Mathematik: Analysis: Stetigkeit: Umgebungsstetigkeit

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Analysis
Einleitung

A: Grundlagen   B: Reelle Zahlen   C: Folgen und Reihen   D: Stetigkeit   E: Differentialrechnung   F: Integralrechnung   G: Differentialgleichungen

1. Umgebungsstetigkeit[Bearbeiten]

Bei der numerischen Berechnung von Funktionswerten ist man häufig auf Näherungswerte für den Argumentwert angewiesen wie z. B. bei , die man aber je nach Bedarf beliebig nahe bei wählen kann. Das hat jedoch zur Folge, dass eine Abweichung vom Argumentwert im Allgemeinen eine mehr oder weniger große Abweichung vom zugehörigen Funktionswert nach sich zieht. In praktischen Fällen wird jedoch die zugelassene Abweichung vorgeschrieben sein, und zwar dadurch, dass man eine positive reelle Zahl vorgibt, die festlegt, wie weit der Näherungswert sich vom Funktionswert nach "oben" bzw. nach "unten" unterscheiden darf:

Dann stellt sich aber sofort die Frage, ob man die Abweichung des Näherungswertes von der Stelle so eingrenzen kann, dass die Forderung (1) erfüllt wird. Es müsste dazu eine positive reelle Zahl so angebbar sein, dass für jedes aus der Definitionsmenge von mit

die Ungleichung (1) gilt. Diese Eigenschaft, die für eine näherungsweisige Berechnung von Funktionswerten wesentlich ist, fasst man in folgende


Definition - (lokale) Stetigkeit
Eine Funktion heißt stetig an der Stelle (oder kurz: bei) genau dann,
wenn und zu jedem reellen ein reelles existiert, so dass für alle gilt:


Es sei hier auf eine besondere Konsequenz aus dieser vorstehenden Definition hingewiesen, nämlich dass jede Funktion, deren Definitionsmenge nur aus isolierten Punkten besteht, stetig ist; denn die Ungleichung ist für eine isoliert in liegende Stelle bei hinreichend kleinem nur für erfüllbar, und damit hat man dann die trivialerweise erfüllte Ungleichung . Somit sind insbesondere alle Folgen stetige Funktionen!

Als eine weitere Konsequenz aus der Definition der (lokalen) Stetigkeit ergibt sich, dass bei nicht stetig ist, falls . In einem solchen Fall aber "Unstetigkeitsstelle" zu nennen, wäre nicht angebracht; denn eine Funktion kann eine Eigenschaft nur an solchen Stellen haben, an denen sie auch definiert ist. Deshalb legt man fest:

heißt Unstetigkeitsstelle von genau dann, wenn und nicht stetig bei ist.


Definition - (globale) Stetigkeit
Eine Funktion heißt (global) stetig genau dann, wenn sie an jeder Stelle stetig ist.


Die Menge stellt eine Umgebung von dar und die Menge eine Umgebung von . Beachtet man, dass jetzt ist (und nicht gleich ; denn bildet nur diejenigen Elemente von ab, die auch zu gehören), so kann man die Definition der (lokalen) Stetigkeit mittels des Umgebungsbegriffes umformulieren.


Satz - Umgebungskriterium für (lokale) Stetigkeit
Eine Funktion ist stetig an der Stelle genau dann, wenn und
zu jeder Umgebung von eine Umgebung von existiert, so dass ist.