Mathematik: Lineare Algebra: Determinanten: Anwendungsgebiete

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Wikibooks-logo.svg Mathematik One wikibook.svg Lineare AlgebraWikibooks buchseite.svg DeterminantenWikibooks buchseite.svg Anwendungsgebiete
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Das Spatprodukt[Bearbeiten]

Im dreidimensionalen Raum () wird von den Vektoren a, b, c ein Spat, d.h. ein von 6 Parallelogrammflächen berandetes Prisma aufgespannt. Sein Volumen wird formal durch V =

=

aufgeschrieben. Diese systematische Schreibweise war bisher ja eine Abkürzung für
c1 (a2b3 - a3b2) - c2 (a3b1 - a1b3) + c3 (a1b2 - a2b1).
Es ist also

die Determinante der quadratischen Matrix

Man schreibt

det (A).

Also ist das Spatvolumen V = det (A) = det (a b c).

Mit der genannten Systematik läßt sich sehr schnell das Volumen eines n-dimensionalen Spats anschreiben, wobei wir jetzt a11, a12, a13, a14, ..., a1n für die Elemente der ersten Zeile ( i=1 ), a21, a22, a23, a24, ..., a2n für die der zweiten Zeile ( i=2 ), usw. bis an1, an2, an3, an4, ..., ann für die der letzten, n-ten Zeile notieren.
Damit ist

V = det (A) =
.

Dabei bilden die waagrecht angeordneten aik die Zeilen, die senkrechten Reihen der Elemente aik die Spalten der n × n Determinante. Wir müssen jetzt nur noch erfahren, wie eine solche n × n - Determinante berechnet werden soll.

Gleichungssysteme[Bearbeiten]

Das lineare Gleichungssystem (LGS)

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3

ist zu lösen.

Um x1 zu erhalten, multiplizieren wir die erste Gleichung des LGS mit dem Faktor ( a22a33 - a23a32 ), die zweite Gleichung mit - ( a12a33 - a13a32 ) und die dritte mit ( a12a23 - a13a22 ). Dann addieren wir die so multiplizierten Gleichungen und erhalten zunächst

x1 [ a11 ( a22a23 - a32a23 ) +

a21 ( a22a13 - a12a23 ) + a31 ( a12a33 - a22a13 ) ]

= b1 ( a22a23 - a32a23 ) +

b2 ( a22a13 - a12a23 ) + b3 ( a12a33 - a22a13 ),
d.h. wir erhalten für x1 einen Bruch mit dem

Zähler:

b1 ( a22a23 - a32a23 ) + b2 ( a22a13 - a12a23 ) + b3 ( a12a33 - a22a13 )

Nenner:

[ a11 ( a22a23 - a32a23 ) + a21 ( a22a13 - a12a23 ) + a31 ( a12a33 - a22a13 ) ] .

Damit können folgende Feststellungen getroffen werden:

  • Die Faktoren von bi im Zähler und aik (i,k = 1,2,3) im Zähler bzw im Nenner sind dieselben. Sie können wie beim Spatprodukt (als Unterdeterminanten) geschrieben werden:
d11 =
d21 = -
d31 =
  • Man kann den ganzen Nenner des Bruches als Determinante D der (quadratischen) Koeffizientenmatrix A (sie enthält nur die aik geschrieben werden.
  • Auch den Zähler kann man als Determinante D1 einer quadratischen Matrix schreiben. Dabei streicht man die erste Spalte der zunächst rechteckförmigen Ausgangsmatrix (drei Spalten aik, vierte Spalte bi) und an ihre Stelle notiert man die vierte Spalte. Dann haben wir
x1 = D1 / D.

Sinngemäß haben wir auch noch

x2 = D2 / D und
x3 = D3 / D

wo dann D2 die Determinante derjenigen quadratischen Matrix ist, die man durch Streichen der zweiten Spalte und Ersetzen durch die vierte bi Spalte bekommt. D ist die Determinante der aik und entsprechen bekommt man noch D3. Diese Bestimmung der Lösungen xi heißt CRAMER'sche Regel.

  • Auch jetzt ist eine Erweiterung von 3 Gleichungen auf n Gleichungen naheliegend
x1 = D1 / D,
x2 = D2 / D
x3 = D3 / D
. . . .
xn = Dn / D.