Siebeneck

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(Mathematik: Schulmathematik: Planimetrie: Polygonkonstruktionen: Siebeneck)

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Siebeneck-Approximation-1-wiki-2.svg

Siebeneck (Heptagon)[Bearbeiten]

Näherungskonstruktion (!) für das regelmäßige Siebeneck, auch mit Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung darstellbar.

Die gepunkteten Linien mit den daraufliegenden Punkten, dienen als Hilfe für die Berechnung der Seite des Siebenecks.

01-Siebeneck-Approximation-1

Konstruktion[Bearbeiten]

  1. Zeichne um einen Punkt M einen Kreis - den späteren Umkreis des Siebenecks - mit Radius r.
  2. Zeichne zwei zueinander senkrechte Geraden durch den Mittelpunkt. Einer der Schnittpunkte mit dem Kreis ist die erste Ecke A des Siebenecks.
  3. Teile die Strecke AM in drei Teile, es ergeben sich die Punkte J und K
  4. Zeichne einen Halbkreis um den Mittelpunkt M mit Radius MJ, er schneidet die Strecke MH im Punkt L.
  5. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt A mit Radius r ab Punkt M, er schneidet den Halbkreis im Punkt N.
  6. Zeichne eine Gerade ab Punkt L durch Punkt N etwas über den Umkreis hinaus.
  7. Errichte eine Senkrechte zur Gerade, die durch Punkt N geht, ab Punkt A bis sie den Umkreis im Punkt O schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt P.
  8. Errichte eine Senkrechte zur Strecke AM im Punkt J bis sie die Strecke AO im Punkt Q schneidet.
  9. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt H mit Radius r, es ergibt sich der Schnittpunkt R auf dem Umkreis.
  10. Errichte eine Senkrechte zur Strecke MH durch Punkt R, sie halbiert die Strecke MH im Punkt S.
  11. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt R mit Radius OQ.
  12. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt S mit Radius r bis er den Kreisbogen um Punkt R schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt T
  13. Zeichne eine Gerade ab Punkt T durch Punkt Q bis zur Gerade, die durch Punkt N geht, es ergibt sich der Schnittpunkt U
  14. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt A mit Radius AU ab Punkt U, er schneidet den Umkreis im Punkt B.
  15. Verbinde den Punkt A mit Punkt B, die rote Strecke AB ist die gesuchte Seite des Siebenecks.
  16. Trage die Strecke AB, ab Punkt B, fünfmal mit dem Zirkel auf dem Umkreis ab.
  17. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, somit ergibt sich das Siebeneck ABCDEFG

Fehler[Bearbeiten]

Bei einem Umkreis mit Radius r = 1:

  • Konstruierte Siebeneckseite s = 0,867767268512597... [LE]
  • Soll-Siebeneckseite = ss = 2 • sin(180°/7) = 0,867767478235116... [LE]
  • Absoluter Fehler = sss = -0,000000209722519... = -2,097...E-7 [LE]

Bei einem Umkreis mit Radius r = 10 km wäre die Abweichung der konstruierten Seite ≈ -2,1 mm

Berechnung[Bearbeiten]

Gleichschenkliges Dreieck AMN[Bearbeiten]

1.0
Gegeben:  ;  ;
 
1.1   Mit dem Kosinussatz ergibt sich:
 
   
 
   
1.2 Höhe zur Seite
   
 
1.3    

Rechtwinkeliges Dreieck LJN[Bearbeiten]

2.0
Gegeben:
  • (aus 1.3)
  • (aus 1.2)
2.1
2.2 Hypotenuse
Winkel ergibt sich aus
2.3
2.4

Rechtwinkeliges Dreieck LAP[Bearbeiten]

3.0
Gegeben:
  • ähnlich zu (aus 2.0)
  • (aus 2.2)
  • (aus 2.4)
3.1
3.2
3.3
oder:
 
3.3

Rechtwinkeliges Dreieck JAQ[Bearbeiten]

4.0

Gegeben:
  • (aus 3.3)
4.1
4.2.

Gleichseitiges Dreieck HMR[Bearbeiten]

5.0
Gegeben:
5.2 Höhe:

Rechtwinkeliges Dreieck HAO[Bearbeiten]

6.0
Gegeben:
  • ähnlich (aus 2.0) also
  • (aus 4.2)
  •  ;  ; (aus 2.4)

6.1

6.2

Stumpfwinkeliges Dreieck RST[Bearbeiten]

7.0
Gegeben:
  • (aus 6.2)
  • (aus 5.2)

7.1 Nach dem Kosinussatz gilt:

7.2 Berechnung und

(Berechnung indirekt, um den arithm. Ausdruck zu erhalten)
Mit dem Additionstheorem:
ergibt sich:

7.3 Höhe von zur Seite

Rechtwinkeliges Dreieck TWR[Bearbeiten]

8.0
Gegeben:
  • (aus 6.2)
  • (aus 7.3)

8.1

Rechtwinkeliges Dreieck QXT[Bearbeiten]

9.0

Gegeben:
  • (aus 7.3)
  • (aus Zeichnung)
9.1
9.2
mit
  • (aus 5.2)
  • (aus 8.1)
  • (aus 4.1)
ergibt sich:

9.3 Berechnung

  mit  

Rechtwinkeliges Dreieck QPU[Bearbeiten]

10.0

Gegeben:
  • (aus 4.2)
  • (aus 3.2)
  • (aus 3.1)
  • (aus 9.3)

10.1

10.2 Berechnung

Mit dem Additionstheorem
ergibt sich:
  mit  
  mit  
10.3
  mit  

Rechtwinkeliges Dreieck APU[Bearbeiten]

11.0

Gegeben:
  • (aus 3.2)
  • (aus 10.3)
11.1

Die Länge der Siebeneckseite entspricht AU und beträgt:

Vereinfacht:
  mit  

Weblinks[Bearbeiten]

Commons-logo.svg Siebeneck, Näherungskonstruktion