Mathematik: Schulmathematik: Elementare Operationen

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Die elementaren Operationen Siehe auch Mathematik für mathematische Pflegefälle - Rechnen - Mathematik für die Grundschule

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Wozu werden Zahlen benutzt?[Bearbeiten]

  • zum Zählen; im Zählen finden Zahlen ihren Ursprung
    • Um zu wissen wieviele Dinge es gibt und zählen wir: 1, 2, 3, 4, 5, …; eine Lotterieurne enthält 49 Kugeln, eine Eierpackung 10 Eier, …
    • damit Zählen nicht zu langweilig wird und nicht zu lange dauert rechnen wir mit Zahlen, aber im Grunde genommem ist alles Rechnen auf Zählen zurück zu führen
  • zum Ordnen; beim Zählen wird das erste Objekt als erstes gezählt, usw.
    • Der erstgeborene Sohn, der zweite, …; am Ende eines Wettkampfes z. B. landen die Sportler auf dem ersten, zweiten, dritten, vierten Platz, u.s.w. ; Hausnummern, wenn jedenfalls die Ordnung benutzt wird.
  • zum Benennen; eigentlich sind dies keine Zahlen, man kann nicht damit rechnen; nur werden Ziffern als Zeichen benutzt;
    • "Zahlen" sind Namen: Postleitzahlen, Telefonnummern
  • zum Messen; obwohl Messen eigentlich wieder Zählen bedeutet; wir stellen fest wie oft die Einheit in den Messwert passt
    • Ein Quadrat, dass die Seitenlänge 1 Meter hat, misst in der Diagonalen 1,414213… m. Der Umfang eines Kreises mit einem Radius von 1 m ist 6,28318… m.

Eine Temperatur beträgt + 25,6°C. Jemand wiegt 49,3 kg.

und schließlich

  • zum Rechnen

Was sind Zahlen?[Bearbeiten]

Die Frage lässt sich nicht so einfach beantworten. Unter Zahlen versteht man heutzutage vor allem solche Dinge, mit denen man so schön rechnen kann, dass man auch unbeschränkt dividieren kann.

Wie werden Zahlen dargestellt?[Bearbeiten]

  • Erinnerung:
    • Beispiel: Die Zahl 34067 ist eine Abkürzung für folgende Produktsumme:

Das kann man noch etwas anders darstellen:

  • Das heißt in unserem Zahlensystem haben wir die Zahl 10 als Basis gewählt und addieren immer Potenzen von 10.
  • Außerdem gibt es eine Zahl 0 für welche gilt:
    • und für alle a.
  • Aber natürlich ist die Wahl der Zahl 10 als Basis völlig gleichgültig und man kann jede andere Zahl nehmen, um Zahlen darzustellen.

Historisch belegt sind:

    • das Sexagesimalsystem: Basis 60 (Babylonien)
    • das Vigesimalsystem: Basis 20 ( Maya und Azteken, Normannen)
    • das Dezimalsystem: Basis 10 (bei den meisten Völkern)
    • das Hexadezimalsystem: Basis 16, wird von Computerprogrammierern verwendet, weil es für Menschen einfacher ist als das Dualsystem
    • das Oktalsystem: wurde von Computerprogrammierern verwendet, als es noch keine 8-bit-Prozessoren gab
    • das Dualsystem: wird seit 1940 in der Elektrotechnik und beim Computerbau verwendet. Da es das theoretisch einfachste Zahlensystem ist, gehört es auch zur mathematisch-physikalischen Allgemeinbildung.
  • Was macht man, wenn man die Zahl 0 nicht verwenden möchte?

Dann kann man beliebige Summen aus beliebigen Zahlen nehmen, um Zahlen darzustellen. Allerdings kann man dann nicht beliebig große Zahlen darstellen.

historisch vorgekommen sind:

zum Beispiel: τκδ = 300 + 20 + 4= 324


  • das römische Zahlsystem: aus Kerbholz-Darstellungen entwickelt, nur die Buchstaben
1 5 10 50 100 500 1000
I V X L C D M

zum Beispiel: MDCCCCLXXXVI = 1986

  • die standardisierten Maße und Gewichte:
    • Will man beispielsweise 146 Euro bezahlen, so gibt man in der Regel 2 50-Euroscheine + 2 20-Euroscheine + 1 5-Euroschein + 1 1-Eurostück.

die Rechenoperationen[Bearbeiten]

die Grundoperationen[Bearbeiten]

Addition[Bearbeiten]

Eine Addition lässt sich in jeder Menge definieren. Hier ist die Additionstafel der ersten Zahlen.

(+) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Die Addition ist kommutativ a + b = b + a

Verdopplung[Bearbeiten]

Addiert man eine Zahl zu sich selbst, so verdoppelt sich diese.

Man schreibt a + a = 2a

Hier ist die Verdopplungsreihe für die ersten Zahlen:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Multiplikation[Bearbeiten]

Man kann das Verdoppeln auf beliebige Vielfache verallgemeinern:

usw.

Hier ist die als Einmaleins bekannte Multiplikationstabelle:

* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180
10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
11 0 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220
12 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240
13 0 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260
14 0 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280
15 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300
16 0 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320
17 0 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340
18 0 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360
19 0 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380
20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400


  • Die Multiplikation ist kommutativ:
  • Es gibt ein Element 0 mit
  • Es gibt ein Element 1 mit

Quadrieren[Bearbeiten]

Multipliziert man eine Zahl mit sich selbst, so nennt man das Quadrieren:

Man schreibt

Hier ist die Tabelle der Quadrate der ersten Zahlen

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 961 1024

Potenzieren[Bearbeiten]

Auch das Quadrieren lässt sich verallgemeinern:

usw.

Die erste Zahl heißt Basis, die zweite Exponent, das Ergebnis heißt Potenz.

  • Achtung: das Potenzieren ist nicht mehr kommutativ: ist ungleich

Hier ist die Potenztabelle der ersten Zahlen:

^ 0 1 2 3 4 5 6
0 1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 4 8 16 32 64
3 1 3 9 27 81 243 729
4 1 4 16 64 256 1024 4096
5 1 5 25 125 625 3125 15625


Die Potenzen sind wichtig für die unterschiedlichen Zahldarstellungen

^ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096
10 1 10 100 1000 10.000 100.000 1000.000
16 1 16 256 4096 65536
20 1 20 400 8000 160.000
60 1 60 3600 216.000

Kombinatorische Operationen[Bearbeiten]

Die bisherigen Operationen lassen sich noch weiter verallgemeinern:

Summe einer Zahlenreihe[Bearbeiten]

1 = 1

1+2 = 3

1+2+3 = 6

1+2+3+4 = 10

1+2+3+4+5 = 15

1+2+3+4+5+6 = 21

Summe von 1 bis n = n*(n+1)/2 ()

Das sind die so genannten Dreieckszahlen.

Summe der ungeraden Zahlen[Bearbeiten]

1 = 1

1+3 = 4

1+3+5 = 9

1+3+5+7 = 16

1+3+5+7+9 = 25

Summe der ersten n ungeraden Zahlen:

Fakultät[Bearbeiten]

usw.

Die Anzahl der Permutationen (Vertauschungen) einer Menge mit n Elementen ist n!

die Umkehroperationen[Bearbeiten]

Wenn man das Ergebnis einer Rechnung kennt, aber nur einen Operanden, wie lautet dann der Operand, den man nicht kennt?

  • a + x = b, a und b bekannt, was ist dann x?
  • , a und b bekannt, was ist dann x?

Die Antwort auf solche Fragen geben die Umkehroperationen. Die Grundoperationen haben immer ein Ergebnis, aber die Umkehroperationen haben manchmal keines. In den Fällen, wo kein Ergebnis in den natürlichen Zahlen möglich ist, führt der Versuch trotzdem eins zu finden zur Erweiterung der Zahlbereiche. Wichtig ist, dass alle hier genannten Operationen schon in den natürlichen Zahlen definiert werden können.

Subtraktion[Bearbeiten]

ist die Umkehroperation der Addition

Wenn a + x = b,

dann ist x = b - a

in den Natürlichen Zahlen hat diese Gleichung nur eine Lösung, wenn a < b

Will man für a > b ebenfalls eine Lösung, so ergeben sich die ganzen Zahlen.

Halbieren[Bearbeiten]

ist die Umkehroperation der Verdopplung

Wenn 2x = a, dann ist x = a:2

In den natürlichen Zahlen hat diese Gleichung nur eine Lösung, wenn a gerade ist.

Im Zehnersystem gilt: a ist gerade, wenn die letzte Ziffer 0,2,4,6 oder 8 ist.

Dividieren[Bearbeiten]

ist die Umkehroperation der Multiplikation

Wenn ,

dann ist x= b:a, man schreibt auch x= b/a

in den natürlichen Zahlen hat diese Gleichung nur eine Lösung,

  1. wenn a < b, und
  2. wenn b durch a teilbar ist, und
  3. wenn a nicht 0 ist.

Will man, dass die Gleichung auch dann eine Lösung hat, wenn b nicht durch a teilbar ist, ergeben sich die rationalen Zahlen.

Im Zehnersystem gilt:

a ist durch 2 teilbar wenn die letzte Ziffer 0,2,4,6,8 ist

a ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist

a ist durch 4 teilbar, wenn die Zahl der letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar ist

a ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 oder 5 ist

a ist durch 6 teilbar, wenn a durch 3 und 2 teilbar ist

a ist durch 7 teilbar, wenn das doppelte der letzten Ziffer von der verbleibenden Zahl abgezogen, durch 7 teilbar ist

a ist durch 8 teilbar, wenn die Zahl der letzten 3 Ziffern durch 8 teilbar ist

a ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist

a ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 ist.

größter gemeinsamer Teiler (ggT)[Bearbeiten]

Auch dann, wenn die Division nicht funktioniert, kann man noch eine "Teilbarkeitsverwandtschaft" feststellen. Zwei Zahlen können gemeinsame Teiler haben: Zum Beispiel haben 36 und 24 die gemeinsamen Teiler: 12, 6, 4, 3, 2. Der größte davon, eben der größte gemeinsame Teiler, hier also 12, ist eine sehr wichtige Zahl, die mit einem besonderen Verfahren, dem so genannten euklidischen Algorithmus, für beliebige natürliche Zahlen berechnet werden kann. Ist der ggT von zwei Zahlen a und b die Zahl b, dann funktioniert die Division. Ist der ggT 1, so heißen die Zahlen relativ prim oder teilerfremd.

das Quadratwurzelziehen[Bearbeiten]

ist die Umkehroperation des Quadrierens (zumindest, wenn man die Vorzeichen außer Betracht lässt). Eine Quadratwurzel ist immer eine positive Zahl. Beispiel:

Wenn ist, gibt es zwei Lösungen: und , weil sowohl

als auch

Mann kann auch die Quadratwurzel aus positiven Zahlen ziehen die keine Quadrate sind:

,

Betrachte die Reihe der Quadratzahlen und die Summe der ungeraden Zahlen.

Zwar gibt es keine unmittelbar einsichtige Regel, wann die Gleichung eine ganze Zahl als Lösung hat, aber z. B. kann Sie keine Lösung haben wenn, die letzte Ziffer von a 2,3,7 oder 8 ist.

Will man dass die Gleichung auch für negative a eine Lösung hat, dann ergeben sich die komplexen Zahlen (z. B. ).

Radizieren (allgemeines Wurzelziehen)[Bearbeiten]

Wenn , dann ist (b-te Wurzel aus c)

Logarithmieren[Bearbeiten]

Wenn , dann ist (Logarithmus c zur Basis a), c darf dabei nie 0 sein.

Kombinatorische Umkehroperationen[Bearbeiten]

Durchschnitt[Bearbeiten]

der Durchschnitt zweier Zahlen wird gebildet, indem man die Summe der beiden Zahlen durch 2 teilt. In den natürlichen Zahlen ist der Durchschnitt nur definiert wenn beide Zahlen gerade oder beide Zahlen ungerade sind.

Der Durchschnitt mehrerer Zahlen wird gebildet indem man die Zahlen alle addiert, und ihre Summe durch die Anzahl der Zahlen teilt.

(n Zahlen):

Kettenendendifferenzen[Bearbeiten]

Differenz der letzten und ersten Zahlen , wenn

Binominalkoeffizienten[Bearbeiten]

Quotient aus den letzten und ersten Zahlen

, n>k. Gesprochen: n über k.

Hier ist die als Pascal'sches Dreieck bezeichnete Tabelle der ersten Binomialkoeffizienten

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1

Beachte:

Die Summe der n-ten Zeile ist

Die erste Spalte besteht nur aus Einsen

Die zweite Spalte enthält die natürlichen Zahlen

Die dritte Spalte enthält die Summe der ersten Zahlen, d.h. die Dreieckszahlen

Die Zeilen sind spiegelsymmetrisch

Jeder Binomialkoeffizient ist die Summe der beiden über ihm stehenden Koeffizienten.

Exponenzieren[Bearbeiten]

Der Exponens oder exp(a) von a ist

Diese Funktion taucht bei der Zinseszinsrechnung auf und von ihr lassen sich auch die trigonometrischen Funktionen ableiten.

geometrische Operationen[Bearbeiten]

Die geometrischen Operationen werden wichtig, sobald man mit negativen und komplexen Zahlen zu tun hat.

Betrag[Bearbeiten]

Für reelle Zahlen a ist:

|a| = a, wenn a positiv ist

und

|a| = a, wenn a negativ ist

Deshalb gilt:

Länge[Bearbeiten]

Für komplexe Zahlen a+bi ist:

Deshalb gilt für komplexe z:

Signum[Bearbeiten]

Die Funktion sign, Signum, bestimmt das Vorzeichen und gibt es als +1, -1 oder 0 zurück.

sign(a) = +1 wenn a positiv ist.
sign(a) = -1 wenn a negativ ist.
sign(a) = 0 wenn a neutral (0) ist.

Komplex Konjugierte[Bearbeiten]

Das komplex Konjugierte einer komplexen Zahl c=a+bi ist die komplexe Zahl a-bi. Mann schreibt:

.

Phase, Argument[Bearbeiten]

Eine komplexe Zahl z=a+bi kann man auch vorstellen als:

.

Darin ist arg(z) der Winkel zwischen dem Vektor z und die reelle Achse. Dieser Winkel lasst sich bestimmen als Lösung der Gleichungen:

.

Nachfolger und Vorgänger[Bearbeiten]

ist n eine natürliche Zahl so ist n' = s(n) = n+1 der Nachfolger derselben und n´ = p(n) = n-1 der Vorgänger.

Diese Operation ist wichtig, wenn man die natürlichen Zahlen durch Axiome definiert.

Es gilt: a+b= a(1+b/a)= a*(b/a)' für a teilt b.