Dreizehneck

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(Mathematik: Schulmathematik: Planimetrie: Polygonkonstruktionen: Dreizehneck)

Mathematik → Schulmathematik → Planimetrie → Polygonkonstruktionen

Dreizehneck (Tridecagon)[Bearbeiten]

  • Das regelmäßige Dreizehneck ist nicht als (exakte) Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar.

Konstruktion[Bearbeiten]

Exakte Konstruktion bei gegebenem Umkreis mit Hilfsmittel[Bearbeiten]

Die folgende Darstellung ist eine Weiterführung der Konstruktionskizze nach Andrew Mattei Gleason aus dem Jahr 1988, mit dem Hilfsmittel Tomahawk zur Dreiteilung eines Winkels (siehe Weblinks).

Regelmäßiges Dreizehneck mit einem Umkreisradius als Animation,
exakte Dreiteilung des Winkels mittels des Tomahawks (hell blau)


Näherungskonstruktion bei gegebenem Umkreis[Bearbeiten]

01-Dreizehneck-3-1.svg
  1. Bestimme die Lage des Mittelpunktes M
  2. Zeichne einen Kreis, den Umkreis des späteren Dreizehnecks, um den Mittelpunkt M mit einem beliebigen Radius.
  3. Zeichne die horizontale und die vertikale Mittelachse, damit ergeben sich auf dem Umkreis die Punkte A, E1 bzw. B und C.
  4. Konstruiere auf der horizontalen Mittelachse außerhalb des Kreises die Strecke AD, sie ist ein Zehntel der Strecke AM.
  5. Trage die Strecke AD ab dem Punkt A viermal auf die horizontale Mittelachse ab, damit ergeben sich die Punkte F, G, H und I.
  6. Zeichne den Hilfskreis mit dem Radius MD um den Punkt M, er wird im Folgenden Hilfskreis durch D genannt.
  7. Halbiere die Strecke AD, damit ergibt sich der Punkt J.
  8. Zeichne den Hilfskreis mit dem Radius MJ um den Punkt M; dieser Hilfskreis wird im Folgenden Hilfskreis durch J genannt.
  9. Setze K als Schnittpunkt der horizontalen Mittelachse mit dem Hilfskreis durch D, nahe E1.
  10. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt L mit einem Abstand |KL|, der gleich lang ist wie die Strecke DI.
  11. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt N mit einem Abstand |CN|, der gleich lang ist wie die Strecke IJ.
  12. Setze O als Schnittpunkt der vertikalen Mittelachse mit dem Hilfskreis durch D, nahe B.
  13. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt P mit einem Abstand |OP|, der gleich lang ist wie die Strecke GJ.
  14. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt Q mit einem Abstand |KQ|, der gleich lang ist wie die Strecke IM.
  15. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt R mit einem Abstand |AR|, der gleich lang ist wie die Strecke FJ.
  16. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt S mit einem Abstand |KS|, der gleich lang ist wie die Strecke MJ.
  17. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt T mit einem Abstand |CT|, der gleich lang ist wie die Strecke MI.
  18. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt U mit einem Abstand |OU|, der gleich lang ist wie die Strecke DI.
  19. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt V mit einem Abstand |CV|, der gleich lang ist wie die Strecke FJ.
  20. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt W mit einem Abstand |E1W|, der gleich lang ist wie die Strecke HJ.
  21. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt X mit einem Abstand |DX|, der gleich lang ist wie die Strecke IJ.
  22. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt Y mit einem Abstand |CY|, der gleich lang ist wie der Abstand |CX|.
  23. Zeichne ab dem Punkt Y eine gerade Linie durch den Punkt W, damit ergibt sich der Schnittpunkt Z auf dem Hilfskreis durch D.
  24. Zeichne ab dem Punkt Z eine gerade Linie durch den Punkt V, damit ergibt sich der Schnittpunkt A1 auf dem Hilfskreis durch D.
  25. Zeichne ab dem Punkt A1 eine gerade Linie durch den Punkt U, damit ergibt sich der Schnittpunkt B1 auf dem Hilfskreis durch D.
    01-Dreizehneck-3-1.svg
  26. Zeichne ab dem Punkt B1 eine gerade Linie durch den Punkt T, damit ergibt sich der Schnittpunkt C1 auf dem Hilfskreis durch D.
  27. Zeichne ab dem Punkt C1 eine gerade Linie durch den Punkt S, damit ergibt sich der Schnittpunkt D1 auf dem Hilfskreis durch D.
  28. Zeichne ab dem Punkt D1 eine gerade Linie durch den Punkt R, damit ergibt sich der Schnittpunkt F1 auf dem Hilfskreis durch D.
  29. Zeichne ab dem Punkt F1 eine gerade Linie durch den Punkt Q, damit ergibt sich der Schnittpunkt G1 auf dem Hilfskreis durch D.
  30. Zeichne ab dem Punkt G1 eine gerade Linie durch den Punkt P, damit ergibt sich der Schnittpunkt H1 auf dem Hilfskreis durch D.
  31. Zeichne ab dem Punkt H1 eine gerade Linie durch den Punkt N, damit ergibt sich der Schnittpunkt I1 auf dem Hilfskreis durch D.
  32. Zeichne ab dem Punkt I1 eine gerade Linie durch den Punkt L, damit ergibt sich der Schnittpunkt J1 auf dem Hilfskreis durch D.
  33. Verbinde den Punkt J1 mit dem Mittelpunkt M, somit ergibt sich auf dem Umkreis der Schnittpunkt E2 als zweiter Eckpunkt des entstehenden Dreizehnecks.
  34. Trage auf den Umkreis ab dem Eckpunkt E2 die Strecke E1E2, sie entspricht der Seitenlänge a des Dreizehnecks, elfmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.
  • Somit ergibt sich:
Eine Näherung des regelmäßigen Dreizehnecks E1 bis E13.

Ergebnis[Bearbeiten]

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

  • Konstruierte Seitenlänge des Dreizehnecks in GeoGebra (Anzeige max. 15 Nachkommastellen)
  • Seitenlänge des Dreizehnecks
  • Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge:
Bis zu den max. angezeigten 15 Nachkommastellen ist der absolute Fehler
  • Konstruierter Zentriwinkel des Dreizehnecks in GeoGebra (Anzeige max. 14 Nachkommastellen)
  • Zentriwinkel des Dreizehnecks
  • Absoluter Winkelfehler vom konstruierten Zentriwinkel:
Bis zu den max. angezeigten 14 Nachkommastellen ist der absoluter Fehler

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen[Bearbeiten]

Bei einem Umkreisradius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min), wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge < 1 mm.

Weblinks[Bearbeiten]

 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

 Konstruierbares Polygon

 Tomahawk (Geometrische Form)

 Dreizehneck

Commons-logo.svg Dreizehneck, Näherungskonstruktion als Animation