Ein Gleichungssystem der Form
nennt man lineares Gleichungssystem, wobei
die Koeffizienten heißen und
die Unbekannten sind.
Man kann dies auch als
oder
anschreiben.
Gilt
, so nennt man das Gleichungssystem homogen
, andernfalls inhomogen
.
A ist die Koeffizientenmatrix. Als erweiterte Koeffizientenmatrix bezeichnet man die Matrix
Beispiel:
Koeffizientenmatrix:
Erweiterte Koeffizientenmatrix:
Bestimmtheit eines linearen Gleichungssystems
[Bearbeiten]
- m>n: überbestimmtes Gleichungssystem
- m=n: quadratisches Gleichungssystem
- m<n: unterbestimmtes Gleichungssystem
Eine
-Matrix ist in Zeilennormalform, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
- Unterhalb der Diagonalen dürfen nur Nullen stehen.
- Das erste Zeilenelement ungleich Null ist Eins.
- Ist
das erste Zeilenelement ungleich Null (d.h eine Eins), so gilt dass der Spaltenvektor dieser Spalte j ein Einheitsvektor ist.
Beispiel für eine Matrix in Zeilennormalform:
Jede Matrix läßt sich durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilennormalform bringen.
Elementare Zeilenumformungen sind:
- Zeilenvertauschung
- Multiplikation einer Zeile mit einem Koeffizienten
![{\displaystyle k\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4367cc52bf0bebde550f396dde7bf07fa67bdd)
- Addition des k-fachen einer anderen Zeile.
Der Rang einer Matrix A ist gleich der Anzahl der nicht verschwindenden Zeilen in der Zeilennormalform von A.
Wikipedia: Gauß-Jordan-Algorithmus
Beispiel: Gegeben sei die Matrix
. Gesucht ist die inverse Matrix
Probe:
Ein lineares Gleichungssystem
ist
- nicht lösbar, wenn
![{\displaystyle {\rm {Rg}}A<Rg(A,\mathbf {b} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da184766319bee0d74c34864b2f73252e1da1d7f)
- lösbar, wenn
![{\displaystyle {\rm {Rg}}A=Rg(A,\mathbf {b} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/406b9e20d13168da330c9035523427573faf839c)
Ist das Gleichungssystem lösbar, so besitzt das Gleichungssystem
- genau eine Lösung, wenn
.
- eine (n-k)-parametrige Lösungschar, wenn
.
Daraus folgt auch:
- Nur quadratische oder überbestimmte lineare Gleichungssysteme können eindeutig lösbar sein.
- Lineare homogene Gleichungssysteme sind immer lösbar, da x=o immer eine mögliche Lösung ist.
Wikipedia: Cramersche Regel