Ing Mathematik: Determinanten

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Determinante[Bearbeiten]

Jeder quadratischen -Matrix

kann man eine Zahl zuordnen, die Determinate

Unterdeterminante[Bearbeiten]

Streicht man aus einer Matrix A die i-te Zeile und die j-te Spalte, so ist dieser reduzierten Matrix die Unterdeterminate zugeordnet.

Beispiel:


Adjunkte[Bearbeiten]

Die Adjunkte ist die mit multiplizierte Unterdeterminante .

Berechnung von Determinanten[Bearbeiten]

Für -Matrizen gilt:

Für -Matrizen gilt:


Regel von Sarrus[Bearbeiten]

Zur Berechnung der Determinante einer -Matrix kann man sich der Regel von Sarrus bedienen:

Wikipedia: Regel von Sarrus

Laplacescher Entwicklungssatz[Bearbeiten]

Allgemein gilt für die Berechnung von Determinanten der Laplacesche Entwicklungssatz:

Beispiel:


Übung: Berechnen sie möglichst vorteilhaft die Determinante der Matrix

Einige Determinantensätze[Bearbeiten]

  • Eine Determinante bleibt ungeändert:
    • Bei einer Spiegelung an der Hauptdiagonalen: .
    • Wenn zu einer Zeile/Spalte ein Vielfaches einer anderen Zeile/Spalte addiert oder subtrahiert wird.
  • Eine Determinante wird Null:
    • Wenn alle Elemente einer Zeile/Spalte Null sind.
    • Wenn zwei Zeilenvektoren/Spaltenvektoren linear abhängig sind.
  • Eine Determinante ändert ihr Vorzeichen, wenn zwei Zeilen/Spalten vertauscht werden.
  • Multiplikation einer Derminante mit einer Zahl: .
  • Das Produkt zweier Determinanten ist wieder eine Determinante. .


Inverse Matrix[Bearbeiten]

heißt inverse Matrix zu A. Es gilt .


Eine -Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn sie regulär ist: , dies ist äquivalent zu Rg(A)=n.

Eine Matrix A mit nennt man singulär.


Übung: Ist die Matrix invertierbar?


Regeln[Bearbeiten]


Praktische Bestimmung der inversen Matrix[Bearbeiten]


Orthogonale Matrizen[Bearbeiten]

Eine -Matrix A heißt orthogonal, wenn gilt:

  • alle Zeilenvektoren seien Einheitsvektoren:

und

  • alle Zeilenvektoren stehen senkrecht aufeinander:



Die orthogonale Matrix A ist regulär:


Orthogonalitätsbedingung:


Nachtrag zu Vektorprodukt[Bearbeiten]

Das Vektorprodukt zweier Vektoren kann aus folgender Gleichung entwickelt werden


Nachtrag zu Spatprodukt[Bearbeiten]

Das Spatprodukt dreier Vektoren kann aus folgender Gleichung entwickelt werden


Übungen[Bearbeiten]

Übung 1: Berechnen sie die Determinante der Matrix


Übung 2: Berechnen sie die Determinante der Matrix


Übung 3: Für welche ist die Matrix

regulär?


Übung 4: Berechnen sie die inverse Matrix zu


Übung 5: Ist die Matrix

orthogonal?


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