Ing Mathematik: Wichtige Funktionen

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Exponentialfunktionen

Es sei $a\ >\ 0$ , sowie $n\in \mathbb {N}$ . Dann ist

$a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n\;mal}$

a nennt man Basis und n den Exponenten der Potenz $a^{n}$ (Exponentialfunktion zur Basis a). Es gilt auch, daß $a^{n}$ für jedes $0<a<\infty$ und $n\in \mathbb {R}$ definiert ist.

Eine Exponentialfunktion ist stetig und für $a>1$ monoton steigend, für $0<a<1$ monoton fallend.

Rechenregeln

$a^{0}\ =1$
$a^{1}\ =a$
$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$
$r={\frac {p}{q}}:\;a^{r}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$
$a^{n+m}=a^{n}\cdot a^{m}$
$a^{n-m}={\frac {a^{n}}{a^{m}}}$
$a^{n\cdot m}=(a^{n})^{m}$
$a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}$

Natürliche Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion zur Basis e (e = 2,718..., Eulersche Zahl) kann für alle $z\in \mathbb {C}$ folgendermaßen definiert werden

$e^{z}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {z^{i}}{i!}}$

oder

$e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}$

Logarithmen

Den Logarithmus zur Basis a schreibt man $\,\log _{a}x$ . Manchmal ist das auch in dieser Schreibweise $\,_{a}\log x$ zu sehen.

Logarithmen sind Umkehrfunktionen zu den Exponentialfunktionen.

$y=a^{x}$

$x=\log _{a}y$

Rechenregeln

$a^{\log _{a}x}=x$
$\log _{a}\left(a^{x}\right)=x$
$\log _{a}\left(1\right)=0$
$\log _{a}\left(a\right)=1$
$\log _{a}\left(xy\right)=\log _{a}x+\log _{a}y$
$\log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}x-\log _{a}y$
$\log _{a}\left({\frac {1}{x}}\right)=-\log _{a}x$
$\log _{a}\left(x^{y}\right)=y\log _{a}x$
${\frac {\log _{a}x}{\log _{a}y}}={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}y}}$

Wichtige Basen

Basis 2

Zweierlogarithmus, Duallogarithmus oder binärer Logarithmus

$\log _{2}x\ =\ {\mbox{lb}}\ x$

oder

$\log _{2}x\ =\ {\mbox{ld}}\ x$

Basis 10

Zehnerlogarithmus, dekadischer Logarithmus oder Briggscher Logarithmus

$\log _{10}x\ =\ \lg x$

Basis e

natürlicher Logarithmus, Logarithmus naturalis

$\log _{e}x\ =\ \ln x$

oder

$\log _{e}x\ =\ \log x$

Umrechnung zwischen verschiedenen Basen

$x=a^{\log _{a}x}=b^{\log _{b}x}$

$b=a^{\log _{a}b}$

eingesetzt

$a^{\log _{a}x}=a^{\log _{a}b^{\log _{b}x}}=a^{\log _{b}x\cdot \log _{a}b}$

daraus folgt, dass

$\log _{a}x=\log _{b}x\cdot \log _{a}b$

sein muss.

Alternativ kann man diese Beziehung auch aus der Rechenregel

${\frac {\log _{a}x}{\log _{a}y}}={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}y}}$

ableiten.

${\frac {\log _{a}x}{\log _{a}b}}={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}b}}$

$\log _{a}x=\log _{b}x\cdot \log _{a}b$

Trigonometrische Funktionen (Winkel-, Kreisfunktionen)

Das Bogenmaß

Das Bogenmaß ist definiert als dimensionslose Größe

$\phi \ ={\frac {s}{r}}$

Bekannt ist der Umfang eines Kreises

$U=2\pi r=\phi _{V}\cdot r$ .

Somit gilt für den Vollkreis

$\phi _{V}\ =\ 2\pi$

Genauso wird das Bogenmaß definiert. 360° entsprechen $2\ \pi$ im Bogenmaß. Das Bogenmaß ist eigentlich dimensionslos, wird aber oft mit der Einheit Radiant [rad] versehen.