Dreizehneck

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Seitentitel: Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Dreizehneck
(Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Dreizehneck)

Dreizehneck (Tridecagon)[Bearbeiten]

  • Das regelmäßige Dreizehneck ist nicht als (exakte) Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar.

Konstruktion[Bearbeiten]

Exakte Konstruktion bei gegebenem Umkreis mit Hilfsmittel[Bearbeiten]

Die folgende Darstellung ist eine Weiterführung der Konstruktionskizze nach Andrew Mattei Gleason aus dem Jahr 1988, mit dem Hilfsmittel Tomahawk zur Dreiteilung eines Winkels (siehe Weblinks).

Animation der Konstruktionsskizze
Dreizehneck, Konstruktionsskizze mit Tomahawk (hellblau)

Für das Dreizehneck beginnt man im Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems mit einem Kreis um Punkt mit Radius . Es folgt die Festlegung des Punktes . Um den Punkt zu erhalten, werden zunächst die Zahlenwerte , als zwölfter Teil von , sowie bestimmt, die Strecke halbiert und um deren Mittelpunkt der Thaleskreis gezogen. Die danach errichtete Senkrechte auf ab schneidet den Thaleskreis in . Die Verbindung des Punktes mit ergibt für das Eintragen des Punktes . Im Anschluss die Zahlenwerte und auf ermitteln sowie die Punkte und einzeichnen.

Zum Finden der Punkte und wird zuerst der Zahlenwert auf festgelegt und eine Senkrechte durch die errichtet. Zieht man nun einen Kreisbogen um durch , schneidet er die Senkrechte in und . Nach dem Verbinden der Punkte und mit sowie dem Ziehen eines Kreises um durch , wird der Winkel mit einer frei wählbaren Methode gedrittelt. Hier z. B. geschieht dies mithilfe eines sogenannten Tomahawks, dabei ergeben sich die Punkte und . Eine Gerade durch und ergibt und , die Eckpunkte eines regelmäßigen Dreizehnecks sind. Die übrigen Eckpunkte können durch Verwendung des Kreisbogens nacheinander gefunden werden.

Näherungskonstruktion bei gegebenem Umkreis[Bearbeiten]

01-Dreizehneck-3.svg
  1. Es sei ein Kreis um mit beliebigem Radius .
  2. Gerade durch und ergibt Schnittpunkt .
  3. Gerade senkrecht zu durch ergibt Schnittpunkte und .
  4. Strecken eintragen.
  5. Kreis um durch ergibt Schnittpunkte und .
  6. Strecke , Kreis um durch .
  7. Bestimmen der Funktionspunkte:
Es beginnt mit Punkt , dessen Abstand zu Punkt ist gleich der Strecke . In der Darstellung beschrieben als . Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von als bis als (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.
  1. Einzeichnen der Kreissekanten:
Es beginnt mit der Sekante ab durch bis sie die äußere Kreislinie in schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt durch bis sie wieder die äußere Kreislinie in schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von bis (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.
  1. Die Verbindung von mit schneidet den innersten Kreis in , als zweiten Eckpunkt des entstehenden Dreizehnecks.
  2. Trage auf den Umkreis ab dem Eckpunkt die Strecke , sie entspricht der Seitenlänge des Dreizehnecks, elfmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.
  • Somit ergibt sich:
Eine Näherung des regelmäßigen Dreizehnecks E1 bis E13.

Ergebnis[Bearbeiten]

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

  • Konstruierte Seitenlänge des Dreizehnecks in GeoGebra (Anzeige max. 15 Nachkommastellen)
  • Seitenlänge des Dreizehnecks
  • Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge:
Bis zu den max. angezeigten 15 Nachkommastellen ist der absolute Fehler
  • Konstruierter Zentriwinkel des Dreizehnecks in GeoGebra (Anzeige max. 14 Nachkommastellen)
  • Zentriwinkel des Dreizehnecks
  • Absoluter Winkelfehler vom konstruierten Zentriwinkel:
Bis zu den max. angezeigten 14 Nachkommastellen ist der absoluter Fehler

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen[Bearbeiten]

Bei einem Umkreisradius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min), wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge < 1 mm.

Weblinks[Bearbeiten]

 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

 Konstruierbares Polygon

 Tomahawk (Geometrische Form)

 Dreizehneck