Taylor Entwicklung – „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In vielen Anwendungen, beispielsweise in der Physik, ist es ausreichend eine Funktion bis zu einer gewissen Genauigkeit zu kennen. Es ist also wichtig, eine allgemeine Methode zu haben, um eine komplizierte Funktion durch möglichst genaue Näherungen darstellen zu können. Außerdem wäre es wünschenswert den Fehler, den man durch diese Approximation macht, abschätzen zu können.

In einigen Fällen interessiert einen die komplizierte Funktion auch nur in einem kleinen Bereich. Für Differenzierbare Funktionen

1. Differenzierbare Funktionen
2. Beispiel: Exponentialfunktion/Sinus
3. Taylor-Polynom -> Kann keine nicht Polynomielle Funktion exakt überall beschreiben
4. Taylor-Reihe
5. Grenzen des Formalismus
6. Praktische Anwendungen

Motivation

Als einfachsten Fall betrachten wir zunächst ein Polynom der Form

$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4.$

Wir möchten verstehen, wie die Ableitungen in $x_0=0$ mit den Koeffizienten des Polynoms zusammenhängen.

$\begin{array}{cc}p(x)& =a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4\\ p^{\prime }(x)& =a_1+2a_{2}x+3a_3{x}^2+4a_4{x}^3\\ p^{\prime \prime }(x)& =2a_2+3a_3\cdot 2x+4\cdot 3a_4{x}^2\\ p^{(3)}(x)& =3\cdot 2a_3+4\cdot 3\cdot 2a_{4}x\\ p^{(4)}(x)& =4\cdot 3\cdot 2a_4\\ \end{array}$

Werten wir die Ableitungen in $x_0=0$ aus, bleibt nur jeweils der erste Term übrig.

$\begin{array}{ccc}p(0)& =a_0& =a_0\cdot 0!\\ p^{\prime }(0)& =a_1& =a_1\cdot 1!\\ p^{\prime \prime }(0)& =2a_2& =a_2\cdot 2!\\ p^{(3)}(0)& =3\cdot 2a_3& =a_3\cdot 3!\\ p^{(4)}(0)& =4\cdot 3\cdot 2a_4& =a_4\cdot 4!\\ \end{array}$

Allgemein haben wir für ein Polynom $q(x)$ vom grad $n$ mit Koeffizienten $a_i$: $q(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$

$q^{(i)}(0)=a_{i}i!$

Dadurch können wir die $a_i$ durch die Ableitungen ersetzen.

$\begin{array}{cc}q(x)& =\frac{q(0)}{0!}+\frac{q^{\prime }(0)}{1!}x+\dots +\frac{q^{(n)}(0)}{n!}{x}^n\\ & =\sum _{i=0}^n\frac{q^{(i)}(0)}{i!}{x}^i\\ \end{array}$

Alle Ableitungen von höherer Ordnung als n verschwinden, sodass wir das Polynom auch als unendliche Reihe schreiben können, wobei alle Terme mit $i>n$ Null sind

$\begin{array}{cc}q(x)& =\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{(i)}(0)}{i!}{x}^i\\ \end{array}$

Diese Darstellung nennt man die Taylor-Reihe der Funktion $q(x)$ um den Entwicklungspunkt $x_0=0$.

Wir können uns nun fragen, ob solch eine Darstellung auch für andere Funktionen existiert, bei denen unendlich viele Terme auftauchen. Dafür betrachten wir die Exponentialfunktion $f(x)=e^x$. Wir wissen, dass $f^{\prime }(x)=f(x)$. Also gilt $f^{(n)}=f(x)$. Außerdem wissen wir dass $f(0)=e^0=1$. Insgesamt gilt also für alle $n\in \mathbb{N}$

$f^{(n)}(0)=1.$

Analog zur Darstellung des Polynoms betrachten wir also die Reihe

$\begin{array}{c}\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(i)}(0)}{i!}{x}^i=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i!}{x}^i=f(x)\end{array}$

Das ist gerade die Darstellung der Exponentialfunktion als Reihe.

Anwendungen

Approximation der Exponentialreihe durch endliche Polynome

Wir haben uns im Artikel über die Reihendarstellung der Exponentialfunktion bereits mit der Exponentialreihe beschäftigt. Das GIF auf der rechten Seite zeigt, wie nahe die ersten Terme der Reihe am Funktionswert liegen. Auffällig ist, dass der Bereich wo gute Übereinstimmung vorliegt immer größer wird, je mehr Terme dazugenommen werden.

Wie wir sehen werden, bietet der Formalismus der Taylor-Reihe bzw. Taylor-Entwicklung die Möglichkeit, eine Funktion näherungsweise in einer kleinen Umgebung zu beschreiben. Der Fehler, den man durch eine solche Näherung macht, kann durch die Berechnung des sogenannten Restgliedes abgeschätzt werden.