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Winkel und Orthogonalität

Mit Hilfe des Skalarproduktes lässt sich umgekehrt auch der Winkel zwischen den zu zwei Vektoren gehörenden Pfeilen berechnen. Dieser Winkel wird dann auch als Winkel zwischen den Vektoren bezeichnet:

Winkel zwischen zwei Vektoren

Der Winkel zwischen einem Vektor ${\vec {a}}$ und einem zweiten Vektor ${\vec {b}}$ (beide nicht der Nullvektor) ist:

$\varphi =\arccos {\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|}}$

 

Achtung! Das Produkt im Zähler ist ein Skalarprodukt, das im Nenner ist ein Produkt von Zahlen (Beträge=skalare Größen).

Eine wesentliche Rolle in vielen geometrischen Aufgaben spielt der rechte Winkel $\varphi =90^{\circ }$.

Definition

Zwei Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$, die einen rechten Winkel einschließen, heißen orthogonal. Symbol: ${\vec {a}}\perp {\vec {b}}$.

Für den Nullvektor ${\vec {0}}$ wird festgelegt, dass er orthogonal zu jedem anderen Vektor sein soll, also ${\vec {a}}\perp {\vec {0}}$ gilt für jeden Vektor ${\vec {a}}$.

 

Beachte Dass der Nullvektor ${\vec {0}}$ orthogonal zu jedem anderen Vektor ist, wird in manchen Büchern ausdrücklich ausgeschlossen. Wegen der einfacheren Schreibweisen und der Definition für allgemeinere Vektorräume soll dies aber in diesem Buch so gelten. Der Nullvektor ist damit der einzige Vektor, der zu sich selbst orthogonal ist.

Satz

Für je zwei Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ gilt:

${\vec {a}}\perp {\vec {b}}\Leftrightarrow {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$

 

Beweis

Teil 1

${\vec {a}}\perp {\vec {b}}\Rightarrow \varphi =90^{\circ }\Rightarrow \cos(\varphi )=0\Rightarrow {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|\cdot \cos(\varphi )=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|\cdot 0=0$

Teil 2

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0\Rightarrow \left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|\cdot \cos(\varphi )=0\Rightarrow \left|{\vec {a}}\right|=0\vee \left|{\vec {b}}\right|=0\vee \cos(\varphi )=0$

In den ersten beiden Fällen ist ${\vec {a}}={\vec {0}}$ bzw. ${\vec {b}}={\vec {0}}$ und damit gilt per Definition ${\vec {a}}\perp {\vec {b}}$. Es ist also noch der dritte Fall zu betrachten:

$\cos(\varphi )=0\Rightarrow \varphi \in \{90^{\circ },270^{\circ },\ldots \}=\{90^{\circ }+k\cdot 180^{\circ },{\mbox{ mit }}k\in \mathbb {Z} \}$

Da aber $\varphi$ als (kleinerer der beiden) Winkel zwischen ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ aus dem Intervall $\left[0^{\circ };180^{\circ }\right]$ ist, gilt:

$\varphi =90^{\circ }\Rightarrow {\vec {a}}\perp {\vec {b}}$

 

Beispiele

• Gegeben sind die Vektoren ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}1\\2\\-2\\\end{pmatrix}}$ und ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}3\\3\\0\\\end{pmatrix}}$.

Die beiden Vektoren schließen den Winkel $\varphi$ ein

$\varphi =\arccos {\frac {{\begin{pmatrix}1\\2\\-2\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\3\\0\\\end{pmatrix}}}{{\sqrt {1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}}\cdot {\sqrt {3^{3}+3^{2}}}}}=\arccos {\frac {9}{3\cdot {\sqrt {18}}}}=\arccos {\frac {1}{\sqrt {2}}}=45^{\circ }$

• Gegeben ist das Dreieck $\left.\Delta _{ABC}\right.$ mit $A(3|6|-2),\,B(4|8|-3),\,C(6|9|1)$. Bestimme die Innenwinkel des Dreiecks.

${\overrightarrow {AB}}={\begin{pmatrix}1\\2\\-1\\\end{pmatrix}},\;\left|{\overrightarrow {AB}}\right|={\sqrt {6}},\;{\overrightarrow {BC}}={\begin{pmatrix}2\\1\\4\\\end{pmatrix}},\;\left|{\overrightarrow {BC}}\right|={\sqrt {21}},\;{\overrightarrow {CA}}={\begin{pmatrix}-3\\-3\\-3\\\end{pmatrix}},\;\left|{\overrightarrow {CA}}\right|=3{\sqrt {3}}$

$\alpha =\arccos {\frac {{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}}{\left|{\overrightarrow {AB}}\right|\cdot \left|{\overrightarrow {AC}}\right|}}=\arccos {\frac {6}{{\sqrt {6}}\cdot 3{\sqrt {3}}}}\approx 61,9^{\circ }$

$\beta =\arccos {\frac {{\overrightarrow {BA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}}{\left|{\overrightarrow {BA}}\right|\cdot \left|{\overrightarrow {BC}}\right|}}=\arccos {\frac {0}{{\sqrt {6}}\cdot {\sqrt {21}}}}=90^{\circ }$

$\gamma =\arccos {\frac {{\overrightarrow {CA}}\cdot {\overrightarrow {CB}}}{\left|{\overrightarrow {CA}}\right|\cdot \left|{\overrightarrow {CB}}\right|}}=\arccos {\frac {21}{3{\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {21}}}}\approx 28,1^{\circ }$

• Bestimme alle Vektoren, die zum Vektor ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}2\\1\\-8\\\end{pmatrix}}$ orthogonal sind.

Sei ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}$ orthogonal zu ${\vec {v}}$. Dann gilt:

${\begin{pmatrix}2\\1\\-8\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}=0\Rightarrow 2\,x_{1}+x_{2}-8\,x_{3}=0\Rightarrow x_{2}=-2\,x_{1}+8\,x_{3}$

Also sind alle Vektoren mit folgender Darstellung orthogonal zu ${\vec {v}}$:

${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\-2\,x_{1}+8\,x_{3}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}=x_{1}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\\end{pmatrix}}+x_{3}\cdot {\begin{pmatrix}0\\8\\1\\\end{pmatrix}},\;x_{1},x_{3}\in \mathbb {R}$

• Finde einen Vektor, der sowohl zu ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}1\\-2\\14\\\end{pmatrix}}$ als auch zu ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}-4\\1\\0\\\end{pmatrix}}$ orthogonal ist.

Sei ${\vec {x}}\perp {\vec {u}}\wedge {\vec {x}}\perp {\vec {v}}\Rightarrow {\vec {x}}\cdot {\vec {u}}=0\wedge {\vec {x}}\cdot {\vec {v}}=0$

$\Rightarrow x_{1}-2\,x_{2}+14\,x_{3}=0\wedge -4\,x_{1}+x_{2}=0$

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Für $\left.x_{1}=2\right.$ ergibt sich $\left.x_{2}=8\right.$ und $\left.x_{3}=1\right.$

Ein möglicher Vektor ist also ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}2\\8\\1\\\end{pmatrix}}$

 

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