Ing Mathematik: Wichtige Funktionen

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Exponentialfunktionen

Es sei $a\ >\ 0$, sowie $n\in \mathbb {N}$. Dann ist

$a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n\;mal}$

a nennt man Basis und n den Exponenten der Potenz $a^{n}$ (Exponentialfunktion zur Basis a). Es gilt auch, daß $a^{n}$ für jedes $0<a<\infty$ und $n\in \mathbb {R}$ definiert ist.

Eine Exponentialfunktion ist stetig und für $a>1$ monoton steigend, für $0<a<1$ monoton fallend.

Rechenregeln

• $a^{0}\ =1$
• $a^{1}\ =a$
• $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$
• $r={\frac {p}{q}}:\;a^{r}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$
• $a^{n+m}=a^{n}\cdot a^{m}$
• $a^{n-m}={\frac {a^{n}}{a^{m}}}$
• $a^{n\cdot m}=(a^{n})^{m}$
• $a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}$

Natürliche Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion zur Basis e (e = 2,718..., Eulersche Zahl) kann für alle $z\in \mathbb {C}$folgendermaßen definiert werden

• $e^{z}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {z^{i}}{i!}}$

oder

• $e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}$

Logarithmen

Den Logarithmus zur Basis a schreibt man $\,\log _{a}x$. Manchmal ist das auch in dieser Schreibweise $\,_{a}\log x$ zu sehen.

Logarithmen sind Umkehrfunktionen zu den Exponentialfunktionen.

$y=a^{x}$

$x=\log _{a}y$

Rechenregeln

• $a^{\log _{a}x}=x$
• $\log _{a}\left(a^{x}\right)=x$
• $\log _{a}\left(1\right)=0$
• $\log _{a}\left(a\right)=1$
• $\log _{a}\left(xy\right)=\log _{a}x+\log _{a}y$
• $\log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}x-\log _{a}y$
• $\log _{a}\left({\frac {1}{x}}\right)=-\log _{a}x$
• $\log _{a}\left(x^{y}\right)=y\log _{a}x$
• ${\frac {\log _{a}x}{\log _{a}y}}={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}y}}$

Wichtige Basen

Basis 2

Zweierlogarithmus, Duallogarithmus oder binärer Logarithmus

$\log _{2}x\ =\ {\mbox{lb}}\ x$

oder

$\log _{2}x\ =\ {\mbox{ld}}\ x$

Basis 10

Zehnerlogarithmus, dekadischer Logarithmus oder Briggscher Logarithmus

$\log _{10}x\ =\ \lg x$

Basis e

natürlicher Logarithmus, Logarithmus naturalis

$\log _{e}x\ =\ \ln x$

oder

$\log _{e}x\ =\ \log x$

Umrechnung zwischen verschiedenen Basen

$x=a^{\log _{a}x}=b^{\log _{b}x}$

$b=a^{\log _{a}b}$

eingesetzt

$a^{\log _{a}x}=a^{\log _{a}b^{\log _{b}x}}=a^{\log _{b}x\cdot \log _{a}b}$

daraus folgt, dass

$\log _{a}x=\log _{b}x\cdot \log _{a}b$

sein muss.

Alternativ kann man diese Beziehung auch aus der Rechenregel

${\frac {\log _{a}x}{\log _{a}y}}={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}y}}$

ableiten.

${\frac {\log _{a}x}{\log _{a}b}}={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}b}}$

$\log _{a}x=\log _{b}x\cdot \log _{a}b$

Trigonometrische Funktionen (Winkel-, Kreisfunktionen)

Das Bogenmaß

Das Bogenmaß ist definiert als dimensionslose Größe

$\phi \ ={\frac {s}{r}}$

Bekannt ist der Umfang eines Kreises

$U=2\pi r=\phi _{V}\cdot r$.

Somit gilt für den Vollkreis

$\phi _{V}\ =\ 2\pi$

Genauso wird das Bogenmaß definiert. 360° entsprechen $2\ \pi$ im Bogenmaß. Das Bogenmaß ist eigentlich dimensionslos, wird aber oft mit der Einheit Radiant [rad] versehen.

Winkel in [°]	Bogenmaß in [1] oder in [rad]
1	${\frac {2\pi }{360}}={\frac {\pi }{180}}$
45	${\frac {\pi }{4}}$
~57,3	1
90	${\frac {\pi }{2}}$
180	$\pi \$
360	$2\pi \$

Umrechnung von Graden in das Bogenmaß:

$\phi ={\frac {\pi }{180}}\varphi$

mit $\phi \$ in [rad] und $\varphi$ in [°].

Sind Kreisbogenlänge und Radius gleich lang, dann wird $\phi \ =\ 1$. Am Einheitskreis entspricht das Bogenmaß der Kreisbogenlänge.

Die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis

Sinus und Cosinus

sin x ist eine schiefsymmetrische Funktion, während cos x eine symmetrische Funktion repräsentiert, d.h.

• $\sin(-x)\ =\ -\sin x$
• $\cos(-x)\ =\ \cos x$

Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen, es gilt:

• $\sin(x+2k\pi )\ =\ \sin x$
• $\cos(x+2k\pi )\ =\ \cos x$

Des Weiteren gilt:

• $\cos(x)\ =\ \sin(x-{\frac {\pi }{2}})$

Definition:

• $\sin x=\Im \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$
• $\cos x=\Re \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$

Daraus folgt unmittelbar die Eulerformel:

$e^{ix}=\Re \left(e^{ix}\right)+\Im \left(e^{ix}\right)=\cos x+i\sin x$

Direkt aus den Verhältnissen am Einheitskreis läßt sich mittels des Satzes von Pythagoras die Beziehung

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x\ =\ 1$

ableiten.

Alternativ muss sich natürlich auch aus der obigen Definition selbiges Ergebnis ableiten lassen:

$e^{ix}e^{-ix}\ =\ e^{ix-ix}\ =\ 1$

$e^{ix}\ =\ \cos x+i\sin x$ $e^{-ix}\ =\ \cos x-i\sin x$

$e^{ix}e^{-ix}\ =\ \sin ^{2}x+\cos ^{2}x\ =\ 1$

Am Einheitskreis läßt sich auch leicht erkennen, dass

• $|\sin x|\ \leq 1$
• $|\cos x|\ \leq 1$

sein muss.

Additionstheoreme

• $\sin \left(x\pm y\right)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y$
• $\cos \left(x\pm y\right)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y$
• $\sin x+\sin y=2\sin {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}$
• $\cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}$
• $\sin x-\sin y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}$
• $\cos x-\cos y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}$

Parameterdarstellung

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