Mathematik: Topologie: Konvergenz

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Filter und Konvergenz[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt geht es darum, im allgemeinen topologischen Rahmen Folgen, Grenzwerte und Häufungspunkte zu definieren. Diese Definitionen, bzw. die Schlussfolgerungen daraus, können wir dann mit den bekannten Sätzen aus der Analysis vergleichen. Dabei können wir überprüfen, ob die bisherigen Definitionen und Sätze der Topologie "vernünftig" sind. Das heißt, ob sie auch dieselben Ergebnisse wie die Analysis liefern.

Definition: Konvergenz
Sei eine Folge von Punkten in einem topologischen Raum . Die Folge heißt konvergent gegen den Punkt , wenn es zu jeder Umgebung von ein gibt, so daß ab diesem alle Folgenglieder in der Umgebung liegen, also für alle . Der Punkt heißt Grenzwert der Folge .
Definition: Häufungspunkt
Sei eine Folge von Punkten in einem topologischen Raum . Der Punkt heißt Häufungspunkt der Folge, wenn in jeder Umgebung von unendlich viele Folgenglieder liegen, also für unendlich viele .

Anhand der Konvergenz definiert man in der Analysis die Stetigkeit. Man kann nun fragen, ob man auch die Stetigkeit von Abbildungen topologischer Räume durch konvergente Folgen charakterisieren kann. Es gilt zumindest folgender Zusammenhang.

Satz: Seien topologische Räume und eine in stetige Abbildung. Für jede Folge , die gegen konvergiert, konvergiert die Folge gegen .

Beweis: Sei eine Umgebung von . Wegen der Stetigkeit von ist dann eine Umgebung von . Sei nun eine Folge, die gegen konvergiert. Dann existiert eine Zahl , so daß und damit auch für alle gilt. Das bedeutet aber die Konvergenz von gegen .

Seien wie oben, und eine Abbildung. Nehmen wir nun an, daß für jede gegen konvergente Folge die Folge gegen konvergiert. Wir wollen dann die Stetigkeit von in beweisen. Sei dazu eine Umgebung von . Gesucht ist nun eine Umgebung von , die ganz in abgebildet wird, also . Im beweist man die Existenz einer solchen Umgebung per Widerspruch. Man nimmt zunächst an, daß keine solche Umgebung existiert. In jeder Umgebung von gibt es dann einen Punkt mit . Nun macht man sich zunutze, daß jede Umgebung von eine offene Kugel um mit Radius enthält, wenn genügend groß ist. Durch diese Tatsache ist sichergestellt, daß eine Folge von Punkten mit für alle gegen konvergiert. Nach unserer Annahme kann man nun aus jeder offenen Kugel ein so wählen, daß ist. Dann konvergiert die Folge gegen , aber die Folge konvergiert im Widerspruch zur Voraussetzung nicht gegen .

Dieses Vorgehen kann man ohne große Änderung auf topologische Räume übertragen, die das 1. Abzählbarkeitsaxiom erfüllen. Dann gibt es nämlich abzählbar viele Umgebungen von , so daß jede beliebige Umgebung von mindestens eine der Umgebungen enthält. Da die Umgebungen nicht notwendig ineinanderliegen wie die offenen Kugeln um , betrachtet man nicht direkt die einzelnen Umgebungen , sondern endliche Durchschnitte der . Aus jeder der Mengen usw. und allgemein wählt man nun ein mit . Dann konvergiert wieder die Folge gegen , aber die Folge konvergiert nicht gegen .


Aus diesen Überlegungen folgt sofort der folgende

Satz: Seien topologische Räume, eine Abbildung und erfülle das 1. Abzählbarkeitsaxiom. Sei weiter , und für jede gegen konvergente Folge konvergiere die Folge gegen . Dann ist stetig in .


Auf allgemeine topologische Räume läßt sich das obige Argument aber nicht übertragen, denn ohne eine abzählbare Umgebungsbasis sind die Folgen gewissermaßen zu kurz. Es ist aber nicht nur dieses Argument, das in allgemeinen Räumen nicht funktioniert, sondern es gibt auch echte Gegenbeispiele. Dazu sei die Menge aller Abbildungen vom Intervall reeller Zahlen in das Intervall . Die Abbildungen brauchen nicht stetig zu sein.

SpaceOfFunctionsOnStandardInterval.svg

Für jede reelle Zahl hat man eine Projektion . Die Topologie auf der Menge sei nun die Initialtopologie bezüglich dieser Projektionen . Eine Subbasis dieser Topologie ist gegeben durch die Mengen der Form offen in . In anderer Schreibweise sind das die Mengen offen. Die endlichen Durchschnitte solcher Mengen bilden eine Basis der Topologie. Diese Durchschnitte sind Mengen von Abbildungen, die in den endlich vielen Punkten einen Wert in den zugehörigen offenen Mengen annehmen.


Sei nun die Menge definiert als an endlich vielen und 0 sonst . Sei weiter definiert durch für alle . In jeder Umgebung von gibt es eine offene Menge aus der Basis der Topologie mit . läßt sich aber schreiben als für geeignete , und wegen gilt auch für alle Abbildungen mit für . Definiere nun eine Funktion durch und sonst. Dann ist und . Folglich ist und das bedeutet .


Sei jetzt mit der Unterraumtopologie und eine Funktion mit und für . Dann ist nicht stetig in . Wegen ist für jede Umgebung von , es gibt also ein mit . Betrachtet man z.B. die offene Umgebung von , so kann es keine Umgebung von geben, die ganz in abgebildet wird.

Sei andererseits eine Folge in , die gegen konvergiert. Betrachte die Menge aller Zahlen , für die es mindestens ein Folgenglied gibt mit . Da jede Abbildung nur an endlich vielen Stellen den Wert 1 hat, und da die Folge abzählbar groß ist, ist auch die Menge nur abzählbar groß. Daher ist . Sei . Nach Definition von ist dann für alle . Wähle die offene Umgebung von . Dann ist für alle . enthält also kein einziges der Folgenglieder, und das bedeutet, daß nicht gegen konvergiert. Es kann also keine gegen konvergente Folge in geben. Betrachtet man nun Folgen in , so können diese nur dann gegen konvergieren, wenn sie ab einem bestimmten gleich sind, also für .

Zusammengefaßt haben wir eine Funktion , die in nicht stetig ist, aber für jede gegen konvergente Folge in konvergiert wegen für genügend große gegen .

Aus der Konvergenz von Folgen und deren Funktionswerten läßt sich also im Allgemeinen nicht auf die Stetigkeit schließen.


Es gibt eine ähnliche Situation bei der Charakterisierung des Abschlusses einer Teilmenge eines topologischen Raumes . Im reellen Raum kann man zeigen, daß ein Punkt genau dann im Abschluß einer Menge liegt, wenn es in der Menge eine Folge gibt, die gegen konvergiert. Eine Richtung funktioniert auch im allgemeinen Rahmen, denn es gilt der folgende

Satz: Ist eine Teilmenge des topologischen Raumes und ist eine Folge in , die gegen den Punkt konvergiert, dann ist .

Beweis: Sei eine Umgebung von . Wegen der Konvergenz der Folge gibt es ein mit für alle . Nach Voraussetzung ist für alle . Das heißt aber und das bedeutet .


Die andere Richtung funktioniert im Allgemeinen nicht, wie das letzte Beispiel zeigt. Dort gab es den Punkt im Abschluß der Menge A, aber keine gegen konvergente Folge.

Allerdings kann man die andere Richtung des Satzes für Räume zeigen, die das 1. Abzählbarkeitsaxiom erfüllen.

Satz: Sei ein topologischer Raum, der das 1. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, eine Teilmenge von und . Dann gibt es eine Folge in , die gegen konvergiert.

Beweis: Sei eine abzählbare Umgebungsbasis von . Wegen ist für alle . Wähle nun für jedes ein . Dann ist die Folge in . Sei nun eine Umgebung von . Da die eine Umgebungsbasis bilden, gibt es ein mit . Für jedes gilt dann , und das bedeutet die Konvergenz der Folge gegen .


Für die Verallgemeinerung der Sätze braucht man ein allgemeineres Konzept der Konvergenz. Im Folgenden sollen zwei solcher Konzepte vorgestellt werden. Das erste ist das Konzept des Netzes, das man auch Moore-Smith Folge nennt.

Definition: gerichtete Menge
Eine Menge zusammen mit einer Relation heißt gerichtet, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
  1. es gilt für alle (Reflexivität)
  2. wenn und gilt, dann ist auch (Transitivität)
  3. zu je zwei Elementen gibt es ein Element mit und .

Beispiele

  • Die Menge der natürlichen Zahlen mit der üblichen Ordnung ist gerichtet.
  • Die reellen Zahlen mit der üblichen Ordnung sind ebenfalls gerichtet.
Definition: Netz
Sei eine beliebige Menge. Ein Netz in ist eine Abbildung von einer gerichteten Menge in die Menge .

Die Abbildung aus der vorstehenden Definition ist eine Vorschrift, die jedem Element einen Wert zuordnet. Man kann daher die gerichtete Menge als Indexmenge auffassen und schreibt für das Netz auch . Aus dieser Schreibweise wird auch ersichtlich, warum wir den gerichteten Mengen den Namen gegeben haben. Der Begriff Folge aus der Bezeichnung Moore-Smith Folge ist ebenfalls leichter ersichtlich.

Nimmt man die natürlichen Zahlen als gerichtete Menge, so ist ein Netz , oder in gewohnter Schreibweise , nichts anderes als eine Folge in .

Sei nun ein topologischer Raum, und die Menge aller Umgebungen von . Sei die Relation gegeben durch , wenn gilt. Dann ist eine gerichtete Menge. Wählt man für jede Umgebung von einen Punkt aus, so bildet die Familie ein Netz, das gegen konvergiert.

Was noch fehlt, ist der Begriff der Konvergenz für die soeben eingeführten Netze.

Definition: konvergentes Netz
Sei ein topologischer Raum und ein Netz in . Das Netz heißt konvergent gegen den Punkt , wenn es für jede Umgebung von ein gibt, so daß für alle mit .


Kommen wir nun zu der allgemeinen Version der obigen Sätze.

Satz: Seien topologische Räume, und eine Abbildung. ist genau dann stetig in , wenn für jedes gegen konvergente Netz das Netz gegen konvergiert.

Beweis: Sei zunächst stetig in . Sei weiter eine Umgebung von . Wegen der Stetigkeit ist eine Umgebung von . Ist nun ein gegen konvergentes Netz, so gibt es ein mit für . Dann ist aber für alle , und das ist die Konvergenz von gegen .

Konvergiere jetzt gegen für jedes gegen konvergente Netz . Angenommen, ist nicht stetig in . Dann gibt es eine Umgebung von , deren Urbild keine Umgebung von ist. In jeder Umgebung von gibt also mindestens ein , so daß . Nach obiger Bemerkung ist durch die ein Netz gegeben, das gegen konvergiert. Nach Wahl der konvergiert das Netz aber nicht gegen im Widerspruch zur Voraussetzung. muß also stetig in sein.


Satz: Sei eine Teilmenge eines topologischen Raumes . Ein Punkt ist genau dann im Abschluß von , wenn es ein Netz in gibt, das gegen konvergiert.

Beweis: Sei zunächst ein Netz in , das gegen konvergiert. Dann ist einerseits für alle , und andererseits gibt es wegen der Konvergenz in jeder Umgebung von mindestens ein . Also ist , und daraus folgt .

Sei nun . Für jede Umgebung von ist dann . Man kann also für jede Umgebung ein wählen mit . Damit hat man ein Netz in , das gegen konvergiert.


Nach den Netzen soll jetzt wie versprochen das zweite Konzept vorgestellt werden, mit dem die Konvergenz von Folgen verallgemeinert werden kann.

Definition: Filter
Sei eine Menge. Eine Menge von Teilmengen von heißt Filter, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
  1. ,
  2. wenn und gilt, dann ist auch
  3. ist und , dann ist auch

Der Filter heißt frei, wenn ist, und fixiert, wenn .

Beispiele

  • Ist ein topologischer Raum und , dann ist die Menge aller Umgebungen von ein Filter. heißt auch Umgebungsfilter von .
  • Ist eine Menge und eine nicht leere Teilmenge von , Dann ist die Menge aller Obermengen von ein Filter.


Definition: Filterbasis
Sei eine Menge und ein Filter auf . Eine Teilmenge heißt Filterbasis, oder auch einfach nur Basis, von , wenn für jede Filtermenge eine Menge existiert mit .

Beispiele

  • Ist eine Menge von Teilmengen von , so daß , und mit der Eigenschaft, daß es zu je zwei Mengen eine Menge gibt mit , dann ist eine Filterbasis. Der von erzeugte Filter ist gegeben durch . Der Filter besteht also aus allen Obermengen der Mengen aus .
  • Durch wird eine Filterbasis definiert. Der dadurch erzeugte Filter heißt Fréchet-Filter auf .
  • Ist ein topologischer Raum und eine Folge in , so bilden die Endstücke der Folge, also die Mengen eine Filterbasis.


Definition: konvergenter Filter
Sei ein topologischer Raum und ein Filter auf . Der Filter heißt konvergent gegen den Punkt , wenn feiner ist als der Umgebungsfilter von . Der Punkt heißt dann Limespunkt des Filters. Ein Punkt heißt Berührungspunkt des Filters, wenn es für jede Umgebung von eine Filtermenge gibt mit .

Wenn wir Abbildungen anhand von Filtern untersuchen wollen, müssen wir zunächst noch überlegen, was denn eine Abbildung mit einem Filter anstellt. Seien dazu topologische Räume und eine Abbildung, die nicht stetig zu sein braucht. Weiter sei ein Filter auf . Betrachten wir jetzt das System aller Mengen , , im Hinblick auf die Filtereigenschaften.

  1. , also ist auch
  2. Seien . Dann gibt es zwei Filtermengen mit und . Da ein Filter ist, ist und . Nun ist . Ebenso ist , woraus folgt, aber leider gilt die Gleichheit nicht.

Das System bildet daher zwar keinen Filter, aber für eine Filterbasis reicht die Teilmengenbeziehung in Punkt 2 aus.

Wir kommen damit zu folgender

Definition: Bild eines Filters
Seien topologische Räume, eine Abbildung und ein Filter auf . Das Bild von unter ist der Filter , der von der Basis erzeugt wird.


Mithilfe der Konvergenz von Filtern können wir nun ebenfalls die Sätze über die Stetigkeit und den Abschluß einer Menge verallgemeinern.


Satz: Seien topologische Räume, eine Abbildung und . ist genau dann stetig in , wenn für jeden gegen konvergenten Filter auf der Bildfilter gegen konvergiert.

Beweis: Sei zunächst stetig in , und sei weiter ein gegen konvergenter Filter. Sei eine Umgebung von . Wegen der Stetigkeit ist eine Umgebung von . Da gegen konvergiert, ist feiner als der Umgebungsfilter von . Das bedeutet aber, daß eine Filtermenge ist. Nun ist . Wegen ist dann auch . Die Umgebungen von sind also Filtermengen von . Das bedeutet, daß feiner als der Umgebungsfilter von ist und daher gegen konvergiert.

Konvergiere nun andererseits der Bildfilter eines jeden gegen konvergenten Filters gegen . Betrachte jetzt den Umgebungsfilter von , der offensichtlich gegen konvergiert. Nach Voraussetzung konvergiert dann das Bild des Umgebungsfilters gegen , das heißt, daß für jede Umgebung von gilt. Nun ist die Menge eine Basis von . Für jede Umgebung von gibt es daher eine Basismenge . Das ist aber gerade die Stetigkeit von in .


Satz: Sei ein topologischer Raum, und eine Teilmenge von . Dann ist genau dann, wenn es einen gegen konvergenten Filter auf gibt mit .

Beweis: Sei zunächst . Dann ist für jede Umgebung von . Weiter gibt es zu je zwei Umgebungen und eine Umgebung mit . Daraus folgt . Die Mengen der Form , wobei eine Umgebung von ist, bilden also eine Filterbasis. Sei der von dieser Basis erzeugte Filter. Da für jede Umgebung gilt, ist feiner als der Umgebungsfilter von , und das heißt, daß gegen konvergiert. Ebenso ist für jede Umgebung und daraus folgt .

Sei jetzt ein Filter mit , der gegen konvergiert. Wegen der Konvergenz gehört jede Umgebung von und damit auch zu . Wegen ist dann für jede Umgebung von , und das bedeutet .


Definition: Vergleich von Filtern
Sei eine Menge und seien zwei Filter auf . Gehört jede Menge aus auch zu , ist also , so heißt gröber als und feiner als . Ist , so heißt echt gröber als , und echt feiner als . Ein Filter heißt Ultrafilter, wenn es keinen echt feineren Filter auf gibt.


Satz: Sei ein topologischer Raum und ein Filter auf . Dann gibt es einen Ultrafilter mit .

Beweis: Sei die Menge der Filter auf , die feiner als sind. Dann ist zusammen mit der Teilmengenrelation eine partiell geordnete Menge. Sei nun eine linear geordnete Teilmenge von . Dann definiere den Filter als Vereinigung aller Filter aus . Zunächst ist ist ein Filter, denn

  1. die leere Menge ist in keinem der Filter , also auch nicht in der Vereinigung .
  2. Seien . Da linear geordnet ist, ist entweder oder . Nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, daß ist. Dann ist auch und es folgt .
  3. Ist , so gibt es ein mit . Ist nun eine Obermenge , also , so ist , weil ein Filter ist. Dann ist aber auch in der Vereinigung .

Nach Definition von gilt weiter für alle , ist also eine obere Schranke von bezüglich der Relation .

Damit haben wir gezeigt, daß jede linear geordnete Teilmenge von eine obere Schranke hat. Nach dem Zorn'schen Lemma gibt es nun ein maximales Element in . Dieses maximale Element ist der gesuchte Ultrafilter. ( ist ein Filter wegen , und da maximal ist, gibt es keinen feineren Filter.)


Satz: Sei ein topologischer Raum und ein Ultrafilter auf . Für jede Teilmenge von gilt dann oder .

Beweis: Sei eine Teilmenge von . Angenommen, es gibt eine Filtermenge mit . Dann folgt und damit . Sei also nun für alle . Dann ist die Menge die Basis eines Filters , der feiner als ist. Da aber ein Ultrafilter ist, folgt und damit .



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