Ing Mathematik: Matrizen

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Matrix[Bearbeiten]

Matrix
Als -Matrix bezeichnet man ein rechteckiges Schema von Elementen (Zahlen, Polynome, Differentiale, etc.), die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind.


oder in Kurzform


Eine Matrix mit nur einer Zeile oder Spalte entspricht einem Vektor.

Als i-ten Zeilenvektor bezeichnet man

Als j-ten Spaltenvektor bezeichnet man


Beispiel:

ist eine - Matrix

Transponierte Matrix[Bearbeiten]

Tauscht man in einer Matrix A Zeilen mit Spalten, so erhält man die transponierte Matrix .


Beispiel:


Übung: Transponieren sie die Matrix


Spezielle Matrixtypen[Bearbeiten]

Quadratische Matrix[Bearbeiten]

Als quadratische Matrix bezeichnet man eine -Matrix.

Diagonalmatrix[Bearbeiten]

Die Diagonalmatrix ist eine quadratische Matrix. Bei einer Diagonalmatrix sind alle Werte außerhalb der Hauptdiagonalen mit 0 belegt.

mit Kronecker-Delta

Als Spur der quadratischen Matrix bezeichnet man

Einheitsmatrix[Bearbeiten]

Die Einheitsmatrix ist eine Diagonalmatrix, bei der die Hauptdiagonale mit Einsern belegt ist.

Spezialfall: Obere / untere Dreiecksmatrix Def. obere Dreiecksmatrix : alle Elemente der Matrix unterhalb der Hauptdiagonale sind 0 Def. untere Dreiecksmatrix: alle Elemente der Matrix oberhalb der Hauptdiagonale sind 0

Anwendung: kann man eine beliebige Matrix durch äquivalente Umformungen in eine der o. g. Darstellungen bringen, lässt sich auf diese Weise leicht die Determinante dieser Matrix bestimmen, da das Produkt aller Elemente von beliebigen Geraden, mit Ausnahme der Hauptdiagonale 0 ist. Die Determinante ist folglich das Produkt aller Hauptdiagonalelemente

Symmetrische Matrix[Bearbeiten]

Eine symmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix mit

oder


Beispiel:

Schiefsymmetrische Matrix[Bearbeiten]

Eine schiefsymmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix mit

oder

Beispiel: Die Spur muss mit Nullen belegt sein.

Nullmatrix[Bearbeiten]

Bei einer Nullmatrix sind alle Koeffizienten mit 0 belegt.

Rechenregeln[Bearbeiten]

Gleichheit von Matrizen[Bearbeiten]

Eine -Matrix A ist gleich einer -Matrix B, wenn

  1. und

Matrizenaddition[Bearbeiten]

Bedingung: Die Matrizen A und B müssen gleiche Zeilen- und Spaltenanzahl aufweisen.


Beispiel:

Vielfaches einer Matrix[Bearbeiten]


Beispiel:

Matrizenmultiplikation[Bearbeiten]

Bedingung: Die Spaltenanzahl der Matrix A muss der Zeilenanzahl der Matrix B entsprechen.

Achtung! Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ!


Beispiel:


Anschaulich durchführen kann man die Matrizenmultiplikation mittels Falkschem Schema:

Beispiel:

Falksches Schema - Beispiel


Für quadratische Matrizen sind auch Potenzen von Matrizen definiert.


Übung: Multiplizieren sie

Kommutativgesetze[Bearbeiten]

Assoziativgesetze[Bearbeiten]

Distributivgesetze[Bearbeiten]

Rang einer Matrix[Bearbeiten]

Rang einer Matrix
Unter dem Zeilenrang der Matrix A versteht man die Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren der Matrix A. Unter dem Spaltenrang der Matrix A versteht man die Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren der Matrix A. Dabei gilt immer, dass ist. Der Rang einer Matrix A (Rg(A)) ist gleich dem Zeilenrang bzw. Spaltenrang der Matrix A.


Beispiel 1:


Beispiel 2:


Zur Berechnung des Zeilen-/Spaltenranges einer Matrix kann man folgende Umformungen durchführen,

für die Bestimmung des Zeilenranges:

  • Vertauschung zweier Zeilen
  • Multiplikation von Zeilen i mit
  • Addition des k-fachen eines Zeilenvektors zu einem anderen Zeilenvektor mit

und für die Bestimmung des Spaltenranges:

  • Vertauschung zweier Spalten
  • Multiplikation von Spalten j mit
  • Addition des k-fachen eines Spaltenvektors zu einem anderen Spaltenvektor mit


Übung: Bestimmen sie den Rang der Matrix


Der Rang einer Matrix ist insbesondere auch für die Bestimmung der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen von Interesse.

Matrizen mit komplexen Zahlen[Bearbeiten]

Für Matrizen, die komplexe Zahlen beinhalten, gelten die selben Regeln wie für reelle Matrizen.

Eine komplexe Matrix C kann man in zwei Matrizen A und B aufspalten

Ein wunderschönes Beispiel aus der Festigkeitslehre[Bearbeiten]

Die allseits bekannte und beliebte Cauchysche Formel mit

dem Spannungsvektor

dem symmetrischen Spannungstensor (= Spannungsmatrix)

und dem Normalenvektor

sei gegeben. Die Komponenten des Spannungsvektors sollen ermittelt werden:

  1. allgemein
  2. für , , , , und


Lösung:


Übungen[Bearbeiten]

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