Ing Mathematik: Vektoren

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Vektorraum[Bearbeiten]

Ein Vektorraum sei die Menge aller geordneter n-Tupel von reellen Zahlen. Ein Element eines Vektorraumes heißt Vektor

mit den Koordinaten des Vektors


Vektoren weisen einen Zahlenwert (Betrag) und eine Richtung auf. Skalare haben nur einen Zahlenwert.

Freie Vektoren können beliebig im Raum verschoben werden. Ortsvektoren (gebundene Vektoren) sind ortsgebunden.


Addition von Vektoren[Bearbeiten]

Vektor add.png



Assoziativgesetz[Bearbeiten]


Kommutativgestz[Bearbeiten]

Nullvektor[Bearbeiten]

Der Nullvektor ist das neutrale Element der Vektoraddition.


Differenzvektor[Bearbeiten]

läßt sich stets umformen zu . sei in diesem Fall der Differenzvektor.


Beispiel[Bearbeiten]

Gegeben seien die Vektoren und . Gesucht sind und .




Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar[Bearbeiten]

Geometrisch entspricht die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar der Streckung eines Vektors.



Assoziativgesetz[Bearbeiten]


Distributivgesetze[Bearbeiten]


Gegenvektor[Bearbeiten]


Parallelität[Bearbeiten]

Die zwei Vektoren a und b sind dann parallel, wenn gilt

: gleichsinnig parallel

: gegensinnig parallel


Beispiel[Bearbeiten]

Sind die Vektoren und zueinander parallel?


.


Skalarprodukt[Bearbeiten]

Gegeben sind zwei Vektoren

Das Skalarprodukt ergibt sich zu

  • Das Skalarprodukt ordnet einem Paar von Vektoren eine reelle Zahl zu.
  • Das Skalarprodukt unterscheidet sich grundlegend von der Multiplikation reeller Zahlen oder der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.


Mittels Skalarprodukt lassen sich lineare Funktionen einfach anschreiben


Norm eines Vektors[Bearbeiten]

Die Norm (Länge) eines Vektors a ist gegeben durch


Vektoren mit der Länge Eins heißen Einheitsvektoren. Normiert man einen Vektor a, so bringt man ihn auf die Länge Eins


Das Skalarprodukt ist auch definiert durch

wobei den Winkel zwischen den Vektoren a und b bezeichnet.


Kommutativgesetz[Bearbeiten]


Assoziativgesetz gilt nicht[Bearbeiten]


Distributivgesetz[Bearbeiten]


Chauchy-Schwarzsche Ungleichung[Bearbeiten]


Dreiecksungleichung[Bearbeiten]


Beispiel: Parallelogrammgleichung[Bearbeiten]

Vektoren parallelogramm.png

Es ist folgende Gleichung herzuleiten


Lösung:


und somit, wie zu zeigen war


Orthogonalität[Bearbeiten]

Zwei Vektoren a, b heißen orthogonal (= senkrecht), wenn gilt.

Man schreibt dies auch als .

Es gilt dann der Satz von Pythagoras


Orthogonalsystem[Bearbeiten]

Die Vektoren bilden ein Orthogonalsystem, wenn

Gilt zusätzlich noch

dann bilden die Vektoren ein Orthonormalsystem.


Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren[Bearbeiten]

Wikipedia: Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren


Beispiel: Satz von Thales[Bearbeiten]

Es ist der Satz von Thales "Jeder Peripheriewinkel über dem Durchmesser eines Kreises beträgt 90°" zu überprüfen.


Lösung:

Vektoren thales.png




Linearkombinationen[Bearbeiten]

Den Vektor

nennt man Linearkombination aus den Vektoren .


Ist , so nennt man die Vektoren

  • linear abhängig, wenn
  • linear unabhängig, wenn


Natürliche Basis[Bearbeiten]

Die Einheitsvektoren (Basisvektoren)

nennt man natürliche Basis des .

Für diese Basisvektoren gilt das sogenannte Kronecker-Delta


Für einen beliebigen Vektor gilt


nennt man die Komponenten des Vektors bezüglich der natürlichen Basis des .


Richtungskosinus[Bearbeiten]

daraus folgt


Beispiel[Bearbeiten]

Gesucht ist der Winkel, den der Vektor mit dem Basisvektor einschließt.


Lösung:


Projektionen[Bearbeiten]

Vektor proj.png


Unter Projektion ist hier die Orthogonalprojektion gemeint.


Skalare Projektion[Bearbeiten]


Daraus folgt die Gleichung für die skalare Projektion des Vektors a auf b


Vektorprojektion[Bearbeiten]


Daraus folgt


Beispiel[Bearbeiten]

Gegeben ist ein Vektor . Gesucht ist der Winkel, den die Orthogonalprojektion des Vektors a auf die -Ebene mit dem -Basisvektor einschließt.


Lösung:

Vektoren projektion e1e2.png

Dieses Zwischenergebnis hätte man natürlich auch direkt aus der Skizze ermitteln können, dann wäre aber der Witz dieses Beispiels verloren gegangen.



Vektorprodukt[Bearbeiten]

Vektor vprodukt.png

Das Vektorprodukt zweier linear unabhängiger Vektoren ist nur für den euklidischen Raum definiert.


Die Vektoren bilden ein Rechtssystem.


Regeln[Bearbeiten]

  • Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ:
  • Orthogonalität:
  • Parallelität:
  • Lagrangesche Identität:
  • Parallelogramm: ist der Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogrammes. ist der von a und b eingeschlossene Winkel.
  • Distributivgesetz:

Rechnungen[Bearbeiten]

Beispiel[Bearbeiten]

Gesucht ist ein normierter Normalenvektor auf die beiden Vektoren .


Lösung:


Spatprodukt[Bearbeiten]

Das Spatprodukt der Vektoren ist definiert als


Regeln[Bearbeiten]

  • Unabhängigkeit: Die Vektoren a, b, c sind linear unabhängig,wenn
  • Rechtssystem:
  • Linkssystem:
  • Spatvolumen:
  • Vertauschungssatz:


Geraden[Bearbeiten]

Gerade durch Punkt und Richtung[Bearbeiten]

Vektor gerade.png


Gegeben sei ein Punkt A (Ortsvektor a) und ein Richtungsvektor c. Der Punkt X liegt auf der Geraden g () wenn,

Obige Gleichung nennt man auch eine Parameterdarstellung (Parameter ).


Gerade durch zwei Punkte[Bearbeiten]

Vektor gerade2.png


Die Gerade sei durch die Punkte A und B gegeben (Ortsvektoren a,b). Der Punkt X liegt auf der Geraden g () wenn,

Die Punkte A, B und X heißen kollinear, d.h. diese drei Punkte liegen auf der gleichen Geraden.


Ebenen[Bearbeiten]

Ebene durch einen Punkt und zwei Richtungen[Bearbeiten]

Vektor ebene.png


Gegeben sei ein Punkt A (Ortsvektor a) und zwei Richtungsvektoren c,d. Der Punkt X liegt in der Ebene E () wenn,

Die Ebene E wird also durch die zwei Geraden g und h aufgespannt.


Ebene durch drei Punkte[Bearbeiten]

Vektor ebene2.png


Gegeben seinen drei Punkte A, B und C (Ortsvektoren a,b,c). Der Punkt X liegt in der der Ebene E () wenn,


Die Ebene kann in diesem Fall auch über das Spatprodukt definiert werden:


Da die Punkte B, C und X in einer Ebene liegen, ist und


Hessesche Normalform[Bearbeiten]

Vektor ebene3.png


n sei ein Normalenvektor zur Ebene E. Es gilt , und somit

Dividiert man diese Gleichung durch die Norm des Normalenvektors , so erhält man die Ebenengleichung in der Hesseschen Normalform


In Koordinatenschreibweise[Bearbeiten]

Aus der Parameterdarstellung

erhält man in Koordinaten angeschrieben

Eliminiert man aus diesen Gleichungen, so erhält man die sogenannte Abschnittsform der Ebenengleichung


Anwendungen: Punkte, Geraden und Ebenen[Bearbeiten]

Winkel zwischen Geraden[Bearbeiten]

Vektoren geraden winkel.png


Gegeben sind zwei Geraden im


Den Winkel zwischen den beiden Geraden g und h kann man über das Skalarprodukt gewinnen


Normale: Abstand Punkt - Ebene[Bearbeiten]

Vektoren punkt ebene.png


Gegeben sei ein Punkt P und eine Ebene E. D sei der Durchstoßpunkt von n durch die Ebene E.


Der Abstand von Punkt P zu Ebene E ist


Direkt aus der Abbildung oder auch mittels der Hesseschen Ebenengleichung ergibt sich

Weiters ist


Aus den beiden vorigen Gleichungen kann man nun ermitteln


Und somit ist


Gerade als Schnitt zweier Ebenen[Bearbeiten]

Vektoren zwei ebenen.png


Eine Gerade im Raum kann man auch in der Form

darstellen. Natürlich dürfen die Ebenen hierbei nicht parallel liegen.


Beispiel: Gegeben sei eine Gerade mit . Gesucht sind die beiden Ebenen, welche g als Schnittgerade besitzen.



Daraus folgt


und schließlich ist


Beispiel: Gegeben seinen zwei Ebenen . Gesucht ist die Schnittgerade in Parameterdarstellung.


Wir wählen z.B.:

und berechnen sukzessive


Somit ist die Darstellung der Geraden in Parameterform


Durchstoßpunkt einer Geraden durch eine Ebene[Bearbeiten]

Es gibt drei Möglichkeiten:

  • Die Gerade g schneidet die Ebene E in einem Punkt
  • Die Gerade liegt parallel zur Ebene, aber nicht in der Ebene
  • Die Gerade liegt in der Ebene


Beispiel: Gegeben sei eine Gerade und eine Ebene . Der Durchstosspunkt der Gerade durch die Ebene soll berechnet werden.


Gerade g:


Ebene E:


Das sind drei Gleichungen für drei Unbekannte, aufgelöst

Durchstosspunkt


Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene[Bearbeiten]

Vektor winkel g e.png


Daraus kann man leicht den Winkel ausrechnen.

Ähnlich funktioniert die Bestimmung eines Winkels zwischen zwei Ebenen. Dort verwendet man eben die Normalenvektoren der beiden Ebenen zur Winkelberechnung.

Übungen[Bearbeiten]

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