Lineare Gleichungssysteme mit mehr Unbekannten als Gleichungen
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Auf solche Gleichungssysteme sind wir beim Untersuchen der anderen Gleichungssysteme schon mehrmals gestoßen; immer dann, wenn der Gauß-Algorithmus so viele Nullzeilen erzeugt, dass letztendlich weniger Zeilen für die Lösung relevant waren als Unbekannte zu finden waren.
Dann kann man eigentlich nicht von einem Gleichungssystem sprechen. Bei zwei Unbekannten sieht eine solche Gleichung wie folgt aus:
- , wobei a und b nicht Null sind.
Dann ist . Zu vorgegebenem ist also . Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist demnach:
oder etwas anders geschrieben
Alternativ kann man auch durch ersetzen und erhält damit . Die Lösungsmenge schreibt sich dann als:
Bei drei Unbekannten hat man:
- , wobei a, b und c nicht Null sind.
Dann ist . Zu vorgegebenem und ist also . Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist demnach:
oder etwas anders geschrieben
- Setzt man also dann schreibt sich die Lösungsmenge einfacher:
- Mit und gibt das die Lösungsmenge:
Ein solches Gleichungssystem sieht wie folgt aus:
wobei nicht sowohl als auch beide Null sind, und auch nicht sowohl als auch beide Null sind, und auch nicht sowohl als auch beide Null sind.
Im folgenden sei , was man im Zweifel durch vertauschen der Zeilen erreichen kann. Durch Subtraktion eines Vielfachen der ersten Zeile von der zweiten Zeile erhält man das modifizierte Gleichungssystem:
An diesem Punkt müssen mehrere Fälle unterschieden werden:
- 1. Fall: Gilt , dann hängt die Lösbarkeit des Systems von ab.
- 1.1. Fall: Gilt auch , dann steht in der unteren Zeile . Für die Lösung des Gleichungssystems ist also nur die obere Zeile relevant. Das Gleichungssystem ist also in diesem Fall gleichwertig mit einer Gleichung mit drei Unbekannten. Wie das zu lösen ist, wurde weiter oben behandelt. (siehe hier)
- 1.2. Fall: Gilt dagegen , dann liefert die untere Zeile eine falsche Aussage, das Gleichungssystem hat demnach keine Lösung.
- 2. Fall: Wenigstens eine der beiden Zahlen und ist nicht Null. Durch Subtraktion eines Vielfachen der zweiten von der ersten Zeile das Gleichungssystem lässt dieses sich auf eine der folgenden Formen bringen:
- oder
- bzw. etwas anders geschrieben
- oder
- Einmal lassen sich und in Abhängigkeit von darstellen. Im anderen Fall lassen sich und in Abhängigkeit von darstellen. Mit , und , bzw. , und , sieht das schon einfacher aus:
- oder
- Die Lösung des linearen Gleichungssystems sind demnach:
- bzw.
- In schematischer Darstellung:
- Wieder in der üblichen Schreibweise
- Die Lösungsmenge ist demnach:
- In schematischer Darstellung:
- Dieses Gleichungssystem hat wegen der falschen Aussage in der letzten Zeile (0=10) keine Lösung. Die Lösungsmenge ist demnach:
- In schematischer Darstellung:
- Dieses Gleichungssystem hat nur eine für die Lösung relevante Gleichung. Die Lösungsmenge ist (siehe Beispiele zu einer Gleichung):
- In schematischer Darstellung:
- Wieder in der üblichen Schreibweise
- Die Lösungsmenge ist demnach
- oder wenn man Brüche lieber vermeiden will, mit :
2 Gleichungen und 3 Unbekannte mit dem Determinanten-Verfahren
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Bei zwei Gleichungen mit 3 Unbekannten besteht die Koeffizientenmatrix aus 2 Zeilen und 3 Spalten. Determinanten kann man aber nur von quadratischen Matrizen (= gleich viele Zeilen und Spalten) berechnen. Trotzdem kann man mit einem kleinen Trick auch hier das Determinanten-Verfahren anwenden. Dazu schreibt man das Gleichungssystem
um und erhält mit
Die für das Determinantenverfahren wichtigen Matrizen sind dann:
- , und
Falls gilt:
Ist dagegen , dann kann es helfen, statt einmal oder auf die rechte Seite zu bringen, und die entsprechenden Matrizen zu bestimmen.
Ist z.B. so lässt sich mit Hilfe von
- und
Die Lösung bestimmen:
Selbst wenn für alle drei Koeffizientenmatrizen gilt , heißt das noch nicht, dass es keine Lösung des Gleichungssystems gibt. Wenn es jedoch eine Lösung gibt, dann lässt sich diese nicht wie in den anderen Fällen beschrieben durch Quotienten aus den Determinanten darstellen. Entscheidend für die Existenz von Lösungen ist im Fall die Detreminante
- Gilt , dann gibt es Lösungen.
- Gilt aber , so gibt es keine Lösung.
- auf die rechte Seite gebracht:
- Die für das Determinantenverfahren wichtigen Determinanten sind dann:
- Wegen gilt:
- Die Lösungsmenge ist also:
- auf die rechte Seite gebracht:
- Die Koeffizientenmatrix dazu hat die Determinante:
- hilft uns also nicht weiter. Zweiter Versuch auf die rechte Seite gebracht
- Für die entsprechende Koeffizientenmatrix gilt:
- Wegen lohnt es sich die beiden anderen Matrizen zu berechnen:
- Es gilt:
- Die Lösungsmenge ist demnach
- auf die rechte Seite gebracht:
- Die Koeffizientenmatrix dazu hat die Determinante:
- hilft uns also nicht weiter. Zweiter Versuch auf die rechte Seite gebracht
- Für die entsprechende Koeffizientenmatrix gilt:
- Als letzter Versuch auf die rechte Seite gebracht
- aber auch für die hier auftretende Matrix gilt:
- Entscheident ist also die Matrix B.
- Also besitzt das Gleichungssystem keine Lösung
- Auch hier gilt natürlich:
- Aber im Gegensatz zum 3. Beispiel gilt hier:
- Das liefert uns zwar keine Lösung des Gleichungssystems, aber immerhin wissen wir jetzt, dass es Lösungen gibt.