Mathematik: Lineare Algebra: Lineare Gleichungssysteme: Definition

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Was ist ein lineares Gleichungssystem (LGS) ?[Bearbeiten]

Eine Gleichung der Form

heißt lineare Gleichung mit Unbekannten . Linear ist die Gleichung, weil die nur linear (d.h. in der ersten Potenz) vorkommen. Die Koeffizienten und sind reelle (oder auch komplexe) Zahlen.

Oft führt die mathematische Lösung eines Problems auf mehrere derartiger Gleichungen. Betrachten wir dazu folgendes Beispiel:

Man kann

als parameterfreie Darstellung einer Ebene im lesen. Ebenso sind
und
zwei weitere Ebenen. Drei Ebenen können sich in einem (gemeinsamen) Punkt schneiden. Da dieser Punkt auf allen drei Ebenen liegt, müssen seine Koordinaten alle drei Gleichungen simultan erfüllen.
Im Allgemeinen sind nun mehrere (lineare) Gleichungen (etwa der Anzahl nach) aufgestellt worden, die jeweils Unbekannte enthalten. Ein solches Gleichungssystem aus linearen Gleichungen mit jeweils Unbekannten nennt man ein lineares Gleichungsystem, kurz LGS.
Das Gleichungssystem unseres Beispiels mit lässt sich nun wie folgt darstellen:


Allgemein lässt sich ein lineares Gleichungssystem mit Gleichungen und Unbekannten wie folgt definieren:

Definition
Es sei ein Körper und für und . Dann nennt man
ein homogenes lineares Gleichungssystem in den Variablen . Ein Tupel heißt Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems, wenn ist für alle .
Wenn beliebig ist, so heißt
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn für alle .

Ein homogenes lineares Gleichungssystem besitzt immer die sogenannte triviale Lösung . Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem braucht nicht notwendigerweise eine Lösung zu haben.