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Ing Mathematik: Wichtige Funktionen

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Exponentialfunktionen

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Es sei , sowie . Dann ist


a nennt man Basis und n den Exponenten der Potenz (Exponentialfunktion zur Basis a). Es gilt auch, daß für jedes und definiert ist.

Eine Exponentialfunktion ist stetig und für monoton steigend, für monoton fallend.

Rechenregeln

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Natürliche Exponentialfunktion

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Die Exponentialfunktion zur Basis e (e = 2,718..., Eulersche Zahl) kann für alle folgendermaßen definiert werden

oder

Beispiele aus der Physik und Technik

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  • Radioaktiver Zerfallsprozess
  • Barometrische Höhenformel:
  • Lade-/Entladevorgang beim Kondensator:

Logarithmen

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Den Logarithmus zur Basis a schreibt man . Manchmal ist das auch in dieser Schreibweise zu sehen.

Logarithmen sind Umkehrfunktionen zu den Exponentialfunktionen.

Rechenregeln

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Wichtige Basen

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Basis 2

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Zweierlogarithmus, Duallogarithmus oder binärer Logarithmus

oder

Basis 10

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Zehnerlogarithmus, dekadischer Logarithmus oder Briggscher Logarithmus

Basis e

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natürlicher Logarithmus, Logarithmus naturalis

oder

Umrechnung zwischen verschiedenen Basen

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eingesetzt


daraus folgt, dass

sein muss.


Alternativ kann man diese Beziehung auch aus der Rechenregel

ableiten.


Beispiele

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Trigonometrische Funktionen (Winkel-, Kreisfunktionen)

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Das Bogenmaß

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Das Bogenmaß ist definiert als dimensionslose Größe

Bekannt ist der Umfang eines Kreises

.

Somit gilt für den Vollkreis

Genauso wird das Bogenmaß definiert. 360° entsprechen im Bogenmaß. Das Bogenmaß ist eigentlich dimensionslos, wird aber oft mit der Einheit Radiant [rad] versehen.

Winkel in [°] Bogenmaß in [1] oder in [rad]
1
45
~57,3 1
90
180
360


Umrechnung von Graden in das Bogenmaß:

mit in [rad] und in [°].


Sind Kreisbogenlänge und Radius gleich lang, dann wird . Am Einheitskreis entspricht das Bogenmaß der Kreisbogenlänge.

Die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis

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Sinus und Cosinus

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sin x ist eine schiefsymmetrische Funktion, während cos x eine symmetrische Funktion repräsentiert, d.h.

Sinus und Kosinus (statt Cosinus wird häufig auch Kosinus geschrieben) sind periodische Funktionen, es gilt:

Des Weiteren gilt:

Definition:


Daraus folgt unmittelbar die Eulerformel:

Direkt aus den Verhältnissen am Einheitskreis läßt sich mittels des Satzes von Pythagoras die Beziehung

ableiten.

Alternativ muss sich natürlich auch aus der obigen Definition selbiges Ergebnis ableiten lassen:

Am Einheitskreis läßt sich auch leicht erkennen, dass

sein muss.

Additionstheoreme

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Übung: Leiten Sie die Additionstheoreme her.

Ein Beispiel aus der Technik (Schwingungen):

Tangens und Cotangens

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Beispiel für den Tangens (Steigung):

Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen

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Hauptwerte der Arkusfunktionen:

Hyperbel- und Areafunktionen

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Sinus hyperbolicus (oder Hyperbelsinus), Kosinus hyperbolicus (oder Hyperbelkosinus), Tangens hyperbolicus (oder Hyperbeltangens):

Übungen: Leiten Sie

her.

Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen zu den Hyperbelfunktionen.

Übung: Leiten Sie die obigen Formeln (Area... hyperbolicus) her.

Polynome

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Polynom n-ten Grades:

Rationale Funktionen

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Parameterdarstellung

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Ein Kreis lässt sich als darstellen. Eine andere Darstellungsweise geht vom Parameter (Winkel) aus (der Radius r sei konstant):

mit

Dies nennt man die Parameterdarstellung des Kreises. Ein anderes Beispiel ist die archimedische Spirale:

mit .

Diese archimedische Spirale kann übrigens nicht in der Form dargestellt werden.

Die Parameterdarstellung der Geraden wurde im Kapitel Ing_Mathematik:_Vektoren#Geraden bereits behandelt.