MathGymOS/ Analysis/ Kurvendiskussion/ Wendepunkte

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Im vorherigen Abschnitt haben wir die Extrempunkte einer Funktion, also die Stellen, an denen der Graph die Richtung der Steigung ändert, ausgerechnet. Jetzt wollen wir analog dazu die Punkte bestimmen, an denen der Graph die Richtung der Krümmung ändert.


Wendepunkt (schwarz) mit Wendetangente (rot). Deutlich erkennbar die Wendung von Rechts- in Linkskurve.

Wie wir schon gelernt haben, beschreibt die 2. Ableitung die Krümmung des Graphen. Wenn sie negativ ist, ist er rechtsgekrümmt, ist sie positiv, so krümmt er sich nach links. Soll sich die Richtung der Krümmung ändern, muss es auch einen Punkt geben, an dem sie gerade 0 ist. Diesen Punkt nennt man Wendepunkt.

Wie schon bei den Extrempunkten, gibt es auch hier wieder zwei unterschiedliche Arten. Zum einen die links-rechts Wendepunkte und zum Anderen die rechts-links Wendepunkte, benannt nach der Art des Krümmungsübergangs. Um welchen Typ es sich handelt kann mit der 3. Ableitung bestimmt werden: ist sie positiv handelt es sich um einen rechts-links Wendepunkt und umgekehrt.

Rechentechnisch geht man ganz genauso vor, wie bei der Bestimmung des Extremstellen. Man sucht die Nullstellen der 2. Ableitung, setzt die Werte in die ursprüngliche Funktion ein, bildet die 3. Ableitung und überprüft um welche Art von Wendepunkt es sich handelt. Man muss noch kurz überprüfen, ob Nullstellen von 1. und 2. Ableitung zusammenfallen (in diesem Fall hat man einen Sattelpunkt gefunden).

In seltenen Fällen passiert es, dass sowohl zweite als auch dritte Ableitung an einem Wendepunkt Null sind. Dann setzt man einen x-Wert, der sich ein wenig links, und einen x-Wert, der sich ein wenig rechts von den Wendestelle befindet in die zweite Ableitung ein und bestimmt so die Art des Wendpunktes.

Beispiel: Extrempunkte

Gegeben sei wieder einmal die Funktion

Mit Hilfe der Regeln zur Ableitung ganzrationaler Funktionen bilden wir die zweite und dritte Ableitung:

notwendiges Kriterium:

Daraus ergibt sich:

hinreichendes Kriterium:

Es gilt:

Damit haben wir eine Kurve, die von einer Rechts- in eine Linkskrümmung übergeht.

Der Wendepunkt liegt nun an der Stelle