Vierzehneck

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Seitentitel: Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Vierzehneck
(Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Vierzehneck)

Vierzehneck (Tetradecagon)[Bearbeiten]

  • Das regelmäßige Vierzehneck ist nicht als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar.

Konstruktion[Bearbeiten]

Exakte Konstruktion bei gegebenem Umkreis mit Hilfsmittel[Bearbeiten]

Die folgende Darstellung ist eine Weiterführung der Konstruktionskizze (Abbildung) des Siebenecks (Heptagon) nach Andrew Mattei Gleason aus dem Jahr 1988, mit dem Hilfsmittel "Tomahawk" zur Dreiteilung eines Winkels (siehe Weblinks).

Animation der Konstruktionsskizze
Vierzehneck, Konstruktionsskizze mit Tomahawk (hellblau)

Es beginnt im Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems im Punkt mit einem Kreis mit Radius Es folgt die Festlegung der Punkte und . Anschließend werden die Punkte und bestimmt, sie sind Eckpunkte zweier gleichseitiger Dreiecke mit Basis . Nach dem Verbinden der Punkte und mit in der Original-Zeichnung aus der Zeitschrift The American Mathematical Monthly, siehe Einzelnachweise, ist dieser Punkt zwischen und , wird um ein Kreisbogen von bis gezogen. Nun drittelt man den Winkel mit einer freiwählbaren Methode (z. B. Kurven, Tomahawk etc.), dabei ergeben sich die Punkte und . Eine Gerade durch und ergibt und , die zusammen mit Eckpunkte eines regelmäßigen Siebenecks sind.

Nun bedarf es noch einer Halbierung des Zentriwinkels des Siebenecks und man erhält so den zweiten Eckpunkt des gesuchten Vierzehnecks. Die übrigen Eckpunkte können durch Verwendung des Kreisbogens nacheinander gefunden werden.

Näherungskonstruktion bei gegebenem Umkreis[Bearbeiten]

01-Vierzehneck.svg
  1. Bestimme die Lage des Mittelpunktes M
  2. Zeichne einen Kreis, den Umkreis des späteren Vierzehnecks, um den Mittelpunkt M mit einem beliebigen Radius.
  3. Zeichne zwei zueinander senkrecht stehende Mittelachsen, damit ergeben sich auf dem Umkreis die Punkte A, E1 bzw. B und C.
  4. Konstruiere auf der Mittelachse AE1 außerhalb des Kreises die Strecke AD, sie ist ein Zehntel der Strecke AM.
  5. Trage die Strecke AD ab dem Punkt A viermal auf die Mittelachse AE1 ab, damit ergeben sich die Punkte F, G, H und I.
  6. Zeichne den Hilfskreis mit dem Radius MD um den Punkt M, er wird im Folgenden Hilfskreis durch D genannt.
  7. Halbiere die Strecke AD, damit ergibt sich der Punkt J.
  8. Zeichne den Hilfskreis mit dem Radius MJ um den Punkt M; dieser Hilfskreis wird im Folgenden Hilfskreis durch J genannt.
  9. Halbiere die Strecke AF, damit ergibt sich der Punkt K.
  10. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt L mit einem Abstand |BL|, der gleich lang ist wie die Strecke MH.
  11. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt N mit einem Abstand |CN|, der gleich lang ist wie die Strecke AG.
  12. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt O mit einem Abstand |BO|, der gleich lang ist wie die Strecke AH.
  13. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt P mit einem Abstand |E1P|, der gleich lang ist wie die Strecke IK.
  14. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt Q mit einem Abstand |DQ|, der gleich lang ist wie die Strecke DF.
  15. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt R mit einem Abstand |BR|, der gleich lang ist wie die Strecke MK.
  16. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt S mit einem Abstand |CS|, der gleich lang ist wie die Strecke AG.
  17. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt T mit einem Abstand |DT|, der gleich lang ist wie die Strecke MF.
  18. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt U mit einem Abstand |E1U|, der gleich lang ist wie die Strecke AG.
  19. Bestimme auf dem Hilfskreis durch J den Punkt V mit einem Abstand |CV|, der gleich lang ist wie die Strecke MK.
  20. Zeichne ab dem Punkt V eine gerade Linie durch den Punkt U, damit ergibt sich der Schnittpunkt W auf dem Hilfskreis durch D.
  21. Zeichne ab dem Punkt W eine gerade Linie durch den Punkt T, damit ergibt sich der Schnittpunkt Z auf dem Hilfskreis durch D.
  22. Zeichne ab dem Punkt Z eine gerade Linie durch den Punkt S, damit ergibt sich der Schnittpunkt A1 auf dem Hilfskreis durch D.
  23. Zeichne ab dem Punkt A1 eine gerade Linie durch den Punkt R, damit ergibt sich der Schnittpunkt B1 auf dem Hilfskreis durch D.
  24. Zeichne ab dem Punkt B1 eine gerade Linie durch den Punkt Q, damit ergibt sich der Schnittpunkt C1 auf dem Hilfskreis durch D.
    01-Vierzehneck.svg
  25. Zeichne ab dem Punkt C1 eine gerade Linie durch den Punkt P, damit ergibt sich der Schnittpunkt D1 auf dem Hilfskreis durch D.
  26. Zeichne ab dem Punkt D1 eine gerade Linie durch den Punkt O, damit ergibt sich der Schnittpunkt F1 auf dem Hilfskreis durch D.
  27. Zeichne ab dem Punkt F1 eine gerade Linie durch den Punkt N, damit ergibt sich der Schnittpunkt G1 auf dem Hilfskreis durch D.
  28. Zeichne ab dem Punkt G1 eine gerade Linie durch den Punkt L, damit ergibt sich der Schnittpunkt H1 auf dem Hilfskreis durch D.
  29. Verbinde den Punkt H1 mit M, somit ergibt sich auf dem Umkreis der Eckpunkt E3 des entstehenden Vierzehnecks; die Strecke E1E3 ist die angenäherte Seitenlänge eines regelmäßigen Siebenecks.
  30. Halbiere den Winkel E1ME3, es ergibt sich auf dem Umkreis der Eckpunkt E2 des Vierzehnecks.
  31. Verbinde den Eckpunkt E2 mit E1, somit ergibt sich die angenäherte Seitenlänge a des regelmäßigen Vierzehnecks.
  32. Trage auf den Umkreis ab dem Eckpunkt E2 die Seitenlänge a elfmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.
  • Somit ergibt sich:
Eine Näherung des regelmäßigen Vierzehnecks E1 bis E14.

Ergebnis[Bearbeiten]

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

  • Konstruierte Seitenlänge des Vierzehnecks in GeoGebra (Anzeige max. 15 Nachkommastellen)
  • Seitenlänge des Siebenecks
  • Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge
Bis zu den max. angezeigten 15 Nachkommastellen ist der absolute Fehler
  • Konstruierter Zentriwinkel des Siebenecks in GeoGebra (Anzeige signifikante 13 Nachkommastellen)
  • Zentriwinkel des Siebenecks
  • Absoluter Fehler des konstruierten Zentriwinkels
Bis zu den angezeigten signifikanten 13 Nachkommastellen ist der absoluter Fehler

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen[Bearbeiten]

Bei einem Umkreisradius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min), wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge < 1 mm.

Weblinks[Bearbeiten]

Gleason, Andrew Mattei (March 1988). "Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon p. 185–187 (p. 193 Fig.4)" Archivdatei abgerufen am 04. 04. 2016

 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

 Konstruierbares Polygon

 Tomahawk (Geometrische Form)

GeoGebra