Jeder quadratischen -Matrix
kann man eine Zahl zuordnen, die Determinate
Streicht man aus einer Matrix A die i-te Zeile und die j-te Spalte, so ist dieser reduzierten
Matrix die Unterdeterminate zugeordnet.
Beispiel:
Die Adjunkte ist die mit multiplizierte
Unterdeterminante .
Für -Matrizen gilt:
Für -Matrizen gilt:
Zur Berechnung der Determinante einer -Matrix kann man sich der Regel von Sarrus bedienen:
Wikipedia: Regel von Sarrus
Allgemein gilt für die Berechnung von Determinanten der Laplacesche Entwicklungssatz:
Beispiel:
Übung: Berechnen sie möglichst vorteilhaft die Determinante der Matrix
- Eine Determinante bleibt ungeändert:
- Bei einer Spiegelung an der Hauptdiagonalen: .
- Wenn zu einer Zeile/Spalte ein Vielfaches einer anderen Zeile/Spalte addiert oder subtrahiert wird.
- Eine Determinante wird Null:
- Wenn alle Elemente einer Zeile/Spalte Null sind.
- Wenn zwei Zeilenvektoren/Spaltenvektoren linear abhängig sind.
- Eine Determinante ändert ihr Vorzeichen, wenn zwei Zeilen/Spalten vertauscht werden.
- Multiplikation einer Derminante mit einer Zahl: .
- Das Produkt zweier Determinanten ist wieder eine Determinante. .
heißt inverse Matrix zu A. Es gilt .
Eine -Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn sie regulär ist: , dies ist äquivalent zu Rg(A)=n.
Eine Matrix A mit nennt man singulär.
Übung: Ist die Matrix
invertierbar?
Praktische Bestimmung der inversen Matrix
[Bearbeiten]
Eine -Matrix A heißt orthogonal, wenn gilt:
- alle Zeilenvektoren seien Einheitsvektoren:
und
- alle Zeilenvektoren stehen senkrecht aufeinander:
Die orthogonale Matrix A ist regulär:
Orthogonalitätsbedingung:
Das Vektorprodukt zweier Vektoren kann aus folgender Gleichung entwickelt werden
Das Spatprodukt dreier Vektoren kann aus folgender Gleichung entwickelt werden
Übung 1:
Berechnen sie die Determinante der Matrix
Übung 2:
Berechnen sie die Determinante der Matrix
Übung 3:
Für welche ist die Matrix
regulär?
Übung 4:
Berechnen sie die inverse Matrix zu
Übung 5:
Ist die Matrix
orthogonal?