Mathematik: Schulmathematik: Stereometrie

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Was ist Stereometrie[Bearbeiten]

Stereometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie und damit der Mathematik. Es befasst sich - im Gegensatz zur ebenen Geometrie (Planimetrie) - mit geometrischen Gebilden im Raum. Statt Stereometrie sagt man auch Raumgeometrie oder räumliche Geometrie.

Die Kugel[Bearbeiten]

Einleitung[Bearbeiten]

Das Ziel dieses Abschnittes ist es die Formeln für das Volumen und die Oberfläche der Kugel zu erläutern und eine Möglichkeit der Herleitung aufzuzeigen. Es gibt noch andere Möglichekiten diese Formeln herzuleiten, mit dem hier benutzten Satz des Cavalieri ist es aber am einfachsten und man kann es auch mit relativ wenig Vorwissen verstehen.

Was ist eine Kugel?[Bearbeiten]

Abbildung 1: Rotationskörper
  • Eine Kugel ist die Menge aller Punkte, die einen bestimmten Abstand vom Mittelpunkt haben.
  • Außerdem bezeichnet man eine Kugel auch als Rotationskörper. Ein Rotationskörper entsteht, wenn man eine Zweidimensionale Figur nimmt und diese um eine Achse rotieren lässt. (siehe Abb. 1)

Ein Würfel, ein Zylinder mit dem Radius 5 cm und eine Kugel haben jeweils ein Volumen 125 cm³. Welcher Körper hat die kleinste Oberfläche?

Das Volumen[Bearbeiten]

Die Berechnung des Volumens, also den Inhalt einer Kugel, kann man anhand des Satzes von Cavalieri beweisen.


Satz des Cavalieri[Bearbeiten]

Um die Formel für die Kugel herleiten zu können muss man zunächst den Satz des Cavalieri verstehen und anwenden können. Der Satz lautet:

„Zwei Körper sind inhaltsgleich, wenn sie, mit gleich großen Grundflächen und gleicher 
Höhe auf ein und dieselbe Ebene gestellt, von jeder Parallelebene in inhaltsgleiche Flächen geschnitten werden.“

Anhand dieses Satzes kann man jetzt zwei Körper gegenüberstellen. Bei einem kennt man die Formel für die Berechnung des Volumens, das Volumen des anders kann man noch nicht berechnen. In unserem Fall ist das ein Zylinder der von einem umgedrehten Kegel geschnitten wird und eine Halbkugel.

Abbildung 2: Gegenüberstellung eines von einem Kegel geschnittenen Zylinder und einer Halbkugel

Dass

  • die Grundflächen gleich sind,
  • sie die gleiche höhe Besitzen und
  • auf der selben Ebene stehen

kann man anhand von Abb. 2 sehen. Dass bei einem Schnitt gleiche Flächen enstehen ist anhand der folgenden Gleichung beweisbar.