Es sei
, sowie
. Dann ist
a nennt man Basis und n den Exponenten der Potenz
(Exponentialfunktion zur Basis a). Es gilt auch, daß
für jedes
und
definiert ist.
Eine Exponentialfunktion ist stetig und für
monoton steigend, für
monoton fallend.



![{\displaystyle r={\frac {p}{q}}:\;a^{r}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8140d36f81620b0281be3962028d3f6af972574f)




Die Exponentialfunktion zur Basis e (e = 2,718..., Eulersche Zahl) kann für alle
folgendermaßen definiert werden

oder

- Radioaktiver Zerfallsprozess
- Barometrische Höhenformel:

- Lade-/Entladevorgang beim Kondensator:

Den Logarithmus zur Basis a schreibt man
. Manchmal ist das auch in dieser Schreibweise
zu sehen.
Logarithmen sind Umkehrfunktionen zu den Exponentialfunktionen.









Zweierlogarithmus, Duallogarithmus oder binärer Logarithmus
oder
Zehnerlogarithmus, dekadischer Logarithmus oder Briggscher Logarithmus
natürlicher Logarithmus, Logarithmus naturalis
oder
Umrechnung zwischen verschiedenen Basen
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eingesetzt
daraus folgt, dass
sein muss.
Alternativ kann man diese Beziehung auch aus der Rechenregel
ableiten.
Trigonometrische Funktionen (Winkel-, Kreisfunktionen)
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Das Bogenmaß ist definiert als dimensionslose Größe
Bekannt ist der Umfang eines Kreises
.
Somit gilt für den Vollkreis
Genauso wird das Bogenmaß definiert. 360° entsprechen
im Bogenmaß. Das Bogenmaß ist eigentlich dimensionslos, wird aber oft mit der Einheit Radiant [rad] versehen.
Winkel in [°]
|
Bogenmaß in [1] oder in [rad]
|
1 |
|
45 |
|
~57,3 |
1
|
90 |
|
180 |
|
360 |
|
Umrechnung von Graden in das Bogenmaß:
mit
in [rad] und
in [°].
Sind Kreisbogenlänge und Radius gleich lang, dann wird
. Am Einheitskreis entspricht das Bogenmaß der Kreisbogenlänge.
Die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis
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sin x ist eine schiefsymmetrische Funktion, während cos x eine symmetrische Funktion repräsentiert, d.h.


Sinus und Kosinus (statt Cosinus wird häufig auch Kosinus geschrieben) sind periodische Funktionen, es gilt:


Des Weiteren gilt:

Definition:


Daraus folgt unmittelbar die Eulerformel:
Direkt aus den Verhältnissen am Einheitskreis läßt sich mittels des Satzes von Pythagoras die Beziehung
ableiten.
Alternativ muss sich natürlich auch aus der obigen Definition selbiges Ergebnis ableiten lassen:
Am Einheitskreis läßt sich auch leicht erkennen, dass


sein muss.






Übung: Leiten Sie die Additionstheoreme her.
Ein Beispiel aus der Technik (Schwingungen):
Beispiel für den Tangens (Steigung):
Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen
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Hauptwerte der Arkusfunktionen:
Sinus hyperbolicus (oder Hyperbelsinus), Kosinus hyperbolicus (oder Hyperbelkosinus), Tangens hyperbolicus (oder Hyperbeltangens):
Übungen: Leiten Sie




her.
Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen zu den Hyperbelfunktionen.
-
Areasinus hyperbolicus
-
Areakosinus hyperbolicus
-
Areatangens hyperbolicus
Übung: Leiten Sie die obigen Formeln (Area... hyperbolicus) her.
Polynom n-ten Grades:
-
Polynome 1. Grades (Geraden

)
-
Polynome 2. Grades (Normalparabeln

)
-
Polynom 5. Grades
Ein Kreis lässt sich als
darstellen. Eine andere Darstellungsweise geht vom Parameter
(Winkel) aus (der Radius r sei konstant):
mit
Dies nennt man die Parameterdarstellung des Kreises. Ein anderes Beispiel ist die archimedische Spirale:
mit
.
Diese archimedische Spirale kann übrigens nicht in der Form
dargestellt werden.
Die Parameterdarstellung der Geraden wurde im Kapitel Ing_Mathematik:_Vektoren#Geraden bereits behandelt.