Ing Mathematik: Vektoren

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Vektorraum

Ein Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ sei die Menge aller geordneter n-Tupel von reellen Zahlen. Ein Element eines Vektorraumes heißt Vektor

$\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\ ={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}};\quad \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$

mit den Koordinaten des Vektors

$a_{1},\ldots ,a_{n}\ ;\quad a_{i}\in \mathbb {R}$

Vektoren weisen einen Zahlenwert (Betrag) und eine Richtung auf. Skalare haben nur einen Zahlenwert.

Freie Vektoren können beliebig im Raum verschoben werden. Ortsvektoren (gebundene Vektoren) sind ortsgebunden.

Addition von Vektoren

$\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$

$\mathbf {b} =(b_{1},\ldots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$

$\mathbf {a} +\mathbf {b} =\left(a_{1}+b_{1},\ldots ,a_{n}+b_{n}\right)={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\\vdots \\a_{n}+b_{n}\end{pmatrix}}$

Assoziativgesetz

$(\mathbf {a} +\mathbf {b} )+\mathbf {c} =\mathbf {a} +(\mathbf {b} +\mathbf {c} )$

Kommutativgesetz

$\mathbf {a} +\mathbf {b} =\mathbf {b} +\mathbf {a}$

Nullvektor

Der Nullvektor ist das neutrale Element der Vektoraddition.

$\mathbf {o} =(0,\ldots ,0)\in \mathbb {R} ^{n}$

$\mathbf {o} +\mathbf {a} =\mathbf {a} +\mathbf {o} =\mathbf {a}$

Differenzvektor

$\mathbf {a} +\mathbf {c} =\mathbf {b}$ läßt sich stets umformen zu $\mathbf {c} =\mathbf {b} -\mathbf {a}$. $\mathbf {c}$ sei in diesem Fall der Differenzvektor.

Beispiel

Gegeben seien die Vektoren $\mathbf {a} =(1,-1,5)$ und $\mathbf {b} =(2,0,1)$. Gesucht sind $\mathbf {a} +\mathbf {b}$ und $\mathbf {a} -\mathbf {b}$.

$\mathbf {a} +\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}1\\-1\\5\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\-1\\6\end{pmatrix}}$

$\mathbf {a} -\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}1\\-1\\5\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\-1\\4\end{pmatrix}}$

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Geometrisch entspricht die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar der Streckung eines Vektors.

$\alpha ,\;\beta \ \in \mathbb {R}$

$\alpha \mathbf {a} =\left(\alpha a_{1},\ldots ,\alpha a_{n}\right)={\begin{pmatrix}\alpha a_{1}\\\vdots \\\alpha a_{n}\end{pmatrix}}$

$1\mathbf {a} =\mathbf {a}$

Assoziativgesetz

$(\alpha \beta )\mathbf {a} =\alpha (\beta \mathbf {a} )$

Distributivgesetze

$(\alpha +\beta )\mathbf {a} =\alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {a}$

$\alpha (\mathbf {a} +\mathbf {b} )=\alpha \mathbf {a} +\alpha \mathbf {b}$

Gegenvektor

$-\mathbf {a} =\left(-a_{1},\ldots ,-a_{n}\right)={\begin{pmatrix}-a_{1}\\\vdots \\-a_{n}\end{pmatrix}}$

$\mathbf {a} +(-\mathbf {a} )=\mathbf {o}$

Parallelität

Die zwei Vektoren a und b sind dann parallel, wenn gilt

$\mathbf {a} =\lambda \mathbf {b} \ ;\quad \lambda \in \mathbb {R} \wedge \lambda \neq 0$

$\lambda >0$: gleichsinnig parallel

$\lambda <0$: gegensinnig parallel

Beispiel

Sind die Vektoren $\mathbf {a} =(5,1,-1)$ und $\mathbf {b} =12(4,1,-1)-(63,15,-15)$ zueinander parallel?

$\mathbf {b} =12{\begin{pmatrix}4\\1\\-1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}63\\15\\-15\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-15\\-3\\3\end{pmatrix}}=-3{\begin{pmatrix}5\\1\\-1\end{pmatrix}}$

$\Rightarrow \;\mathbf {b} =-3\mathbf {a} \;\Rightarrow \;\mathbf {a} ||\mathbf {b}$.

Skalarprodukt

Gegeben sind zwei Vektoren

$\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$

$\mathbf {b} =(b_{1},\ldots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$

Das Skalarprodukt ergibt sich zu

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$

• Das Skalarprodukt ordnet einem Paar von Vektoren eine reelle Zahl zu.
• Das Skalarprodukt unterscheidet sich grundlegend von der Multiplikation reeller Zahlen oder der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.

Mittels Skalarprodukt lassen sich lineare Funktionen einfach anschreiben

$f(x)=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{n}x_{n}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {x}$

Norm eines Vektors

Die Norm (Länge) eines Vektors a ist gegeben durch

$\|\mathbf {a} \|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\sqrt {a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}$

$\|\alpha \mathbf {a} \|=|\alpha |\|\mathbf {a} \|$

Vektoren mit der Länge Eins heißen Einheitsvektoren. Normiert man einen Vektor a, so bringt man ihn auf die Länge Eins

$\mathbf {a} _{0}={\frac {\mathbf {a} }{\|\mathbf {a} \|}}$

Das Skalarprodukt ist auch definiert durch

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\cos(\angle )$

wobei $\angle$ den Winkel zwischen den Vektoren a und b bezeichnet.

Kommutativgesetz

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a}$

Assoziativgesetz gilt nicht

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\neq (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c}$

Distributivgesetz

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c}$

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

$(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}\leq \|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}$

Dreiecksungleichung

$\|\mathbf {a} +\mathbf {b} \|\leq \|\mathbf {a} \|+\|\mathbf {b} \|$

Beispiel: Parallelogrammgleichung

Es ist folgende Gleichung herzuleiten

$\|\mathbf {a} +\mathbf {b} \|^{2}+\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \|^{2}=2\left(\|\mathbf {a} \|^{2}+\|\mathbf {b} \|^{2}\right)$

Lösung:

$\|\mathbf {a} +\mathbf {b} \|^{2}=(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} +\mathbf {b} )$

$\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \|^{2}=(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )$

$\|\mathbf {a} +\mathbf {b} \|^{2}+\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \|^{2}=\mathbf {a} \mathbf {a} +\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {b} \mathbf {b} +\mathbf {a} \mathbf {a} -\mathbf {a} \mathbf {b} -\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {b} \mathbf {b} =2\mathbf {a} \mathbf {a} +2\mathbf {b} \mathbf {b}$

und somit, wie zu zeigen war

$\|\mathbf {a} +\mathbf {b} \|^{2}+\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \|^{2}=2\left(\|\mathbf {a} \|^{2}+\|\mathbf {b} \|^{2}\right)$

Orthogonalität

Zwei Vektoren a, b heißen orthogonal (= senkrecht), wenn $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0$ gilt.

Man schreibt dies auch als $\mathbf {a} \bot \mathbf {b}$.

Es gilt dann der Satz von Pythagoras

$\|\mathbf {a} +\mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}+\|\mathbf {b} \|^{2}$

Orthogonalsystem

Die Vektoren $\mathbf {a} _{i}\in \mathbb {R} ^{n}$ bilden ein Orthogonalsystem, wenn

1. $\forall i\quad \mathbf {a} _{i}\neq \mathbf {o}$
2. $\forall (i\neq j)\quad \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j}=0$

Gilt zusätzlich noch

$\forall i:\;\|\mathbf {a} _{i}\|=1$

dann bilden die Vektoren ein Orthonormalsystem.

Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Wikipedia: Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Beispiel: Satz von Thales

Es ist der Satz von Thales "Jeder Peripheriewinkel über dem Durchmesser eines Kreises beträgt 90°" zu überprüfen.

Lösung:

$\mathbf {a} =\mathbf {r} +\mathbf {c}$

$\mathbf {b} =\mathbf {r} -\mathbf {c}$

$\|\mathbf {r} \|=\|\mathbf {c} \|$

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =(\mathbf {r} +\mathbf {c} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {c} )=\mathbf {r} \mathbf {r} +\mathbf {r} \mathbf {c} -\mathbf {r} \mathbf {c} -\mathbf {c} \mathbf {c} =\|\mathbf {r} \|^{2}-\|\mathbf {c} \|^{2}=0$

$\Rightarrow \;\mathbf {a} \bot \mathbf {b}$

Linearkombinationen

Den Vektor

$\mathbf {b} =\alpha _{1}\mathbf {a} _{1}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {a} _{n}$

nennt man Linearkombination aus den Vektoren $\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\;\in \mathbb {R} ^{n}$.

Ist $\mathbf {b} =0$, so nennt man die Vektoren $\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n}$

• linear abhängig, wenn $\exists i:\;\alpha _{i}\neq 0$
• linear unabhängig, wenn $\forall i:\;\alpha _{i}=0$

Natürliche Basis

Die Einheitsvektoren (Basisvektoren)

$\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\;\cdots \;,\mathbf {e} _{n}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}$

nennt man natürliche Basis des $\mathbb {R} ^{n}$.

Für diese Basisvektoren gilt das sogenannte Kronecker-Delta

$\delta _{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}={\begin{cases}1,&{\mbox{wenn}}\ i=k\\0,&{\mbox{wenn}}\ i\neq k\end{cases}}$

Für einen beliebigen Vektor $\mathbf {x} =\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$ gilt

$\mathbf {x} =x_{1}\mathbf {e} _{1}+\ldots +x_{n}\mathbf {e} _{n}$

$x_{1}\mathbf {e} _{1},\ldots ,x_{n}\mathbf {e} _{n}$ nennt man die Komponenten des Vektors bezüglich der natürlichen Basis des $\mathbb {R} ^{n}$.

Richtungskosinus

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {e} _{i}=\|\mathbf {x} \|\cos \alpha _{i}$

daraus folgt

$\cos \alpha _{i}={\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {e} _{i}}{\|\mathbf {x} \|}}={\frac {x_{i}}{\|\mathbf {x} \|}}$

Beispiel

Gesucht ist der Winkel, den der Vektor $\mathbf {a} =(3,-1,-5)$ mit dem Basisvektor $\mathbf {e} _{1}$ einschließt.

Lösung:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1}=\|\mathbf {a} \|\cos \angle$

$\cos \angle ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1}}{\|\mathbf {a} \|}}={\frac {3}{\sqrt {35}}}$

$\angle =1,04\ {\rm {rad}}$

Projektionen

Unter Projektion ist hier die Orthogonalprojektion gemeint.

Skalare Projektion

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {b} \|\underbrace {\|\mathbf {a} \|\cos \angle } _{\|\mathbf {a} _{\mathbf {b} }\|}$

Daraus folgt die Gleichung für die skalare Projektion des Vektors a auf b

$\|\mathbf {a} _{\mathbf {b} }\|={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\|\mathbf {b} \|}}$

Vektorprojektion

$\mathbf {a} _{\mathbf {b} }=\|\mathbf {a} _{\mathbf {b} }\|\ \mathbf {b} _{0}$

$\mathbf {b} _{0}={\frac {\mathbf {b} }{\|\mathbf {b} \|}}$

Daraus folgt

$\mathbf {a} _{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\|\mathbf {b} \|^{2}}}\mathbf {b}$

Beispiel

Gegeben ist ein Vektor $\mathbf {a} =(3,-1,-5)$. Gesucht ist der Winkel, den die Orthogonalprojektion des Vektors a auf die $\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}$-Ebene mit dem $\mathbf {e} _{1}$-Basisvektor einschließt.

Lösung:

$\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1}}{\|\mathbf {e} _{1}\|}}\mathbf {e} _{1}=a_{1}\mathbf {e} _{1}=(3,0,0)$

$\mathbf {a} _{2}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2}}{\|\mathbf {e} _{2}\|}}\mathbf {e} _{2}=a_{2}\mathbf {e} _{2}=(0,-1,0)$

$\mathbf {a} _{12}=\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}=(3,-1,0)$

Dieses Zwischenergebnis hätte man natürlich auch direkt aus der Skizze ermitteln können, dann wäre aber der Witz dieses Beispiels verloren gegangen.

$\cos \angle ={\frac {\mathbf {a} _{12}\mathbf {e} _{1}}{\|\mathbf {a} _{12}\|}}={\frac {3}{\sqrt {10}}}$

$\angle =0,32\ {\rm {rad}}$

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt zweier linear unabhängiger Vektoren ist nur für den euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ definiert.

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},\ a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},\ a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)$

Die Vektoren $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ bilden ein Rechtssystem.

Regeln

• Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ: $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )$
• Orthogonalität: $(\mathbf {a} \;\bot \;\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\wedge (\mathbf {b} \;\bot \;\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$
• Parallelität: $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {o} \Leftrightarrow {\begin{cases}\mathbf {a} =\mathbf {o} \;\vee \;\mathbf {b} =\mathbf {o} \\\mathbf {a} \|\mathbf {b} \end{cases}}$
• Lagrangesche Identität: $\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}$
• Parallelogramm: $F_{\Diamond }=\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin \angle =\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|$ ist der Flächeninhalt des von den Vektoren $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ aufgespannten Parallelogrammes. $\angle$ ist der von a und b eingeschlossene Winkel.
• Distributivgesetz: $(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\times \mathbf {c} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+(\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$
• $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c}$

Rechnungen

$\mathbf {A} \times \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}$

$\mathbf {A} \times \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{2}a_{3}-a_{3}a_{2}\\a_{3}a_{1}-a_{1}a_{3}\\a_{1}a_{2}-a_{2}a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

$\mathbf {B} \times \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}b_{2}a_{3}-b_{3}a_{2}\\b_{3}a_{1}-b_{1}a_{3}\\b_{1}a_{2}-b_{2}a_{1}\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}=-\mathbf {A} \times \mathbf {B}$

${\begin{matrix}\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )&=&{\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}c_{1}+a_{2}b_{1}c_{2}+a_{3}b_{1}c_{3}\\a_{1}b_{2}c_{1}+a_{2}b_{2}c_{2}+a_{3}b_{2}c_{3}\\a_{1}b_{3}c_{1}+a_{2}b_{3}c_{2}+a_{3}b_{3}c_{3}\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}c_{1}+a_{2}b_{2}c_{1}+a_{3}b_{3}c_{1}\\a_{1}b_{1}c_{2}+a_{2}b_{2}c_{2}+a_{3}b_{3}c_{2}\\a_{1}b_{1}c_{3}+a_{2}b_{2}c_{3}+a_{3}b_{3}c_{3}\end{pmatrix}}\\&=&{\begin{pmatrix}a_{2}b_{1}c_{2}+a_{3}b_{1}c_{3}-a_{2}b_{2}c_{1}-a_{3}b_{3}c_{1}\\a_{1}b_{2}c_{1}+a_{3}b_{2}c_{3}-a_{1}b_{1}c_{2}-a_{3}b_{3}c_{2}\\a_{1}b_{3}c_{1}+a_{2}b_{3}c_{2}-a_{1}b_{1}c_{3}-a_{2}b_{2}c_{3}\end{pmatrix}}\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )&=&{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}\\b_{3}c_{1}-b_{1}c_{3}\\b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}\end{pmatrix}}&=&{\begin{pmatrix}a_{2}b_{1}c_{2}-a_{2}b_{2}c_{1}-a_{3}b_{3}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{3}\\a_{3}b_{2}c_{3}-a_{3}b_{3}c_{2}-a_{1}b_{1}c_{2}+a_{1}b_{2}c_{1}\\a_{1}b_{3}c_{1}-a_{1}b_{1}c_{3}-a_{2}b_{2}c_{3}+a_{2}b_{3}c_{2}\end{pmatrix}}\\&=&\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )&&\end{matrix}}$

$\epsilon _{ijk}$

$\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)_{i}=\epsilon _{ijk}\mathbf {A} _{j}\mathbf {B} _{k}$

Beispiel

Gesucht ist ein normierter Normalenvektor auf die beiden Vektoren $\mathbf {a} =(1,1,0),\ \mathbf {b} =(5,4,1)$.

Lösung:

$\mathbf {n} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},\ a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},\ a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)=(1,-1,-1)$

$\|\mathbf {n} \|={\sqrt {3}}$

$\mathbf {n} _{0}={\frac {1}{\sqrt {3}}}(1,-1,-1)$

Spatprodukt

Das Spatprodukt der Vektoren $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{3}$ ist definiert als

${\mathcal {h}}\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} {\mathcal {i}}=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c}$

Regeln

• Unabhängigkeit: Die Vektoren a, b, c sind linear unabhängig, wenn ${\mathcal {h}}\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} {\mathcal {i}}\neq 0$
• Rechtssystem: ${\mathcal {h}}\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} {\mathcal {i}}>0$
• Linkssystem: ${\mathcal {h}}\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} {\mathcal {i}}<0$
• Spatvolumen: $V_{spat}=|{\mathcal {h}}\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} {\mathcal {i}}|$
• Vertauschungssatz: ${\mathcal {h}}\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} {\mathcal {i}}={\mathcal {h}}\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {a} {\mathcal {i}}={\mathcal {h}}\mathbf {c} ,\mathbf {a} ,\mathbf {b} {\mathcal {i}}=-{\mathcal {h}}\mathbf {b} ,\mathbf {a} ,\mathbf {c} {\mathcal {i}}=-{\mathcal {h}}\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {b} {\mathcal {i}}=-{\mathcal {h}}\mathbf {c} ,\mathbf {b} ,\mathbf {a} {\mathcal {i}}$

Geraden

Gerade durch Punkt und Richtung

Gegeben sei ein Punkt A (Ortsvektor a) und ein Richtungsvektor c. Der Punkt X liegt auf der Geraden g ($X\in g$) wenn,

$g:\;\mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {c} ,\quad \lambda \in \mathbb {R} \;\wedge \;\mathbf {a} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{n}$

Obige Gleichung nennt man auch eine Parameterdarstellung (Parameter $\lambda$).

Gerade durch zwei Punkte

Die Gerade sei durch die Punkte A und B gegeben (Ortsvektoren a,b). Der Punkt X liegt auf der Geraden g ($X\in g$) wenn,

$g:\;\mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda (\mathbf {b} -\mathbf {a} ),\quad \lambda \in \mathbb {R} \;\wedge \;\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$

Die Punkte A, B und X heißen kollinear, d.h. diese drei Punkte liegen auf der gleichen Geraden.

Ebenen

Ebene durch einen Punkt und zwei Richtungen

Gegeben sei ein Punkt A (Ortsvektor a) und zwei Richtungsvektoren c,d. Der Punkt X liegt in der Ebene E ($X\in E$) wenn,

$E:\;\mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {c} +\mu \mathbf {d} ,\quad \lambda ,\mu \in \mathbb {R} \;\wedge \;\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} \in \mathbb {R} ^{n}$

Die Ebene E wird also durch die zwei Geraden g und h aufgespannt.

Ebene durch drei Punkte

Gegeben seinen drei Punkte A, B und C (Ortsvektoren a,b,c). Der Punkt X liegt in der der Ebene E ($X\in E$) wenn,

$E:\;\mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda (\mathbf {b} -\mathbf {a} )+\mu (\mathbf {c} -\mathbf {a} ),\quad \lambda ,\mu \in \mathbb {R} \;\wedge \;\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{n}$

Die Ebene kann in diesem Fall auch über das Spatprodukt definiert werden:

$V_{Spat}=|{\mathcal {h}}\mathbf {x} -\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} -\mathbf {a} ,\;\mathbf {c} -\mathbf {a} {\mathcal {i}}|$

Da die Punkte B, C und X in einer Ebene liegen, ist $V_{Spat}=0$ und

$E:\;{\mathcal {h}}\mathbf {x} -\mathbf {a} ,\;\mathbf {b} -\mathbf {a} ,\;\mathbf {c} -\mathbf {a} {\mathcal {i}}=0$

Hessesche Normalform

n sei ein Normalenvektor zur Ebene E. Es gilt $\mathbf {n} \;\bot \;(\mathbf {x} -\mathbf {a} )$, und somit

$\mathbf {n} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {a} )=0$

Dividiert man diese Gleichung durch die Norm des Normalenvektors $\|\mathbf {n} \|$, so erhält man die Ebenengleichung in der Hesseschen Normalform

$E:\mathbf {n} _{0}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {a} )=0$

In Koordinatenschreibweise

Aus der Parameterdarstellung

$E:\mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} +\mu \mathbf {c} \ ;\quad \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}$

erhält man in Koordinaten angeschrieben

${\begin{matrix}x_{1}=a_{1}+\lambda b_{1}+\mu c_{1}\\x_{2}=a_{2}+\lambda b_{2}+\mu c_{2}\\x_{3}=a_{3}+\lambda b_{3}+\mu c_{3}\\\end{matrix}}$

Eliminiert man $\lambda ,\ \mu$ aus diesen Gleichungen, so erhält man die sogenannte Abschnittsform der Ebenengleichung

$E:\;ax+by+cz=d$

Anwendungen: Punkte, Geraden und Ebenen

Winkel zwischen Geraden

Gegeben sind zwei Geraden im $\mathbb {R} ^{3}$

$g:\mathbf {x} _{1}=\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b}$

$h:\mathbf {x} _{2}=\mathbf {a} +\mu \mathbf {c}$

Den Winkel zwischen den beiden Geraden g und h kann man über das Skalarprodukt gewinnen

$\cos \angle ={\frac {\mathbf {x} _{1}\cdot \mathbf {x} _{2}}{\|\mathbf {x} _{1}\|\|\mathbf {x} _{2}\|}}$

Normale: Abstand Punkt - Ebene

Gegeben sei ein Punkt P und eine Ebene E. D sei der Durchstoßpunkt von n durch die Ebene E.

Der Abstand von Punkt P zu Ebene E ist $\delta ={\overline {PD}}=\|\mathbf {p} -\mathbf {d} \|$

Direkt aus der Abbildung oder auch mittels der Hesseschen Ebenengleichung ergibt sich

$(\mathbf {d} -\mathbf {a} )\cdot \mathbf {n} =0$

Weiters ist

$\mathbf {d} =\mathbf {p} +\lambda \mathbf {n}$

Aus den beiden vorigen Gleichungen kann man nun $\lambda$ ermitteln

$(\mathbf {p} +\lambda \mathbf {n} -\mathbf {a} )\mathbf {n} =0$

$(\mathbf {p} -\mathbf {a} )\mathbf {n} +\lambda \mathbf {n} \mathbf {n} =0$

$\lambda =-{\frac {(\mathbf {p} -\mathbf {a} )\mathbf {n} }{\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} }}=-{\frac {(\mathbf {p} -\mathbf {a} )\mathbf {n} }{\|\mathbf {n} \|^{2}}}$

Und somit ist

$\delta =\|\mathbf {p} -\mathbf {p} +{\frac {(\mathbf {p} -\mathbf {a} )\mathbf {n} }{\|\mathbf {n} \|^{2}}}\mathbf {n} \|=\|\underbrace {(\mathbf {p} -\mathbf {a} )\mathbf {n} _{0}} _{k}\mathbf {n_{0}} \|=|k|\|\mathbf {n} _{0}\|=|k|=|(\mathbf {p} -\mathbf {a} )\mathbf {n} _{0}|$

Gerade als Schnitt zweier Ebenen

Eine Gerade im Raum $\mathbb {R} ^{3}$ kann man auch in der Form

$g={\begin{cases}E_{1}:\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=c\\E_{2}:\ b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+b_{3}x_{3}=d\end{cases}}$

darstellen. Natürlich dürfen die Ebenen hierbei nicht parallel liegen.

Beispiel: Gegeben sei eine Gerade $\mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b}$ mit $\mathbf {a} =(1,1,0),\ \mathbf {b} =(3,4,-2),\ \lambda \in \mathbb {R}$. Gesucht sind die beiden Ebenen, welche g als Schnittgerade besitzen.

$x_{1}=\ 1+3\lambda$

$x_{2}=\ 1+4\lambda$

$x_{3}=\ -2\lambda$

Daraus folgt

$\lambda =-{\frac {x_{3}}{2}}$

und schließlich ist

$E_{1}:\ x_{1}+{\frac {3}{2}}x_{3}=1$

$E_{2}:\ x_{2}+2x_{3}=1$

Beispiel: Gegeben seien zwei Ebenen $E_{1}:\;x_{1}+x_{2}+x_{3}=1;\;E_{2}:\;x_{1}+x_{3}=-3$. Gesucht ist die Schnittgerade in Parameterdarstellung.

Wir wählen z.B.: $x_{1}=\ \lambda$

und berechnen sukzessive

$x_{3}=\ -3-\lambda$

$x_{2}=\ 4$

Somit ist die Darstellung der Geraden in Parameterform

$g:\;\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}$

Durchstoßpunkt einer Geraden durch eine Ebene

Es gibt drei Möglichkeiten:

• Die Gerade g schneidet die Ebene E in einem Punkt
• Die Gerade liegt parallel zur Ebene, aber nicht in der Ebene
• Die Gerade liegt in der Ebene

Beispiel: Gegeben sei eine Gerade $g:\;\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}-1\\5\\0\end{pmatrix}}\ ;\;\alpha =\mathbb {R}$ und eine Ebene $E:\;x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$. Der Durchstoßpunkt der Gerade durch die Ebene soll berechnet werden.

Gerade g:

$x_{2}=\ 5\left(1-x_{1}\right)$

$x_{3}=\ 0$

Ebene E:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=\ 0$

Das sind drei Gleichungen für drei Unbekannte, aufgelöst

Durchstoßpunkt $D={\begin{pmatrix}{\frac {5}{4}}\\-{\frac {5}{4}}\\0\end{pmatrix}}$

Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {n} \|\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)$

Daraus kann man leicht den Winkel $\alpha$ ausrechnen.

Ähnlich funktioniert die Bestimmung eines Winkels zwischen zwei Ebenen. Dort verwendet man eben die Normalenvektoren der beiden Ebenen zur Winkelberechnung.

Übungen

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