Ing Mathematik: Lineare Gleichungssysteme

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Lineares Gleichungssystem[Bearbeiten]

Ein Gleichungssystem der Form


nennt man lineares Gleichungssystem, wobei die Koeffizienten heißen und die Unbekannten sind.


Man kann dies auch als


oder

anschreiben.


Gilt , so nennt man das Gleichungssystem homogen , andernfalls inhomogen .

A ist die Koeffizientenmatrix. Als erweiterte Koeffizientenmatrix bezeichnet man die Matrix


Beispiel:


Koeffizientenmatrix:


Erweiterte Koeffizientenmatrix:

Bestimmtheit eines linearen Gleichungssystems[Bearbeiten]

  • m>n: überbestimmtes Gleichungssystem
  • m=n: quadratisches Gleichungssystem
  • m<n: unterbestimmtes Gleichungssystem


Zeilennormalform[Bearbeiten]

Eine -Matrix ist in Zeilennormalform, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

  • Unterhalb der Diagonalen dürfen nur Nullen stehen.
  • Das erste Zeilenelement ungleich Null ist Eins.
  • Ist das erste Zeilenelement ungleich Null (d.h eine Eins), so gilt dass der Spaltenvektor dieser Spalte j ein Einheitsvektor ist.


Beispiel für eine Matrix in Zeilennormalform:


Jede Matrix läßt sich durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilennormalform bringen.

Elementare Zeilenumformungen sind:

  • Zeilenvertauschung
  • Multiplikation einer Zeile mit einem Koeffizienten
  • Addition des k-fachen einer anderen Zeile.


Der Rang einer Matrix A ist gleich der Anzahl der nicht verschwindenden Zeilen in der Zeilennormalform von A.


Gauß-Jordan-Algorithmus[Bearbeiten]

Wikipedia: Gauß-Jordan-Algorithmus


Nachtrag: Inverse Matrizen[Bearbeiten]

Beispiel: Gegeben sei die Matrix . Gesucht ist die inverse Matrix




Probe:


Lösbarkeitskriterien[Bearbeiten]

Ein lineares Gleichungssystem ist

  • nicht lösbar, wenn
  • lösbar, wenn


Ist das Gleichungssystem lösbar, so besitzt das Gleichungssystem

  • genau eine Lösung, wenn .
  • eine (n-k)-parametrige Lösungschar, wenn .


Daraus folgt auch:

  • Nur quadratische oder überbestimmte lineare Gleichungssysteme können eindeutig lösbar sein.
  • Lineare homogene Gleichungssysteme sind immer lösbar, da x=o immer eine mögliche Lösung ist.

Cramersche Regel[Bearbeiten]

Wikipedia: Cramersche Regel


Übungen[Bearbeiten]

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