Lineare Algebra: Allgemeine Vektorräume: Basis und Dimension

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Linearkombination[Bearbeiten]

Sei V ein Vektorraum und B eine Teilmenge von V. Eine Linearkombination aus B ist eine endliche Summe skalarer Vielfacher von Elementen aus . Das heißt, sind und Elemente des Körpers („Skalare“), dann ist

eine Linearkombination aus .

Eine Linearkombination des Nullvektors heißt trivial / linear unabhängig, wenn alle Skalare gleich Null sind, sonst heißt sie nichttrivial / linear abhängig.

Erzeugendensysteme[Bearbeiten]

Der von einer Teilmenge eines Vektorraums erzeugte Untervektorraum ist der Durchschnitt aller Unterräume , die Obermenge von sind. Ein Vektorraum, der ein endliches Erzeugendensystem besitzt, heißt endlich erzeugt.

Gleichwertig hierzu ist: span(A) ist die Menge aller Linearkombinationen von Elementen in A.

Lineare Unabhängigkeit[Bearbeiten]

Eine endliche Teilmenge eines -Vektorraums heißt linear abhängig, wenn es Skalare gibt, die nicht alle null sind, aber die Gleichung erfüllen. Eine unendliche Teilmenge nennen wir genau dann linear abhängig, wenn sie eine endliche linear abhängige Teilmenge umfasst. Eine nicht linear abhängige Menge heißt linear unabhängig.

Basen[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Eine Basis eines Vektorraums ist eine Teilmenge von die eine der und damit alle folgenden gleichwertigen Eigenschaften hat:

  1. Jedes Element von lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus darstellen und diese Darstellung ist eindeutig.
  2. ist ein minimales Erzeugendensystem von .
  3. ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von .
  4. ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von .

Jeder Vektorraum hat mindestens eine Basis (s. eine Skizze des Existenzbeweises unten).

Beweis der Äquivalenz der Definitionen[Bearbeiten]

Die folgenden Überlegungen skizzieren einen Beweis dafür, dass die vier charakterisierenden Eigenschaften, die als Definition des Begriffs Basis genannt werden, äquivalent sind. (Für diesen Beweis wird das Auswahlaxiom oder Lemma von Zorn nicht benötigt.)

  • Wenn sich jeder Vektor als Linearkombination von Vektoren in B darstellen lässt, dann ist B ein Erzeugendensystem (nach Definition).
    Wenn B nicht minimales Erzeugendensystem ist, dann gibt es eine echte Teilmenge B*, die auch ein Erzeugendensystem ist. Sei nun b0 ein Element von B, welches nicht in B* liegt. Dann lässt sich b0 auf mindestens zwei verschiedene Arten als Linearkombination von Vektoren in B darstellen: Zum einen als Linearkombination von Vektoren in B* und einmal als . Das ist ein Widerspruch zur Eindeutigkeit der Darstellung in (1), daher ist B minimal.
    Also gilt (1) → (2).
  • Jedes minimale Erzeugendensystem muss linear unabhängig sein. Denn wenn B nicht linear unabhängig ist, dann gibt es einen Vektor b0 in B, welcher sich als Linearkombination von Vektoren in darstellen lässt. Dann aber lässt sich jede Linearkombination von Vektoren in B auch durch eine Linearkombination von Vektoren in darstellen und B wäre kein minimales Erzeugendensystem.
    Also gilt (2) → (4).
  • Jedes linear unabhängige Erzeugendensystem B muss eine maximale linear unabhängige Menge sein. Wäre nämlich B nicht maximal linear unabhängig, so gäbe es ein , das nicht in B liegt, welches zusammen mit B linear unabhängig wäre. Aber b0 lässt sich als Linearkombination von Elementen aus B darstellen, was der linearen Unabhängigkeit widerspricht.
    Also gilt (4) → (3).
  • Ein maximal linear unabhängiges System B ist ein Erzeugendensystem. Sei b* ein beliebiger Vektor. Wenn b* in B enthalten ist, dann lässt er sich als Linearkombination von Elementen aus B schreiben. Wenn aber b* nicht in B enthalten ist, dann ist die Menge eine echte Obermenge von B und damit nicht mehr linear unabhängig. Die Vektoren , die in einer nichttrivialen Linearkombination des Nullvektors vorkommen, können nicht alle aus sein, daher muss einer davon (sagen wir b1) gleich b* sein, mit . Daher ist .
    Also gilt (3) → (1).

Existenzbeweis (Skizze)[Bearbeiten]

Mit dem Lemma von Zorn kann man beweisen, dass jeder Vektorraum eine Basis haben muss, auch wenn man sie oft nicht explizit angeben kann. (Umgekehrt kann man aus dem Satz, dass jeder Vektorraum eine Basis hat, auch das Auswahlaxiom oder das Lemma von Zorn beweisen. Daher kann man in einer Mengenlehre ohne das Auswahlaxiom oder äquivalente Aussagen nicht beweisen, dass jeder Vektorraum eine Basis hat.)

Sei ein Vektorraum. Man möchte eine maximale linear unabhängige Teilmenge des Vektorraums finden. Es liegt also nahe, das Mengensystem

 linear unabhängig

zu betrachten, das durch die Relation halbgeordnet wird.

Man kann nun leicht zeigen:

  1. ist nicht leer (zum Beispiel enthält die leere Menge. Besteht nicht nur aus dem Nullvektor, dann ist zusätzlich auch jede Einermenge mit in und ein Element von .
  2. Für jede Kette ist auch in . (Eine Kette C ist hier ein System von linear unabhängigen Teilmengen von V, die sich untereinander mit der Teilmengenrelation vergleichen lassen).

Aus dem Lemma von Zorn folgt nun, dass ein maximales Element hat. Es folgt sogar, dass jedes Element von in einem maximalen Element von enthalten ist. Die maximalen Elemente von sind nun aber genau die maximalen linear unabhängigen Teilmengen von , also die Basen von . Daher hat eine Basis und es gilt darüber hinaus, dass jede linear unabhängige Teilmenge von in einer Basis von enthalten ist.

Weitere Aussagen über Basen[Bearbeiten]

  • Austauschlemma von Steinitz (nach Ernst Steinitz): Sind eine Basis eines Vektorraumes und ein weiterer vom Nullvektor verschiedener Vektor aus , so kann man einen der Basisvektoren gegen "austauschen", d.h. es existiert ein Index , so dass ebenfalls eine Basis von ist.
    Diese Aussage wird häufig dazu benutzt, um zu zeigen, dass alle Basen eines Vektorraumes aus der gleichen Anzahl an Vektoren bestehen.
  • Jeder Vektorraum ist ein freies Objekt über seiner Basis. Dies ist eine universelle Eigenschaft von Vektorräumen im Sinne der Kategorientheorie. Konkret heißt dies:
  1. Eine lineare Abbildung eines Vektorraums in einen anderen Vektorraum ist bereits durch die Bilder der Basisvektoren vollständig bestimmt.
  2. Jede beliebige Abbildung der Basis in den Bildraum definiert eine lineare Abbildung.
  • In einem -dimensionalen Vektorraum über einem endlichen Körper mit Elementen gibt es
verschiedene Basen.

Dimension eines Vektorraums[Bearbeiten]

Alle Basen haben die gleiche Anzahl von Elementen (Mächtigkeit): die Dimension von . Oft unterscheidet man die Dimensionen nicht endlich-erzeugter Vektorräume nicht und schreibt einfach , ohne die verschiedenen Kardinalzahlen unendlicher Basen zu unterscheiden.