Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Mengen 1

Mathematik Lineare Algebra Grundlagen Mengen I
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Geschichtliches

Nach der Definition des Mathematikers Georg Cantor, der als Begründer der Mengenlehre gilt, ist eine Menge "eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen".

Grundlage

Die Definition von Cantor klingt heute etwas geschwollen. Es ist der sogenannte naive Standpunkt. Kurz gesagt ist eine Menge nach dem naiven Standpunkt eine Zusammenfassung unterscheidbarer Objekte wobei diese Objekte als Elemente bezeichnet werden. Das Wort unterscheidbar in obigem Satz ist wichtig, weil in einer Menge kein Element doppelt vorkommen darf. So ein Objekt kann also zum Beispiel eine Zahl sein, ein Wort oder eben alles Andere, was voneinander unterscheidbar ist.

Darstellung einer Menge

Im Prinzip gibt es drei verschiedene Möglichkeiten eine Menge darzustellen:

1. durch explizites Aufzählen aller Elemente, die in der Menge enthalten sind, und zwar in geschweiften Klammern. Zum Beispiel $M:=\ \{7,8,5,12\}$ oder $M:=\{14.87,45.122\}$ oder aber auch sowas wie $M:=\ \{\mathrm {Baum} ,\mathrm {Strauch} ,\mathrm {Blume} \}$. Die Elemente müssen bei so einer Aufzählung deutlich voneinander getrennt sein, deswegen verwendet man üblicherweise einen Beistrich zwischen den Elementen. Bei Zahlen ist aber (gerade wenn am Computer geschrieben wird) auch einfach nur ein Leerzeichen denkbar. Wenn mit der Hand geschrieben wird, sind Zwischenräume aber eher ungünstig, weil die meistens mit der Zeit so eng werden, dass nicht mehr wirklich gesagt werden kann, ob es noch eine Lücke ist oder nicht.
2. durch implizites Aufzählen aller Elemente, welche in der Menge enthalten sind. Dabei werden charakteristische Elemente der Menge angegeben und dem Leser durch "..." angezeigt, dass es mehr als die angegeben Elemente gibt, die einer bestimmten Form genügen. So kann man zum Beispiel die Menge $\mathbb {P}$ aller Primzahlen durch $\mathbb {P} =\{2,3,5,7,11,13,...\}$ angeben.
3. durch Definieren ihrer Eigenschaft, z.B. mittels $M:=\{n\mid 50\ \mathrm {kleiner\ als} \ n,\ n\ \mathrm {ganze\ Zahl} \}$. Damit sind alle ganzen Zahlen größer als $50$ in $M$ enthalten. Also $M:=\{51,52,53,54,55,...\}$

Um ein Element einer Menge anzuzeigen, schreibt man $a\in A$.

Beispiele:

• $3\in P:={\big \{}2,3,5,7,11,13,\ldots {\big \}}$
• $4\notin P$

Leere Menge

Definition

Es gibt eine Menge, die keine Elemente enthält. Sie wird mit $\emptyset$ oder auch mit $\lbrace \ \rbrace$ bezeichnet.

Übliche Schreibweisen für die leere Menge sind:

• $\emptyset :=\{\ \}$
• $\emptyset :={\big \{}x\mid x\neq x{\big \}}$
• $A=\emptyset \ :\Leftrightarrow \ \forall x\ (x\ \notin \ A)$
• $A=\emptyset \ :\Leftrightarrow \ \forall x\ (\neg x\in A)$

Wesentliche Eigenschaften der leeren Menge sind:

• Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge : $\emptyset \ \subseteq \ A$
• Jede Menge bleibt bei der Vereinigung mit der leeren Menge unverändert : $\emptyset \cup A=A$
• Der Durchschnitt jeder Menge mit der leeren Menge ist wiederum die leere Menge : $\emptyset \cap A=\emptyset$.
  
  

Beispiele:

• Für $A=\lbrace 1,2,3\rbrace$ und $B=\lbrace a,b,c\rbrace$ ist $A\cap B=\emptyset$
• Ist $A=\lbrace x\in \mathbb {R^{+}} |\ f(x)=x^{2}\rbrace$ und $B=\lbrace x<0|\ g(x)=-x\rbrace$, dann ist $A\cap B=\emptyset$

Relationen und Operationen auf Mengen

Symbol	Bedeutung	Beispiel
$m\in M$	m ist Element von M.	$3\in \mathbb {N}$
$M\subseteq N$	M ist Teilmenge von N, das heißt, jedes Element von M ist auch Element von N.	$\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z}$ und $\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q}$
$M\subsetneq N$	M ist echte Teilmenge von N, das heißt, M ist Teilmenge von N, aber nicht gleich N.	$\mathbb {N} \subsetneq \mathbb {Z}$, aber nicht: $\mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {Z}$
$M\cup N$	Vereinigung von M und N: die Menge aller Elemente, die Element von M oder N (oder beiden) sind	$\mathbb {Z} =\left\{-1,-2,-3,\ldots \right\}\cup \mathbb {N}$
$M\cap N$	Schnittmenge von M und N: die Menge aller Elemente, die Element sowohl von M als auch von N sind	$\mathbb {N} =\mathbb {Z} \cap \mathbb {R} _{+}$
$M\setminus N$	Mengendifferenz von M und N: die Menge aller Elemente, die Element von M sind, aber nicht Element von N	$\mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} =\left\{-1,-2,-3,\ldots \right\}$
$M\Delta N\,$	Symmetrische Differenz von M und N: die Menge aller Elemente, die Element der Vereinung $M\cup N$ sind, aber nicht Element des Durchschnitts $M\cap N$. Mit anderen Worten $M\Delta N:=(M\cup N)\setminus (M\cap N)=(M\setminus N)\cup (N\setminus M)$	$\left\{a,b,c\right\}\Delta \left\{c,d\right\}=\left\{a,b,d\right\}$

Potenzmenge

Es lassen sich auch Mengen als Elemente von Mengen auffassen. Hierzu wird die Potenzmenge als Menge von Mengen eingeführt.

Definition

sei $R$ eine Menge. Dann nennt man

${\mathfrak {P}}(R):=\{S\ |\ S\subseteq R\}$ Die Potenzmenge von $R$. Sie enthält alle Teilmengen von $R$.

Zur Verdeutlichung der Definition sind folgende Beispiele nützlich:

• ${\mathfrak {P}}(\emptyset )=\{\emptyset \}\neq \emptyset$. Das bedeutet, dass die Potenzmenge einer Menge stets nichtleer ist. Denn die Potenzmenge enthält immer die leere Menge als Element.
• ${\mathfrak {P}}(\{a,b,c\})=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$.
  
  

Kardinalität und Mächtigkeit

Definition

Bei einer endlichen Menge $A$ bezeichnet die Mächtigkeit (Kardinalität) die Anzahl der Elemente von $A$.

1. Die Mächtigkeit einer Menge $A$ aus $n$ Elementen ist $|A|=n$.
2. Die Mächtigkeit der Potenzmenge ${\mathfrak {P}}(A)$ einer Menge $A$ ist $\mid {\mathfrak {P}}(A)\mid =2^{|A|}$.

Beispiele:

• $A=\{a,b,c,d,x,y,z\}$ hat die Kardinalität $\mid A\mid =7$
• $\mid {\mathfrak {P}}(\emptyset )\mid \ =2^{0}=1$
• $\mid {\mathfrak {P}}(\{a,b,c\})\mid \ =2^{3}=8$.
  
  

Kartesisches Produkt

Definition

Für zwei Mengen $A,B\,$ ist die Menge aller geordneten Paare $(a,b)\,$ mit $a\in A$ und $b\in B$ das kartesische Produkt von $A\,$ und $B\,$. Man schreibt dies als

$A\times B:=\{(a,b)\colon a\in A,b\in B\}$

und es gilt: $|A\times B|=|A|\cdot |B|$. Falls $A=B\,$ schreibt man auch abkürzend $A^{2}:=A\times A.$, bzw. allgemeiner $A^{n}:=\underbrace {A\times A\times \ldots \times A} _{n-\mathrm {mal} }$.

Beispiele:

• Das kartesische Produkt $A\times B$ der beiden Mengen $A=\{a,b\}$ und $B=\{y,z\}$ ist $A\times B=\{(a,y),(a,z),(b,y),(b,z)\}$.
  
  
• Die reelle Zahlenebene entsteht aus dem kartesischen Produkt der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ mit sich selbst $\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}$