

.


Natürlich kann man dies auch übersichtlicher in Matrixschreibweise ausdrücken

.

A ist dabei eine quadratische Matrix.

Eigenwerte[Bearbeiten]

Gegeben sei die lineare Vekorfunktion . Die Frage nach der Parallelität der beiden Vektoren x und y führt zum speziellen Eigenwertproblem.

x ist dann parallel zu y, wenn gilt.

Dies ist ein homogenes Gleichungssystem mit der -Matrix . Dieses Gleichungssystem hat nur dann nichttriviale Lösungen , wenn . Es muss also gelten

Diese Gleichung wird auch als charakteristische Gleichung der Matrix A bezeichnet.

heißt charakteristisches Polynom der Matrix A.

Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung nennt man die Eigenwerte der Matrix A.

Die Lösungen des linearen Gleichungssystems heißen Eigenvektoren der Matrix A.


Beispiel:

eine mögliche Lösung:


Übung 1: Berechnen sie einen Eigenvektor für den zweiten Eigenwert des obigen Beispiels.

Übung 2: Berechnen sie Eigenwerte und Eigenvektoren für die Matrix .


Reelle, symmetrische Matrix A[Bearbeiten]

  • Ist die -Matrix symmetrisch und reell, so sind auch alle n Eigenwerte dieser Matrix reell.
  • Die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren einer reellen, symmetrischen Matrix sind orthogonal: .
  • Hauptachsentransformation: Die Matrix A kann mittels einer orthogonalen Matrix T auf Diagonalgestalt gebracht werden. Die Spalten i der orthogonalen Matrix T sind die auf Eins normierten Eigenvektoren .


Übung: Gegeben ist die Matrix . Berechnen sie die Eigenwerte, Eigenvektoren und führen sie die Hauptachsentransformation durch (Hinweis: Gram-Schmidtsches-Orthogonalisierungsverfahren).

Bewegungen[Bearbeiten]

Eine Bewegung (in der Ebene oder im Raum) ist definiert durch die Gleichung


Die Matrix A sei dabei orthogonal. Dies bedeutet, dass und .


  • : orientierungstreue Bewegung (Schraubung = Drehung + Translation)
  • : orientierungsumkehrende Bewegung (Umlegung)
  • : Translation
  • : Drehung um eine durch den Ursprung verlaufende Gerade


Orthogonale Transformationen in der Ebene[Bearbeiten]


Wegen der Orthogonalität von A gilt:


Diese Gleichungen werden durch folgende trigonometrischen Gleichungen erfüllt:


Das bedeutet, daß die Matrix

eine Drehung der Ebene mit dem Winkel um einen festen Punkt bewirkt.


Drehung des Koordinatensystems um den Winkel bei fest gehaltenem Vektor:


Drehung des Vektors um den Winkel bei fest gehaltenem Koordinatensystem:

Kurven zweiter Ordnung[Bearbeiten]

Flächen zweiter Ordnung[Bearbeiten]

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