Ing Mathematik: Wichtige Funktionen

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Exponentialfunktionen[Bearbeiten]

Es sei , sowie . Dann ist


a nennt man Basis und n den Exponenten der Potenz (Exponentialfunktion zur Basis a). Es gilt auch, daß für jedes und definiert ist.

Eine Exponentialfunktion ist stetig und für monoton steigend, für monoton fallend.

Exponentialfunktion.png

Rechenregeln[Bearbeiten]

Natürliche Exponentialfunktion[Bearbeiten]

Die Exponentialfunktion zur Basis e (e = 2,718..., Eulersche Zahl) kann für alle folgendermaßen definiert werden

oder


Logarithmen[Bearbeiten]

Den Logarithmus zur Basis a schreibt man . Manchmal ist das auch in dieser Schreibweise zu sehen.

Logarithmen sind Umkehrfunktionen zu den Exponentialfunktionen.

Logarithmen1.png Logarithmen2.png

Rechenregeln[Bearbeiten]

Wichtige Basen[Bearbeiten]

Basis 2[Bearbeiten]

Zweierlogarithmus, Duallogarithmus oder binärer Logarithmus

oder

Basis 10[Bearbeiten]

Zehnerlogarithmus, dekadischer Logarithmus oder Briggscher Logarithmus

Basis e[Bearbeiten]

natürlicher Logarithmus, Logarithmus naturalis

oder

Umrechnung zwischen verschiedenen Basen[Bearbeiten]


eingesetzt


daraus folgt, dass

sein muss.


Alternativ kann man diese Beziehung auch aus der Rechenregel

ableiten.


Trigonometrische Funktionen (Winkel-, Kreisfunktionen)[Bearbeiten]

Das Bogenmaß[Bearbeiten]

Bogenmass.png

Das Bogenmaß ist definiert als dimensionslose Größe

Bekannt ist der Umfang eines Kreises

.

Somit gilt für den Vollkreis

Genauso wird das Bogenmaß definiert. 360° entsprechen im Bogenmaß. Das Bogenmaß ist eigentlich dimensionslos, wird aber oft mit der Einheit Radiant [rad] versehen.

Winkel in [°] Bogenmaß in [1] oder in [rad]
1
45
~57,3 1
90
180
360


Umrechnung von Graden in das Bogenmaß:

mit in [rad] und in [°].


Sind Kreisbogenlänge und Radius gleich lang, dann wird . Am Einheitskreis enspricht das Bogenmaß der Kreisbogenlänge.

Die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis [Bearbeiten]

Trig function.png

Sinus und Cosinus[Bearbeiten]

Sin cos.png


sin x ist eine schiefsymmetrische Funktion, während cos x eine symmetrische Funktion repräsentiert, d.h.

Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen, es gilt:

Des Weiteren gilt:

Definition:


Daraus folgt unmittelbar die Eulerformel:

Direkt aus den Verhältnissen am Einheitskreis läßt sich mittels des Satzes von Pythagoras die Beziehung

ableiten.

Alternativ muss sich natürlich auch aus der obigen Definiton selbiges Ergebnis ableiten lassen:

Am Einheitskreis läßt sich auch leicht erkennen, dass

sein muss.

Additionstheoreme[Bearbeiten]

Tangens und Cotangens[Bearbeiten]

Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen[Bearbeiten]

Hyperbelfunktionen[Bearbeiten]

Polynome[Bearbeiten]

Rationale Funktionen[Bearbeiten]

Parameterdarstellung[Bearbeiten]

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