Mathematik: Lineare Algebra: Determinanten: Anwendungsgebiete

Mathematik Lineare Algebra Determinanten Anwendungsgebiete
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Das Spatprodukt

Im dreidimensionalen Raum ($\mathbb {R} ^{3}$) wird von den Vektoren a, b, c ein Spat, d.h. ein von 6 Parallelogrammflächen berandetes Prisma aufgespannt. Sein Volumen wird formal durch V =

${\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}$

= $c_{1}{\begin{vmatrix}a_{2}&b_{2}\\a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}}-c_{2}{\begin{vmatrix}a_{3}&b_{3}\\a_{1}&b_{1}\end{vmatrix}}+c_{3}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}$

aufgeschrieben. Diese systematische Schreibweise war bisher ja eine Abkürzung für
c₁ (a₂b₃ - a₃b₂) - c₂ (a₃b₁ - a₁b₃) + c₃ (a₁b₂ - a₂b₁).
Es ist also
${\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}$
die Determinante der quadratischen Matrix

${\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}$

Man schreibt

det (A).

Also ist das Spatvolumen V = det (A) = det (a b c).

Mit der genannten Systematik läßt sich sehr schnell das Volumen eines n-dimensionalen Spats anschreiben, wobei wir jetzt a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₁₄, ..., a_1n für die Elemente der ersten Zeile ( i=1 ), a₂₁, a₂₂, a₂₃, a₂₄, ..., a_2n für die der zweiten Zeile ( i=2 ), usw. bis a_n1, a_n2, a_n3, a_n4, ..., a_nn für die der letzten, n-ten Zeile notieren.
Damit ist

V = det (A) =

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&...&a_{3n}\\.&.&.&...&.&\\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&...&a_{nn}\\\end{vmatrix}}$.

Dabei bilden die waagrecht angeordneten a_ik die Zeilen, die senkrechten Reihen der Elemente a_ik die Spalten der n × n Determinante. Wir müssen jetzt nur noch erfahren, wie eine solche n × n - Determinante berechnet werden soll.

Gleichungssysteme

Das lineare Gleichungssystem (LGS)

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + a₁₃ x₃ = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + a₂₃ x₃ = b₂

a₃₁ x₁ + a₃₂ x₂ + a₃₃ x₃ = b₃

ist zu lösen.

Um x₁ zu erhalten, multiplizieren wir die erste Gleichung des LGS mit dem Faktor ( a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂ ), die zweite Gleichung mit - ( a₁₂a₃₃ - a₁₃a₃₂ ) und die dritte mit ( a₁₂a₂₃ - a₁₃a₂₂ ). Dann addieren wir die so multiplizierten Gleichungen und erhalten zunächst

x₁ [ a₁₁ ( a₂₂a₂₃ - a₃₂a₂₃ ) +

a₂₁ ( a₂₂a₁₃ - a₁₂a₂₃ ) + a₃₁ ( a₁₂a₃₃ - a₂₂a₁₃ ) ]

= b₁ ( a₂₂a₂₃ - a₃₂a₂₃ ) +

b₂ ( a₂₂a₁₃ - a₁₂a₂₃ ) + b₃ ( a₁₂a₃₃ - a₂₂a₁₃ ),
d.h. wir erhalten für x₁ einen Bruch mit dem

Zähler:

b₁ ( a₂₂a₂₃ - a₃₂a₂₃ ) + b₂ ( a₂₂a₁₃ - a₁₂a₂₃ ) + b₃ ( a₁₂a₃₃ - a₂₂a₁₃ )

Nenner:

[ a₁₁ ( a₂₂a₂₃ - a₃₂a₂₃ ) + a₂₁ ( a₂₂a₁₃ - a₁₂a₂₃ ) + a₃₁ ( a₁₂a₃₃ - a₂₂a₁₃ ) ] .

Damit können folgende Feststellungen getroffen werden:

• Die Faktoren von b_i im Zähler und a_ik (i,k = 1,2,3) im Zähler bzw im Nenner sind dieselben. Sie können wie beim Spatprodukt (als Unterdeterminanten) geschrieben werden:

d₁₁ = ${\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},...$

d₂₁ = - ${\begin{vmatrix}a_{13}&a_{32}\\a_{12}&a_{33}\\\end{vmatrix}},...$

d₃₁ = ${\begin{vmatrix}a_{12}&a_{23}\\a_{13}&a_{22}\\\end{vmatrix}},...$

• Man kann den ganzen Nenner des Bruches als Determinante D der (quadratischen) Koeffizientenmatrix A (sie enthält nur die a_ik geschrieben werden.
• Auch den Zähler kann man als Determinante D₁ einer quadratischen Matrix schreiben. Dabei streicht man die erste Spalte der zunächst rechteckförmigen Ausgangsmatrix (drei Spalten a_ik, vierte Spalte b_i) und an ihre Stelle notiert man die vierte Spalte. Dann haben wir

x₁ = D₁ / D.

Sinngemäß haben wir auch noch

x₂ = D₂ / D und

x₃ = D₃ / D

wo dann D₂ die Determinante derjenigen quadratischen Matrix ist, die man durch Streichen der zweiten Spalte und Ersetzen durch die vierte b_i Spalte bekommt. D ist die Determinante der a_ik und entsprechen bekommt man noch D₃. Diese Bestimmung der Lösungen x_i heißt CRAMER'sche Regel.

• Auch jetzt ist eine Erweiterung von 3 Gleichungen auf n Gleichungen naheliegend

x₁ = D₁ / D,

x₂ = D₂ / D

x₃ = D₃ / D

. . . .

x_n = D_n / D.