MathGymOS/ LGS/ Mehr Gleichungen als Unbekannte

Lineare Gleichungssysteme mit mehr Gleichungen als Unbekannten

Ein lineares Gleichungssystem kann auch mehr Gleichungen als Unbekannte enthalten. Ein solches Gleichungssystem kann zum Beispiel wie folgt aussehen:

${\begin{array}{cccccc}a_{1}\cdot x_{1}&+&b_{1}\cdot x_{2}&=&e_{1}\\a_{2}\cdot x_{1}&+&b_{2}\cdot x_{2}&=&e_{2}\\a_{3}\cdot x_{1}&+&b_{3}\cdot x_{2}&=&e_{3}\\\end{array}}$

oder etwas kürzer geschrieben:

$\left[{\begin{array}{cc|c}a_{1}&b_{1}&e_{1}\\a_{2}&b_{2}&e_{2}\\a_{3}&b_{3}&e_{3}\end{array}}\right]$

Der Gauß-Algorithmus führt hier zu einer besonderen Stufenform:

$\left[{\begin{array}{cc|c}m_{1}&n_{1}&l_{1}\\0&n_{2}&l_{2}\\0&0&l_{3}\end{array}}\right]$

Es ist sofort einsichtig, dass dieses Gleichungssystem nur dann eine Chance auf eine Lösung hat, wenn $l_{3}$ Null ist. Denn ansonsten wäre die letzte Zeile gleichbedeutend mit $0=0\cdot x_{2}=l_{3}\neq 0$, was natürlich eine falsche Aussage ist. Wenn aber $l_{3}=0$ gilt, dann liefert die unterste Zeile $0=0$ keine für die Lösung des Gleichungssystems relevante Information, kann also weg gelassen werden:

$\left[{\begin{array}{cc|c}m_{1}&n_{1}&l_{1}\\0&n_{2}&l_{2}\\\end{array}}\right]$

Für die Lösbarkeit gelten dann genau die alten Regeln, wie sie schon beim Gauß-Algorithmus beschrieben wurden. Zusammengefasst lässt sich also sagen:

Regel: Anzahl der Lösungen

Das lineare Gleichungssystem

${\begin{array}{cccccc}a_{1}\cdot x_{1}&+&b_{1}\cdot x_{2}&=&e_{1}\\a_{2}\cdot x_{1}&+&b_{2}\cdot x_{2}&=&e_{2}\\a_{3}\cdot x_{1}&+&b_{3}\cdot x_{2}&=&e_{3}\\\end{array}}$

kann mit dem Gauß-Algorithmus auf Stufenform umgeformt werden:

$\left[{\begin{array}{cc|c}m_{1}&n_{1}&l_{1}\\0&n_{2}&l_{2}\\0&0&l_{3}\end{array}}\right]$

Es hat

• keine Lösung, wenn in einer der Zeilen, bei der auf der linken Seit nur Nullen stehen auf der rechten Seiten eine Zahl ungleich Null steht. Soll heißen wenn entweder
  

$l_{3}\neq 0$ oder

$n_{2}=0$ und $l_{2}\neq 0$ oder

$m_{1}=0$, $n_{2}=0$ und $l_{1}\neq 0$.

• genau eine eindeutige Lösung, wenn $l_{3}=0$ gilt und kein Element der Diagonalen $m_{1},n_{2}$ Null ist.
• unendlich viele Lösungen in allen anderen Fällen.

Eventuell vorhandene Lösungen lassen sich finden, indem man, ausgehend von der untersten Zeile die nicht nur aus Nullen besteht, die unbekannten bestimmt und diese dann gegebenenfalls in der darüber liegenden Zeilen einsetzt.

 

Beispiele

• Beispiel 1: LGS mit eindeutiger Lösung

${\begin{array}{cccccc}1\cdot x_{1}&+&2\cdot x_{2}&=&2\\2\cdot x_{1}&+&1\cdot x_{2}&=&-2\\3\cdot x_{1}&+&12\cdot x_{2}&=&18\end{array}}$

In schematischer Darstellung:

$\left[{\begin{array}{cc|c}1&2&2\\2&1&-2\\3&12&18\\\end{array}}\right]\Rightarrow \left[{\begin{array}{cc|c}1&2&2\\0&1&2\\0&0&0\\\end{array}}\right]$

Die Stufenform ist erreicht. Das LGS ist eindeutig lösbar, da unten rechts eine Null steht und die Diagonale sonst keine Null enthält. Die vorletzte Zeile ist gleichbedeutend mit $x_{2}=2$. Setzt man das in die erste Zeile ein, dann ergibt das $x_{1}+2\cdot 2=2$, woraus $x_{1}=-2$ folgt.

Die Lösungsmenge des LGS ist demnach:

${\mathfrak {L}}=\left\{(\,-2\,|\,2\,)\right\}$

• Beispiel 2: LGS ohne Lösung

${\begin{array}{cccccc}1\cdot x_{1}&+&2\cdot x_{2}&=&2\\2\cdot x_{1}&+&1\cdot x_{2}&=&-2\\3\cdot x_{1}&+&12\cdot x_{2}&=&14\end{array}}$

In schematischer Darstellung:

$\left[{\begin{array}{cc|c}1&2&2\\2&1&-2\\3&12&14\\\end{array}}\right]\Rightarrow \left[{\begin{array}{cc|c}1&2&2\\0&1&2\\0&0&-4\\\end{array}}\right]$

Die Stufenform ist erreicht. Das LGS hat keine Lösung, da in der untersten Zeile links nur Nullen stehen, aber rechts $-4$.

Die Lösungsmenge des LGS ist demnach:

${\mathfrak {L}}=\emptyset$

• Beispiel 3: Noch ein LGS ohne Lösung

${\begin{array}{cccccc}4\cdot x_{1}&+&-6\cdot x_{2}&=&8\\-6\cdot x_{1}&+&9\cdot x_{2}&=&6\\14\cdot x_{1}&+&-21\cdot x_{2}&=&28\end{array}}$

In schematischer Darstellung:

$\left[{\begin{array}{cc|c}4&-6&8\\-6&9&6\\14&-21&28\\\end{array}}\right]\Rightarrow \left[{\begin{array}{cc|c}2&-3&4\\0&0&-6\\0&0&0\\\end{array}}\right]$

Die Stufenform ist erreicht. Das LGS hat keine Lösung, da in der vorletzten Zeile links nur Nullen stehen, aber rechts $-6$.

Die Lösungsmenge des LGS ist demnach:

${\mathfrak {L}}=\emptyset$

• Beispiel 4: LGS mit unendlich vielen Lösungen

${\begin{array}{cccccc}4\cdot x_{1}&+&-6\cdot x_{2}&=&8\\-6\cdot x_{1}&+&9\cdot x_{2}&=&-12\\14\cdot x_{1}&+&-21\cdot x_{2}&=&28\end{array}}$

In schematischer Darstellung:

$\left[{\begin{array}{cc|c}4&-6&8\\-6&9&-12\\14&-21&28\\\end{array}}\right]\Rightarrow \left[{\begin{array}{cc|c}2&-3&4\\0&0&0\\0&0&0\\\end{array}}\right]$

Die Stufenform ist erreicht. Das LGS hat unendlich viele Lösungen, da in allen Null-Zeilen auch rechts eine Null steht und in der zweiten Zeile auf der Diagonale eine Null steht.

Die einzige Bedingung für die Lösung des LGS liefert die erste Zeile $2\cdot x_{1}-3\cdot x_{2}=4$, was gleichbedeutend ist mit $x_{1}=3/2\,x_{2}+2$. Bei vorgegebenem $x_{2}=2\cdot t$ ist also $x_{1}=3\cdot t+2$.

Die Lösungsmenge des LGS ist demnach:

${\mathfrak {L}}=\left\{(\,3\,t+2\,|\,2\,t\,),\;t\in \mathbb {R} \right\}$

 

Geht das auch mit dem Determinanten-Verfahren?

Damit das ganz klar ist: eine Determinante ist nur für eine quadratische Koeffizientenmatrix definiert. Man kann sich aber statt des obigen Gleichungssystems ein leicht verändertes System anschauen:

${\begin{array}{cccccccc}a_{1}\cdot x_{1}&+&b_{1}\cdot x_{2}&+&0\cdot x_{3}&=&e_{1}\\a_{2}\cdot x_{1}&+&b_{2}\cdot x_{2}&+&0\cdot x_{3}&=&e_{2}\\a_{3}\cdot x_{1}&+&b_{3}\cdot x_{2}&+&0\cdot x_{3}&=&e_{3}\\\end{array}}$

Achtung! Das ist nicht das selbe Gleichungssystem. Dieses neue Gleichungssystem hat nämlich, wenn es eine Lösung hat, gleich unendlich viele Lösungen, da man ja für $x_{3}$ jeden beliebigen Wert einsetzten kann. Trotzdem kann es uns weiter helfen, denn wenn es eine Lösung $\left(x_{1}|x_{2}|x_{3}\right)$ zu diesem modifizierten Gleichungssystem gibt, dann ist $\left(x_{1}|x_{2}\right)$ eine Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems. Und auch umgekehrt gilt, wenn $\left(x_{1}|x_{2}\right)$ eine Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems ist, dann löst $\left(x_{1}|x_{2}|x_{3}\right)$ für jedes beliebige $x_{3}$ das neue Gleichungssystem.

Die Koeffizientenmatrix des neu gewonnen Gleichungssystems sieht so aus: $A=\left({\begin{array}{ccc}a_{1}&b_{1}&0\\a_{2}&b_{2}&0\\a_{3}&b_{3}&0\end{array}}\right)$.

Für das Determinante-Verfahren benötigt man darüber hinaus die Matrizen:

$A_{1}=\left({\begin{array}{ccc}e_{1}&b_{1}&0\\e_{2}&b_{2}&0\\e_{3}&b_{3}&0\end{array}}\right)$, $A_{2}=\left({\begin{array}{ccc}a_{1}&e_{1}&0\\a_{2}&e_{2}&0\\a_{3}&e_{3}&0\end{array}}\right)$ und $A_{3}=\left({\begin{array}{ccc}a_{1}&b_{1}&e_{1}\\a_{2}&b_{2}&e_{2}\\a_{3}&b_{3}&e_{3}\end{array}}\right)$.

Es lässt sich relativ leicht nachrechnen, dass $\det(A)=\det(A_{1})=\det(A_{2})=0$ gilt. Es hängt also alles an der Matrix $A_{3}$. Nach der Cramerschen Regel gilt: Ist auch $\det(A_{3})=0$, so hat das modifizierte Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Dann hat auch das ursprüngliche System mindestens eine Lösung. Ist dagegen allerdings $\det(A_{3})\neq 0$, dann hat das modifizierte Gleichungssystem keine Lösung, weshalb in diesem Fall auch das ursprüngliche System keine Lösung haben kann.

Regel: Anzahl der Lösungen

Das lineare Gleichungssystem

${\begin{array}{cccccc}a_{1}\cdot x_{1}&+&b_{1}\cdot x_{2}&=&e_{1}\\a_{2}\cdot x_{1}&+&b_{2}\cdot x_{2}&=&e_{2}\\a_{3}\cdot x_{1}&+&b_{3}\cdot x_{2}&=&e_{3}\\\end{array}}$

• hat mindestens eine Lösung (d.h. genau eine oder unendlich viele Lösungen), wenn $\det \left({\begin{array}{ccc}a_{1}&b_{1}&e_{1}\\a_{2}&b_{2}&e_{2}\\a_{3}&b_{3}&e_{3}\end{array}}\right)=0$ ist und
• hat keine Lösung, wenn $\det \left({\begin{array}{ccc}a_{1}&b_{1}&e_{1}\\a_{2}&b_{2}&e_{2}\\a_{3}&b_{3}&e_{3}\end{array}}\right)\neq 0$ ist.

 

Beispiele

• Beispiel 1: LGS mit mindestens einer Lösung

${\begin{array}{cccccc}1\cdot x_{1}&+&2\cdot x_{2}&=&2\\2\cdot x_{1}&+&1\cdot x_{2}&=&-2\\3\cdot x_{1}&+&12\cdot x_{2}&=&18\end{array}}$

$\det \left({\begin{array}{ccc}1&2&2\\2&1&-2\\3&12&18\end{array}}\right)=18-12+48-6+24-72=0$

Das LGS hat also mindestens eine Lösung.

• Beispiel 2: LGS ohne Lösung

${\begin{array}{cccccc}1\cdot x_{1}&+&2\cdot x_{2}&=&2\\2\cdot x_{1}&+&1\cdot x_{2}&=&-2\\3\cdot x_{1}&+&12\cdot x_{2}&=&14\end{array}}$

$\det \left({\begin{array}{ccc}1&2&2\\2&1&-2\\3&12&14\end{array}}\right)=14-12+48-6+24-56=12\neq 0$

Das LGS hat also keine Lösung.

• Beispiel 3: Noch ein LGS mit mindestens einer Lösung

${\begin{array}{cccccc}4\cdot x_{1}&+&-6\cdot x_{2}&=&8\\-6\cdot x_{1}&+&9\cdot x_{2}&=&-12\\14\cdot x_{1}&+&-21\cdot x_{2}&=&28\end{array}}$

$\det \left({\begin{array}{ccc}4&-6&8\\-6&9&-12\\14&-21&28\end{array}}\right)=1008+1008+1008-1008-1008-1008=0$

Das LGS hat also mindestens eine Lösung.

 

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