Mathematik: Algebra: Gruppentheorie

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Grundbegriffe[Bearbeiten]

Mengen und Abbildungen[Bearbeiten]

Einige Begriffe und Definitionen werden im Weiteren vorausgesetzt, diese sind Bestandteil anderer mathematischer Bereiche und wurden im Zuge des Wikibooks-Projektes schon erklärt. Deshalb befindet sich hier nur eine Auflistung mit Verweisen auf die entsprechenden Bücher.

Magma[Bearbeiten]

Definition:

Wenn in einer nichtleeren Menge eine Verknüpfung existiert, durch die jedem Paar ein eindeutig bestimmtes Element als Ergebnis dieser Verknüpfung zugeordnet wird, heißt das Paar ein Magma oder Gruppoid (Abgeschlossenheit). Die Menge selbst wird in diesem Zusammenhang auch Magma genannt.


Beispiel:

  • Die natürlichen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung, .


Definition:

Ein Element eines Magmas heißt linksneutral (bzw. rechtsneutral), wenn es folgende Eigenschaft erfüllt:
  • ( bzw. ).
Ein Element, das sowohl links- als auch rechtsneutral ist, wird auch neutrales Element genannt.

Halbgruppe[Bearbeiten]

Definition:

Eine Halbgruppe ist ein Magma, in dem die Verknüpfung assoziativ ist, d.h.
  • (A)


Beispiele:

  • und sind Halbgruppen.
  • und sind Halbgruppen.
  • Entsprechend sind auch und Halbgruppen.
  • Für eine beliebige Menge bildet die Menge aller Teilmengen von , die Potenzmenge von X, , mit der Vereinigung von Mengen und mit dem Durchschnitt von Mengen Halbgruppen, und .


Satz:

Besitzt eine Halbgruppe sowohl ein linksneutrales Element als auch ein rechtsneutrales Element so stimmen diese Elemente überein, d.h. .

Beweis:

Nach Voraussetzung gilt: und für alle .Also gilt insbesondere: nach den Voraussetzungen.

Monoid[Bearbeiten]

Definition:

Eine Halbgruppe heißt Monoid, wenn sie ein neutrales Element besitzt, d.h.:
  • (N) es existiert ein Element , so daß für alle Elemente gilt: .


Beispiele:

  • ist ein Monoid, mit als neutralem Element, ist kein Monoid.
  • Die Menge aller Abbildungen einer Menge in sich bildet mit der Hintereinanderausführung ein Monoid, . Das neutrale Element ist die identische Abbildung .

Gruppe[Bearbeiten]

Definition:

Ein Tripel heißt Gruppe, wenn eine Halbgruppe ist, zusammen mit einem ausgezeichneten Element und falls gilt:
  • (N) Das Element ist linksneutrales Element der Gruppe, d.h. es gilt für alle
  • (I) Zu jedem gibt es ein Element , das linksinverse Element zu , mit der Eigenschaft
Gilt darüber hinaus das Kommuntativgesetz
  • (K) für alle
dann heißt die Gruppe eine kommutative Gruppe (auch abelsche Gruppe).
Wenn aus dem Zusammenhang klar ist, was das (links-)neutrale Element ist, so schreibt man für die Gruppe auch bzw. auch nur . Bei abelschen Gruppen wird meist die additive Schreibweise verwendet, also . Entsprechend die als Symbol für das neutrale Element und für das Inverse eines Elementes . Bei multiplikativer Schreibweise der Gruppe wird ganz analog die für das neutrale Element geschrieben und für das Inverse eines Elementes .
Das neutrale Element spielt hier die gleiche Rolle wie die Null bei der Zahlenaddition oder die Eins bei der Multiplikation (deshalb auch Nullelement oder Einselement)


Beispiel:

  • (eigentlich: ) ist eine Gruppe.
  • Ebenso bilden und eine Gruppe.
  • Die Menge aller bijektiven Abbildungen einer Menge in sich bildet mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen eine Gruppe, die symmetrische Gruppe .

Gegenbeispiel:

  • und bilden keine Gruppe.
  • Falls die Menge mindestens zwei Elemente besitzt, ist keine Gruppe.


Satz:

Es gibt in der Gruppe genau ein neutrales Element und für dieses gilt

Das inverse Element zu einem beliebigen Element ist eindeutig bestimmt und es gilt .

Beweis:

Sei beliebig, linksinvers zu und linksinvers zu .
Dann gilt, und zwar nacheinander wegen (N), (I), (A), (I), (A), (N) und wieder (I)
,
also .
Weiter gilt nach (I), (A), dem eben Bewiesenen und (N)
,
also .
Ist jetzt ebenfalls linksneutral, so folgt weiter .
Ist schließlich ebenfalls linksinvers zu , so
.


Satz:

Seien , so sind die Gleichungen
(1)
(2)
eindeutig lösbar.

Beweis:

Existenz:
Die Elemente und erfüllen die Gleichungen, wegen und .
Eindeutigkeit:
Umgekehrt folgt aus auch
bzw. aus
Somit sind die Lösungen zu (1) und (2) auch eindeutig.


Bemerkung:

  • Im Allgemeinen sind die Lösungen der beiden Gleichungen im vorhergehenden Satz verschieden. In abelschen Gruppen hingegen sind sie immer gleich.
  • Gruppen lassen sich auch als Halbgruppen definieren, in denen jede Gleichung (1) und (2) eine Lösung besitzt.

Definition:

Ist eine Halbgruppe und , so definieren wir und rekursiv . Ist ein Monoid, definieren wir weiter . Ist sogar Gruppe, so definieren wir für weiter als das Inverse von .
Falls additiv geschrieben wird, schreiben wir statt .

Bemerkung:

  • Da hiernach das Inverse zu ist, besteht kein Konflikt mit der entsprechenden oben gewählten Schreibweise für Inverse.
  • Man weist per Induktion unter Benutzung der Assoziativität leicht nach, dass gilt, soweit und definiert sind. Entsprechend gilt auch .

Ordnung einer Gruppe[Bearbeiten]

Definition:

Eine Gruppe , die aus endlich vielen Elementen besteht, heißt endlich.


Definition:

Die Anzahl der Elemente einer Gruppe , ihre Mächtigkeit , bezeichnet man als die Ordnung der Gruppe.
Hat unendlich viele Elemente, so setzt man .

Beispiele für Gruppen, Gruppentabellen[Bearbeiten]

Permutationen

Für eine Menge bildet die Menge aller bijektiven Abbildungen der Menge in sich, mittels der Hintereinanderausführung als Verknüpfung, eine Gruppe, gennant die symmetrische Gruppe .
Ist die -elementige Menge , so schreibt man auch gerne .

Gruppenhomomorphismen, strukturerhaltende Abbildungen[Bearbeiten]

Sobald man Mengen mit einer Struktur versehen hat, wie es hier für Magmen etc. geschehen ist, wird es interessant, verschiedene Exemplare solcher Strukturen miteinander zu vergleichen. Dies geschieht vor allem, indem man Abbildungen zwischen den Mengen betrachtet, die die Struktur respektieren. Der allgemeine Begriff hierzu ist der Homomorphismus.


Definition:

Seien und Magmen, dann nennt man eine Abbildung einen Magmahomomorphismus von nach , wenn für alle gilt:
  • .
Für das Abbild eines Elementes unter schreibt man gewöhnlich oder und spricht vom Bild von unter .
Sind und sogar Halbgruppen, so heißt Halbgruppenhomomorphismus.
Sind und sogar Monoide, so heißt ein Magmahomomorphismus Monoidhomomorphismus, falls er zusätzlich das neutrale Element auf das neutrale Element abbildet, also
Sind und Gruppen, so heißt ein Monoidhomomorphismus Gruppenhomomorphismus), wenn er zusätzlich die Inversenrelation respektiert, d.h.
  • für alle .
Ist der Zusammenhang klar, spricht man auch vereinfachend von Homomorphismus.


Beispiele:

  • Die Exponentialfunktion ist ein Homomorphismus.

Notation:

Für Homomorphismen mit speziellen Eigenschaften haben sich besondere Bezeichnungen durchgesetzt. So bezeichnet man injektive Homomorphismen als Monomorphismen, surjektive Homomorphismen als Epimorphismen und bijektive Homomorphismen als Isomorphismen. Homomorphismen eines Objekts in sich nennt man Endomorphismen, bijektive Endomorphismen, also Isomorphismen eines Objekts in sich heißen Automorphismen.

Satz:

Jeder Magmahomomorphismus zwischen zwei Gruppen und ist bereits ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis:

Wegen folgt .
Wegen folgt weiter . .

Bemerkung:

  • Sei ein Monoid. Dann ist ein Magmahomomorphismus von nach , der jedoch das neutrale Element von nicht auf das von (also auf die ) abbildet. Ein entsprechender Satz gilt für Monoidhomomorphismen daher nicht, für diese muss jeweils nachgewiesen werden.

Beispiele:

  • Ist eine Gruppe und , so ist ein Endomorphismus von , denn . Die Abbildung heißt auch Konjugation mit .


Satz:

Sind und Homomorphismen, so ist die Hintereinanderausführung ein Homomorphismus.

Beweis:

Für folgt .
Falls Monoide betrachtet werden, braucht man noch .

Satz:

Ist ein Homomorphismus, so ist ein Isomorphismus genau dann, wenn ein Homomorphismus mit und existiert.
In dem Fall ist ebenfalls ein Isomorphismus.

Beweis:

Existiert ein Homomorphismus mit den genannten Eigenschaften, so ist offenbar bijektiv und somit ein Isomorphismus.
Sei nun ein Isomorphismus. Da bijektiv ist, können wir zunächst als Abbildung definieren, indem zu gegebenem als dasjenige eindeutig bestimmte definiert wird, für das gilt.
Dann sind und offensichtlich die jeweiligen identischen Abbildungen. Sei jetzt . Dann gilt , also . Falls Monoide betrachtet werden, ist wegen noch klar, dass gilt. Also ist ein Homomorphismus und in der Tat, weil bijektiv, sogar ein Isomorphismus.

Bemerkung:

In allgemeineren Zusammenhängen definiert man Isomorphismus über die im Satz genannte Eigenschaft statt über Bijektivität.

Beispiele:

  • Ist eine Gruppe und , so rechnet man leicht nach, dass gilt. Insbesondere folgt zu sofort , d.h. Konjugation mit einem Gruppenelement ist ein Automorphismus. Ein Automorphismus dieser Form wird auch innerer Automorphismus genannt.

Satz:

Ist eine Gruppe so bildet die Menge aller Endomorphismen von mit der Hintereinanderausführung (oder Komposition) als Verknüpfung ein Monoid mit der identischen Abbildung als neutralem Element. Die Menge aller Automorphismen bildet eine Gruppe.

Beweis:

Für komponierbare Abbildungen gilt grundsätzlich , denn für jedes aus dem Definitionsbereich liefern beide Seiten . Die Komposition von Endomorphismen ist außerdem ein Endomorphismus. Da schließlich die identische Abbildung ein Endomorphismus ist und neutral bezüglich der Komposition wirkt, ist folglich ein Monoid.
Die Komposition bijektiver Abbildungen ist wiederum bijektiv, so dass abgeschlossen bezüglich der Komposition ist. Die identische Abbildung ist wieder neutrales Element und laut dem vorhergehenden Satz existiert zu jedem Automorphismus ein inverser Automorphismus.

Operation von Gruppen[Bearbeiten]

Definition: Ist ein Monoid und eine Menge und ein Monoidhomomorphismus mit , so sagt man operiert (von links) auf der Menge und schreibt auch oder, sofern keine Verwechselungsgefahr besteht, statt . Trägt dagegen eine zusätzliche (algebraische) Struktur (ist z.B. eine Gruppe), so spricht man oft nur dann von einer Operation, wenn ein Monoidhomomorphismus von nach ist.

Beispiele:

  • Ist ein Monoid, so operiert auf der Menge durch Linksmultiplikation: .
  • Ist eine Gruppe, so operiert auf der Gruppe durch Konjugation: . Für diese Operation benutzt man manchmal auch die Schreibweise für ; damit gilt .

Bahnen, Fixpunkte und Stabilisatoren[Bearbeiten]

Definition: Die Gruppe operiere auf der Menge und es sei .

  • Die Menge heißt die Bahn oder der Orbit von .
  • Die Operation heißt transitiv, wenn zu stets ein mit existiert.
  • Enthält die Bahn von nur , so heißt Fixpunkt.
  • Die Menge heißt Stabilisator von

Satz: Operiert die Gruppe auf der Menge und ist eine Bahn, so operiert durch Einschränkung auch auf und diese Operation ist transitiv.

Beweis: Sei eine Bahn, etwa mit . Sind dann und beliebige Elemente von , so ist einerseits für auch , andererseits gilt .

Korollar: Operiert die Gruppe auf der Menge , so sind zwei Bahnen entweder gleich oder disjunkt. Die Bahnen bilden also eine Partition von .

Beweis: Seien zwei nicht disjunkte Bahnen und etwa . Dann ist einerseits , da transitiv auf operiert, ebenso jedoch auch .

Unterstrukturen[Bearbeiten]

Untergruppen[Bearbeiten]

Definition:

Eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe , die Bezüglich der Verknüpfung wieder eine Gruppe ist, heißt Untergruppe. Man schreibt dann auch .


Satz (Untergruppenkriterium): Eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe ist genau dann eine Untergruppe, wenn sie folgende Eigenschaften hat:

Beweis:

Ist eine Untergruppe von , so beachte man, dass die Inklusionsabbildung ein Gruppenhomomorphismus ist.

.Folglich ist das neutrale Element von auch das von . .Ebenso ergibt sich, dass die Inversenbildung in mit der in übereinstimmt, so dass die Untergruppe wegen der Abgeschlossenheit und der Existenz der Inversen natürlich die beiden Eigenschaften erfüllt.

Sei nun andererseits eine nichtleere Teilmenge mit den angegebenen Eigenschaften. Dann erfüllt mit der auf definierten Verknüpfung die Abgeschlossenheit wegen der ersten Eigenschaft, und da die Verknüpfung auf ganz assoziativ ist, also auch auf , erfüllt auch die Assoziativität bzgl. .

.Da , existiert mindestens ein und wegen der zweiten Eigenschaft liegt auch das Inverse zu in . .Also liegt auch in und spielt natürlich auch für die Rolle eines neutralen Elements. Schließlich enthält wegen der zweiten Eigenschaft mit jedem Element auch dessen Inverses. . erfüllt also alle Gruppeneigenschaften und ist somit eine Untergruppe von .


Satz (Variante des Untergruppenkriteriums): Eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:

  • .

Beweis:

Ist eine Untergruppe von , dann erfüllt sie wegen der Abgeschlossenheit und der Existenz der Inversen natürlich das Kriterium.
Sei nun eine nichtleere Teilmenge von , die das Kriterium erfüllt. Sind und beliebige Elemente von , so liegen folglich auch und in . Nach dem vorhergehenden Satz ist somit eine Untergruppe


Beispiele:

  • Die Untergruppe und die einelementige Untergruppe bilden Untergruppen, die trivialen Untergruppen, von .
  • Die ganzen Zahlen bilden bezüglich der Addition eine Untergruppe der rationalen Zahlen.
  • .
  • Für jede Gruppe ist die Menge der inneren Automorphismen eine Untergruppe von . Dies folgt aus .


Korollar: Sei eine Gruppe, und . Dann gilt:

  • .

Die Relation Untergruppe zu sein ist also transitiv.

Beweis:

Sei also eine Gruppe und es gelte und . Dann ist wegen nach Voraussetzung eine nichtleere Teilmenge von . Und nach Voraussetzung auch eine Gruppe, also definitionsgemäß eine Untergruppe von .

Korollar: Der Durchschnitt beliebig vieler Untergruppen einer Gruppe ist wieder eine Untergruppe von , d.h. .

Beweis:

Sei eine Gruppe, für alle und . Dann ist da für alle , insbesondere gilt also .
Seien nun beliebig, dann sind für alle also auch für alle nach dem Untergruppenkriterium liegt dann auch für alle und somit letztlich auch im Durchschnitt . erfüllt also das Untergruppenkriterium, d.h. .


Definition:

Für eine Teilmenge einer Gruppe definiert man die von erzeugte Untergruppe als den Durchschnitt aller enthaltenden Untergruppen.
Ist schreibt man auch verkürzend statt .

Bemerkung:

  • Da dieser Durchschnitt ebenfalls enthält und eine Untergruppe ist, ist offenbar die kleinste enthaltende Untergruppe.
  • Diese Definition ermöglicht es nun die von den einzelnen Elementen erzeugten Untergruppen zu betrachten, und so den Ordnungsbegriff von Gruppen auf die Elemente der Gruppen zu übertragen.


Definition:

Eine Gruppe heißt endlich erzeugt, wenn sie von einer endlichen Menge erzeugt wird, d.h. wenn für eine endliche Menge
Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird, d.h. wenn für ein gilt. Als Ordnung eines Elementes bezeichnet man die Ordnung der von erzeugten Untergruppe . Es gilt somit . Besonders hervorzuheben sind Elemente der Ordnung 2, sie werden als Involution bezeichnet.


Beispiele:

  • und sind beide zyklisch und es ist .


Satz (Untergruppenkriterium für endliche Gruppen): Eine nichtleere Teilmenge einer endlichen Gruppe ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:

  • .

Bei endlichen Gruppen ist also jede bzgl. der Gruppenverknüpfung abgeschlossene nicht-leere Teilmenge eine Untergruppe.

Beweis:

Sei eine endliche Gruppe, und . Dann folgt das Kriterium wie im vorvorigen Satz.
Sei nun eine endliche Gruppe und nicht leer und erfülle das Kriterium. Sei beliebig. Die Menge aller Potenzen von ist laut Kriterium eine Teilmenge von . Da sie endlich ist, gibt es zwei natürliche Zahlen mit . Mit ist dann auch . Ist jetzt , so und somit auch . Ansonsten folgt . Es folgt also auf jeden Fall und nach dem vorvorigen Satz somit .


Korollar: Sei eine Gruppe, . Dann ist die Menge aller endlichen Produkte von Elementen und Inversen von Elementen von .

Beweis:

Die Menge aller endlichen Produkten von Elementen und Inversen von Elementen von ist nicht leer (enthält nämlich ) und abgeschlossen gegen Produkt- und Inversenbildung, folglich gilt , also .
Umgekehrt enthält alle Elemente von sowie deren Inversen und, wie per Induktion über die Anzahl der Faktoren folgt, auch alle endlichen Produkte hiervon.

Satz: Die Gruppe operiere auf der Mange . Dann ist für jedes der Stabilisator von eine Untergruppe von .

Beweis:

Sei . Wegen ist nicht leer. Sind , so folgt auch und . Somit gilt .

Korollar: Jede endliche Gruppe gerader Ordnung besitzt eine Involution.

Beweis:

Sei eine Gruppe. Dann operiert die zyklische Gruppe der Ordnung 2 auf der Menge , indem das nicht-neutrale Element von jedes Element von auf sein Inverses abbildet.
Fixpunkte der Operation sind genau und alle Involutionen, alle anderen Bahnen haben die Länge 2.
Ist jetzt endlich und besitzt keine Involution, so ist die Ordnung von folglich ungerade, da in eine einelementige und ansonsten lauter zweielementige Bahnen zerfällt.
Umgekehrt enthält also eine endliche Gruppe gerader Ordnung mindestens eine Involution.

Nebenklassen[Bearbeiten]

Definition:

Sei eine Gruppe und es seien und beliebige Teilmengen von . Unter dem Produkt versteht man die Menge . Statt und schreibt man auch bzw. .

Bemerkungen:

  • Auf diese Weise ergibt sich ein Monoid mit neutralem Element .
  • Ist , so gilt . Die Umkehrung gilt nicht: könnte auch ein Monoid sein.

Satz: Ist eine Gruppe, so operiert auf der Menge von links vermöge für . Eine weitere Operation ist durch gegeben.

Beweis: klar.


Definition:

Es sei eine Untergruppe von und . Dann heißt:
eine Linksnebenklasse von und
eine Rechtsnebenklasse von .
Die Menge der Linksnebenklassen wird mit bezeichnet, die der Rechtsnebenklassen mit .

Satz: Ist , so sind zwei Linksnebenklassen entweder gleich oder disjunkt. Ebenso sind zwei Rechtsnebenklassen entweder gleich oder disjunkt.

Beweis:

operiert auf (der Menge) durch bzw. . Die Bahn von unter dieser Operation ist gerade bzw. . Die Behauptung folgt aus der entsprechenden Aussage über Bahnen.

Die Links- bzw. Rechtsnebenklassen bilden also eine Partition von .

Satz, Definition: Ist , so wird durch wird eine Bijektion definiert. Es ist also . Die Anzahl der (Rechts- oder Links-) Nebenklassen heißt der Index von in .

Beweis:

Es wird die Nebenklasse auf abgebildet.

Satz: Ist , so operiert auf der Menge der Linksnebenklassen vermöge und auf den Rechtsnebenklassen vermöge

Beweis:

Dies sind dieselben Operation wie auf , d.h. es ist nur zu zeigen, dass Nebenklassen auf Nebenklassen abgebildet werden. Das ist jedoch klar.

Satz von Lagrange[Bearbeiten]

Satz: Die Gruppe operiere auf der Menge und es sei . Dann ist endlich genau dann, wenn und endlich sind. In dem Falle gilt weiter

Beweis:

Falls oder unendlich sind, ist klar, dass auch unendlich ist. Sei daher und . Ist , so ist eine Abbildung von nach mit Umkehrabbildung . Also ist . Da die disjunkte Vereinigung aller ist, wenn über ganz läuft, folgt die Behauptung.


Satz (Lagrange): Ist eine endliche Gruppe und , so ist . Insbesondere sind die Ordnung einer Untergruppe und die Anzahl ihrer Nebenklassen Teiler der Gruppenordnung.

Beweis:

Wende den vorhergehenden Satz an auf die Operation von auf den Nebenklassen durch Links- (bzw. Rechts-)Multiplikation. Man muss nur beachten, dass der Stabilisator der Nebenklasse gerade ist und dass die Operation transitiv ist, d.h. die Bahn einer Nebenklasse umfasst sämtliche Nebenklassen.

Normalteiler[Bearbeiten]

Definition: Ein Normalteiler (oder normale Untergruppe) ist eine Untergruppe einer Gruppe für die gilt:

und

Es sind also genau die Untergruppen, die unter den inneren Automorphismen invariant sind.

Beispiele:

  • ist ein Normalteiler von , denn man rechnet leicht nach, dass für und stets gilt.

Satz: Eine Untergruppe ist genau dann Normalteiler, wenn die Rechtsnebenklasse und die Linksnebenklasse identisch sind.

Beweis:

Ist Normalteiler, eine Linksnebenklasse und ein beliebiges Element hiervon, so gilt auch , also . Ebenso zeigt man , also .
Stimmen umgekehrt Rechts- und Linksnebenklassen überein, gibt es also zu jedem ein mit , so gilt wegen sogar . Somit gibt es zu auch ein mit , also .

Korollar: Jede Untergruppe vom Index 2 ist ein Normalteiler.

Beweis:

Es gibt genau zwei Linksnebenklassen und für ein , ebenso zwei Rechtsnebenklassen und .
Da jeweils deren disjunkte Vereinigung ist, folgt .

Satz: Ist ein Normalteiler, so ist das Produkt zweier Nebenklassen wieder eine Nebenklasse

Beweis:

In der Tat ist .

Definition:

Für einen Homomorphismus von Gruppen bezeichnet man die Menge als den Kern von und die Menge als das Bild von . Der Kern eines Homomorphismus beinhaltet also alle Elemente, die auf das neutrale Element abgebildet werden und das Bild eines Homomorphismus ist die Menge aller Bilder von Elementen aus .

Satz:

Ist ein Homomorphismus von Gruppen, so ist ein Normalteiler von und Untergruppe von .

Beweis:

Wegen ist nicht leer. Sind , so wegen auch . Nach dem Untergruppenkriterium ist also . Ebenso ist nicht leer und mit und ist auch in und folglich .
Um einzusehen, dass sogar Normalteiler ist, beachte man, dass für und gilt: .

Satz: Ein Gruppenhomomorphismus ist genau dann injektiv, wenn .

Beweis:

Ist injektiv, so kann nicht mehr als das neutrale Element enthalten. Sei umgekehrt . Dann folgt aus stets , also und schließlich .

Faktorgruppen[Bearbeiten]

Satz, Definition: Es sei eine Gruppe und es sei ein Normalteiler der Gruppe ,

Die Menge der Nebenklassen mit dem Produkt als Operation ist eine Gruppe, die Faktorgruppe von nach , geschrieben bzw. .

Die Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus und heißt kanonischer Hommorphismus auf die Faktorgruppe. Sein Kern ist .

Hierbei ist zu beachten, das in nicht dasselbe bedeutet, wie in .

Beweis:

Wegen ist unter Multiplikation abgeschlossen, insbesondere ist und . Die Assoziativität gilt bereits allgemein in dem Monoid . Somit ist in der Tat eine Gruppe.
Dass ein Homomorphismus ist, ist wieder eine unmittelbare Folge der Gleichheit . Da genau für gilt, folgt die Aussage über den Kern.

Da wir bereits gesehen haben, dass der Kern eines Gruppenhomomorphismus immer ein Normalteiler ist, ergibt sich auf diese Weise eine anderer Charakterisierung von Normalteilern: Normalteiler sind genau die Kerne von Homomorphismen.

Zentrum einer Gruppe[Bearbeiten]

Definition: Das Zentrum einer Gruppe ist die Menge

Das ganze ist natürlich nur für nicht-kommutative Gruppen interessant, da für kommutative Gruppen stets gilt.

Satz: ist ein Normalteiler von

Beweis ist genau der Kern des Homomorphismus .

Direktes Produkt von Gruppen[Bearbeiten]

Definition: Sind und Gruppen, so ist auf durch , also durch komponentenweise Verknüpfung, eine Gruppenverknüpfung gegeben. Die Gruppe heißt das (äußere) direkte Produkt von und .


Struktursätze[Bearbeiten]

Inneres direktes Produkt[Bearbeiten]

Satz: Sei eine Gruppe und seien Untergruppen mit:

  • für alle

Dann ist die Abbildung ein Isomorphismus, also isomorph zum direkten Produkt von und . heißt dann inneres direktes Produkt von und .

Beweis: Wegen der ersten Forderung gilt: und damit ist ein Gruppenhomomorphismus, und zwar, wegen des zweiten Punktes, ein surjektiver. Sei nun . Dann ist . Also ist der Kern trivial und injektiv und somit ein Isomorphismus.

erster Isomorphiesatz[Bearbeiten]

Es seien eine Gruppe, ein Normalteiler in , und eine Untergruppe von . Dann ist auch das Produkt eine Untergruppe von ; ist ein Normalteiler in und die Gruppe ist ein Normalteiler in . Es gilt:

Dabei bezeichnet die Isomorphie von Gruppen.

zweiter Isomorphiesatz[Bearbeiten]

Es seien eine Gruppe, ein Normalteiler in und eine Untergruppe von , die Normalteiler in ist. Dann gilt:

Satz von Cauchy[Bearbeiten]

Sei eine endliche Gruppe und eine Primzahl, welche die Ordnung der Gruppe teilt. Es gibt ein mit .

Sätze von Sylow[Bearbeiten]

Definition

sei eine Primzahl
Man nennt eine endlich Gruppe -Gruppe genau dann, wenn es ein gibt so, dass

Definition

Sei eine endliche Gruppe und eine Primzahl.
Sei mit
eine Untergruppe nennt man eine
-Untergruppe, wenn mit
-Sylowuntergruppe, wenn
Eine -Sylowuntergruppe ist also die -Untergruppe von maximaler Ordnung.

Satz

  1. hat eine Untergruppe der Ordnung .
  2. Sei eine -Sylowuntergruppe. Dann enthält von jeder Untergruppe , die -Gruppe ist, eine Konjugierte. Es gibt also ein mit .
  3. Die Anzahl der -Sylow-Gruppen ist ein Teiler von und von der Form mit .

Automorphismen[Bearbeiten]

Spezielle Gruppen[Bearbeiten]

Isometrien des dreidimensionalen Raumes[Bearbeiten]

Die Isometrien des (oder auch jedes anderen metrischen Raumes) bilden mit Hintereinanderausführung eine Gruppe. Eine wichtige Untergruppe hiervon sind diejenigen Isometrien, die den Ursprung festhalten. Diese Gruppe wird orthogonale Gruppe genannt und mit bezeichnet. Eine Untergruppe hierin ist die spezielle orthogonale Gruppe der orientierungserhaltenden Elemente von . Es ist ein Normalteiler von vom Index 2.

Ebenso, wie die dadurch innerhalb der Isometrien dadurch eingegrenzt wurde, dass ihre Elemente den Ursprung invariant lassen, kann man auch andere Teilmengen des betrachten und überlegen, welche Bewegungen diese (ggf. orientierungstreu) invariant lassen. Meist ist hierbei ein Polyeder. Die betrachteten Gruppen operieren dann auf der Menge der Ecken von und lassen sich auf diese Weise als Untergruppen von Permutationsgruppen auffassen.

Permutationsgruppen / symmetrische Gruppen[Bearbeiten]

Ist eine endliche Menge, so heißt jede bijektive Abbildungen von auf sich auch Permutation, die Gruppe dieser Abbildungen Permutationsgruppe. Im Fall von wird die Gruppe mit bezeichnet (Symmetrische Gruppe). Die Gruppe enthält genau Elemente.

Elemente von

Element kann als Wertetabelle geschrieben werden

Andere Schreibweise: Produkt disjunkter Zyklen

Diedergruppen[Bearbeiten]

Sei ein reguläres -Eck, . Die Menge aller Isometrien des , die invariant lassen heißt dann eine Diedergruppe. Je zwei solche Gruppen sind (bei gleichem Wert von ) isomorph. Ein beliebig gewählter Vertreter dieser Isomorphieklasse wird mit bezeichnet. Die Diedergruppe permutiert die Ecken von und kann dadurch als Untergruppe von aufgefaßt werden. Als solche wird erzeugt von und . Die orientierungstreuen Abbildungen bilden einen zyklischen Normalteiler.

allgemeine lineare Gruppe[Bearbeiten]

Die allgemeine lineare Gruppe ist auf den invertierbaren ) Matrizen definiert und damit auf den ihr zugrundeliegenden Isomorphismen. Die Gruppenverknüpfung der allgemeinen linearen Gruppe ist die Matrizenmultiplikation, die Bezeichnung beschreibt die Größe der Matrizen und den zugrundeliegenden Körper K.

Tetraedergruppen[Bearbeiten]

Oktaedergruppen[Bearbeiten]

Ikosaedergruppen[Bearbeiten]

Die Bewegungsgruppen[Bearbeiten]