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In diesem Abschnitt geht es darum, im allgemeinen topologischen Rahmen Folgen, Grenzwerte und Häufungspunkte zu definieren. Diese Definitionen, bzw. die Schlussfolgerungen daraus, können wir dann mit den bekannten Sätzen aus der Analysis vergleichen. Dabei können wir überprüfen, ob die bisherigen Definitionen und Sätze der Topologie "vernünftig" sind. Das heißt, ob sie auch dieselben Ergebnisse wie die Analysis liefern.
Definition: Konvergenz
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Sei eine Folge von Punkten in einem topologischen Raum . Die Folge heißt konvergent gegen den Punkt , wenn es zu jeder Umgebung von ein gibt, so daß ab diesem alle Folgenglieder in der Umgebung liegen, also für alle . Der Punkt heißt Grenzwert der Folge .
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Definition: Häufungspunkt
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Sei eine Folge von Punkten in einem topologischen Raum . Der Punkt heißt Häufungspunkt der Folge, wenn in jeder Umgebung von unendlich viele Folgenglieder liegen, also für unendlich viele .
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Anhand der Konvergenz definiert man in der Analysis die Stetigkeit. Man kann nun fragen, ob man auch die Stetigkeit von Abbildungen topologischer Räume durch konvergente Folgen charakterisieren kann. Es gilt zumindest folgender Zusammenhang.
Satz: Seien
topologische Räume und
eine in
stetige Abbildung. Für jede Folge
, die gegen
konvergiert, konvergiert die Folge
gegen
.
Beweis: Sei
eine Umgebung von
. Wegen der Stetigkeit von
ist dann
eine Umgebung von
. Sei nun
eine Folge, die gegen
konvergiert. Dann existiert eine Zahl
, so daß
und damit auch
für alle
gilt. Das bedeutet aber die Konvergenz von
gegen
.
Seien
wie oben,
und
eine Abbildung. Nehmen wir nun an, daß für jede gegen
konvergente Folge
die Folge
gegen
konvergiert. Wir wollen dann die Stetigkeit von
in
beweisen. Sei dazu
eine Umgebung von
. Gesucht ist nun eine Umgebung
von
, die ganz in
abgebildet wird, also
. Im
beweist man die Existenz einer solchen Umgebung per Widerspruch. Man nimmt zunächst an, daß keine solche Umgebung existiert. In jeder Umgebung
von
gibt es dann einen Punkt
mit
. Nun macht man sich zunutze, daß jede Umgebung von
eine offene Kugel um
mit Radius
enthält, wenn
genügend groß ist. Durch diese Tatsache ist sichergestellt, daß eine Folge von Punkten
mit
für alle
gegen
konvergiert. Nach unserer Annahme kann man nun aus jeder offenen Kugel ein
so wählen, daß
ist. Dann konvergiert die Folge
gegen
, aber die Folge
konvergiert im Widerspruch zur Voraussetzung nicht gegen
.
Dieses Vorgehen kann man ohne große Änderung auf topologische Räume übertragen, die das 1. Abzählbarkeitsaxiom erfüllen. Dann gibt es nämlich abzählbar viele Umgebungen
von
, so daß jede beliebige Umgebung von
mindestens eine der Umgebungen
enthält. Da die Umgebungen
nicht notwendig ineinanderliegen wie die offenen Kugeln um
, betrachtet man nicht direkt die einzelnen Umgebungen
, sondern endliche Durchschnitte der
.
Aus jeder der Mengen
usw. und allgemein
wählt man nun ein
mit
. Dann konvergiert wieder die Folge
gegen
, aber die Folge
konvergiert nicht gegen
.
Aus diesen Überlegungen folgt sofort der folgende
Satz: Seien
topologische Räume,
eine Abbildung und
erfülle das 1. Abzählbarkeitsaxiom. Sei weiter
, und für jede gegen
konvergente Folge
konvergiere die Folge
gegen
. Dann ist
stetig in
.
Auf allgemeine topologische Räume läßt sich das obige Argument aber nicht übertragen, denn ohne eine abzählbare Umgebungsbasis sind die Folgen gewissermaßen zu kurz. Es ist aber nicht nur dieses Argument, das in allgemeinen Räumen nicht funktioniert, sondern es gibt auch echte Gegenbeispiele. Dazu sei
die Menge aller Abbildungen vom Intervall reeller Zahlen
in das Intervall
. Die Abbildungen brauchen nicht stetig zu sein.
Für jede reelle Zahl
hat man eine Projektion
. Die Topologie auf der Menge
sei nun die Initialtopologie bezüglich dieser Projektionen
. Eine Subbasis dieser Topologie ist gegeben durch die Mengen der Form
offen in
. In anderer Schreibweise sind das die Mengen
offen. Die endlichen Durchschnitte solcher Mengen
bilden eine Basis der Topologie. Diese Durchschnitte sind Mengen von Abbildungen, die in den endlich vielen Punkten
einen Wert in den zugehörigen offenen Mengen
annehmen.
Sei nun die Menge
definiert als
an endlich vielen
und 0 sonst
. Sei weiter
definiert durch
für alle
. In jeder Umgebung
von
gibt es eine offene Menge
aus der Basis der Topologie mit
.
läßt sich aber schreiben als
für geeignete
, und wegen
gilt auch
für alle Abbildungen
mit
für
. Definiere nun eine Funktion
durch
und
sonst. Dann ist
und
. Folglich ist
und das bedeutet
.
Sei jetzt
mit der Unterraumtopologie und 
eine Funktion mit
und
für
. Dann ist
nicht stetig in
. Wegen
ist für jede Umgebung
von
, es gibt also ein
mit
. Betrachtet man z.B. die offene Umgebung
von
, so kann es keine Umgebung von
geben, die ganz in
abgebildet wird.
Sei andererseits
eine Folge in
, die gegen
konvergiert. Betrachte die Menge
aller Zahlen
, für die es mindestens ein Folgenglied
gibt mit
. Da jede Abbildung
nur an endlich vielen Stellen den Wert 1 hat, und da die Folge
abzählbar groß ist, ist auch die Menge
nur abzählbar groß. Daher ist
. Sei
. Nach Definition von
ist dann
für alle
. Wähle die offene Umgebung
von
. Dann ist
für alle
.
enthält also kein einziges der Folgenglieder, und das bedeutet, daß
nicht gegen
konvergiert. Es kann also keine gegen
konvergente Folge in
geben. Betrachtet man nun Folgen
in
, so können diese nur dann gegen
konvergieren, wenn sie ab einem bestimmten
gleich
sind, also
für
.
Zusammengefaßt haben wir eine Funktion 
, die in
nicht stetig ist, aber für jede gegen
konvergente Folge
in
konvergiert
wegen
für genügend große
gegen
.
Aus der Konvergenz von Folgen und deren Funktionswerten läßt sich also im Allgemeinen nicht auf die Stetigkeit schließen.
Es gibt eine ähnliche Situation bei der Charakterisierung des Abschlusses einer Teilmenge
eines topologischen Raumes
. Im reellen Raum
kann man zeigen, daß ein Punkt
genau dann im Abschluß einer Menge
liegt, wenn es in der Menge
eine Folge
gibt, die gegen
konvergiert.
Eine Richtung funktioniert auch im allgemeinen Rahmen, denn es gilt der folgende
Satz: Ist
eine Teilmenge des topologischen Raumes
und ist
eine Folge in
, die gegen den Punkt
konvergiert, dann ist
.
Beweis: Sei
eine Umgebung von
. Wegen der Konvergenz der Folge gibt es ein
mit
für alle
. Nach Voraussetzung ist
für alle
. Das heißt aber
und das bedeutet
.
Die andere Richtung funktioniert im Allgemeinen nicht, wie das letzte Beispiel zeigt. Dort gab es den Punkt
im Abschluß der Menge A, aber keine gegen
konvergente Folge.
Allerdings kann man die andere Richtung des Satzes für Räume zeigen, die das 1. Abzählbarkeitsaxiom erfüllen.
Satz: Sei
ein topologischer Raum, der das 1. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt,
eine Teilmenge von
und
. Dann gibt es eine Folge
in
, die gegen
konvergiert.
Beweis: Sei
eine abzählbare Umgebungsbasis von
. Wegen
ist
für alle
. Wähle nun für jedes
ein
. Dann ist die Folge
in
. Sei nun
eine Umgebung von
. Da die
eine Umgebungsbasis bilden, gibt es ein
mit
. Für jedes
gilt dann
, und das bedeutet die Konvergenz der Folge gegen
.
Für die Verallgemeinerung der Sätze braucht man ein allgemeineres Konzept der Konvergenz. Im Folgenden sollen zwei solcher Konzepte vorgestellt werden. Das erste ist das Konzept des Netzes, das man auch Moore-Smith Folge nennt.
Definition: gerichtete Menge
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Eine Menge zusammen mit einer Relation heißt gerichtet, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
- es gilt
für alle (Reflexivität)
- wenn
und gilt, dann ist auch (Transitivität)
- zu je zwei Elementen
gibt es ein Element mit und .
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Beispiele
- Die Menge
der natürlichen Zahlen mit der üblichen Ordnung
ist gerichtet.
- Die reellen Zahlen
mit der üblichen Ordnung
sind ebenfalls gerichtet.
Definition: Netz
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Sei eine beliebige Menge. Ein Netz in ist eine Abbildung  von einer gerichteten Menge in die Menge .
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Die Abbildung
aus der vorstehenden Definition ist eine Vorschrift, die jedem Element
einen Wert 
zuordnet. Man kann daher die gerichtete Menge
als Indexmenge auffassen und schreibt für das Netz auch
. Aus dieser Schreibweise wird auch ersichtlich, warum wir den gerichteten Mengen den Namen
gegeben haben. Der Begriff Folge aus der Bezeichnung Moore-Smith Folge ist ebenfalls leichter ersichtlich.
Nimmt man die natürlichen Zahlen als gerichtete Menge, so ist ein Netz 
, oder in gewohnter Schreibweise
, nichts anderes als eine Folge in
.
Sei nun
ein topologischer Raum,
und
die Menge aller Umgebungen von
. Sei die Relation
gegeben durch
, wenn
gilt. Dann ist
eine gerichtete Menge. Wählt man für jede Umgebung
von
einen Punkt
aus, so bildet die Familie
ein Netz, das gegen
konvergiert.
Was noch fehlt, ist der Begriff der Konvergenz für die soeben eingeführten Netze.
Definition: konvergentes Netz
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Sei ein topologischer Raum und ein Netz in . Das Netz heißt konvergent gegen den Punkt , wenn es für jede Umgebung von ein gibt, so daß für alle mit .
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Kommen wir nun zu der allgemeinen Version der obigen Sätze.
Satz: Seien
topologische Räume,
und
eine Abbildung.
ist genau dann stetig in
, wenn für jedes gegen
konvergente Netz
das Netz
gegen
konvergiert.
Beweis: Sei zunächst
stetig in
. Sei weiter
eine Umgebung von
. Wegen der Stetigkeit ist
eine Umgebung von
. Ist nun
ein gegen
konvergentes Netz, so gibt es ein
mit
für
. Dann ist aber
für alle
, und das ist die Konvergenz von
gegen
.
Konvergiere jetzt
gegen
für jedes gegen
konvergente Netz
. Angenommen,
ist nicht stetig in
. Dann gibt es eine Umgebung
von
, deren Urbild keine Umgebung von
ist. In jeder Umgebung
von
gibt also mindestens ein
, so daß
. Nach obiger Bemerkung ist durch die
ein Netz gegeben, das gegen
konvergiert. Nach Wahl der
konvergiert das Netz
aber nicht gegen
im Widerspruch zur Voraussetzung.
muß also stetig in
sein.
Satz: Sei
eine Teilmenge eines topologischen Raumes
. Ein Punkt
ist genau dann im Abschluß
von
, wenn es ein Netz in
gibt, das gegen
konvergiert.
Beweis: Sei zunächst
ein Netz in
, das gegen
konvergiert. Dann ist einerseits
für alle
, und andererseits gibt es wegen der Konvergenz in jeder Umgebung
von
mindestens ein
. Also ist
, und daraus folgt
.
Sei nun
. Für jede Umgebung
von
ist dann
. Man kann also für jede Umgebung
ein
wählen mit
. Damit hat man ein Netz in
, das gegen
konvergiert.
Nach den Netzen soll jetzt wie versprochen das zweite Konzept vorgestellt werden, mit dem die Konvergenz von Folgen verallgemeinert werden kann.
Beispiele
- Ist
ein topologischer Raum und
, dann ist die Menge
aller Umgebungen von
ein Filter.
heißt auch Umgebungsfilter von
.
- Ist
eine Menge und
eine nicht leere Teilmenge von
, Dann ist die Menge
aller Obermengen von
ein Filter.
Definition: Filterbasis
|
Sei eine Menge und ein Filter auf . Eine Teilmenge heißt Filterbasis, oder auch einfach nur Basis, von , wenn für jede Filtermenge eine Menge existiert mit .
|
Beispiele
- Ist
eine Menge von Teilmengen von
, so daß
, und mit der Eigenschaft, daß es zu je zwei Mengen
eine Menge
gibt mit
, dann ist
eine Filterbasis. Der von
erzeugte Filter ist gegeben durch
. Der Filter
besteht also aus allen Obermengen der Mengen aus
.
- Durch
wird eine Filterbasis definiert. Der dadurch erzeugte Filter heißt Fréchet-Filter auf
.
- Ist
ein topologischer Raum und
eine Folge in
, so bilden die Endstücke der Folge, also die Mengen
eine Filterbasis.
Definition: konvergenter Filter
|
Sei ein topologischer Raum und ein Filter auf . Der Filter heißt konvergent gegen den Punkt , wenn feiner ist als der Umgebungsfilter von . Der Punkt heißt dann Limespunkt des Filters. Ein Punkt heißt Berührungspunkt des Filters, wenn für jede Umgebung von und jede Filtermenge gilt: , d.h. .
|
Wenn wir Abbildungen anhand von Filtern untersuchen wollen, müssen wir zunächst noch überlegen, was denn eine Abbildung mit einem Filter anstellt. Seien dazu
topologische Räume und
eine Abbildung, die nicht stetig zu sein braucht. Weiter sei
ein Filter auf
. Betrachten wir jetzt das System
aller Mengen
,
, im Hinblick auf die Filtereigenschaften.
, also ist auch 
- Seien
. Dann gibt es zwei Filtermengen
mit
und
. Da
ein Filter ist, ist
und
. Nun ist
. Ebenso ist
, woraus
folgt, aber leider gilt die Gleichheit
nicht.
Das System
bildet daher zwar keinen Filter, aber für eine Filterbasis reicht die Teilmengenbeziehung in Punkt 2 aus.
Wir kommen damit zu folgender
Definition: Bild eines Filters
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Seien topologische Räume, eine Abbildung und ein Filter auf . Das Bild von unter ist der Filter , der von der Basis erzeugt wird.
|
Mithilfe der Konvergenz von Filtern können wir nun ebenfalls die Sätze über die Stetigkeit und den Abschluß einer Menge verallgemeinern.
Satz: Seien
topologische Räume,
eine Abbildung und
.
ist genau dann stetig in
, wenn für jeden gegen
konvergenten Filter
auf
der Bildfilter
gegen
konvergiert.
Beweis: Sei zunächst
stetig in
, und sei weiter
ein gegen
konvergenter Filter. Sei
eine Umgebung von
. Wegen der Stetigkeit ist
eine Umgebung von
. Da
gegen
konvergiert, ist
feiner als der Umgebungsfilter von
. Das bedeutet aber, daß
eine Filtermenge ist. Nun ist
. Wegen
ist dann auch
. Die Umgebungen von
sind also Filtermengen von
. Das bedeutet, daß
feiner als der Umgebungsfilter von
ist und daher gegen
konvergiert.
Konvergiere nun andererseits der Bildfilter eines jeden gegen
konvergenten Filters
gegen
. Betrachte jetzt den Umgebungsfilter
von
, der offensichtlich gegen
konvergiert. Nach Voraussetzung konvergiert dann das Bild des Umgebungsfilters
gegen
, das heißt, daß
für jede Umgebung
von
gilt. Nun ist die Menge
eine Basis von
. Für jede Umgebung
von
gibt es daher eine Basismenge
. Das ist aber gerade die Stetigkeit von
in
.
Satz: Sei
ein topologischer Raum,
und
eine Teilmenge von
. Dann ist
genau dann, wenn es einen gegen
konvergenten Filter
auf
gibt mit
.
Beweis: Sei zunächst
. Dann ist
für jede Umgebung
von
. Weiter gibt es zu je zwei Umgebungen
und
eine Umgebung
mit
. Daraus folgt
. Die Mengen der Form
, wobei
eine Umgebung von
ist, bilden also eine Filterbasis. Sei
der von dieser Basis erzeugte Filter. Da
für jede Umgebung
gilt, ist
feiner als der Umgebungsfilter von
, und das heißt, daß
gegen
konvergiert. Ebenso ist
für jede Umgebung
und daraus folgt
.
Sei jetzt
ein Filter mit
, der gegen
konvergiert. Wegen der Konvergenz gehört jede Umgebung
von
und damit auch
zu
. Wegen
ist dann
für jede Umgebung
von
, und das bedeutet
.
Definition: Vergleich von Filtern
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Sei eine Menge und seien zwei Filter auf . Gehört jede Menge aus auch zu , ist also , so heißt gröber als und feiner als . Ist , so heißt echt gröber als , und echt feiner als . Ein Filter heißt Ultrafilter, wenn es keinen echt feineren Filter auf gibt.
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Satz: Sei
ein topologischer Raum und
ein Filter auf
. Dann gibt es einen Ultrafilter
mit
.
Beweis: Sei
die Menge der Filter auf
, die feiner als
sind. Dann ist
zusammen mit der Teilmengenrelation
eine partiell geordnete Menge. Sei nun
eine linear geordnete Teilmenge von
. Dann definiere den Filter
als Vereinigung aller Filter aus
. Zunächst ist
ist ein Filter, denn
- die leere Menge ist in keinem der Filter
, also auch nicht in der Vereinigung
.
- Seien
. Da
linear geordnet ist, ist entweder
oder
. Nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, daß
ist. Dann ist auch
und es folgt
.
- Ist
, so gibt es ein
mit
. Ist nun
eine Obermenge
, also
, so ist
, weil
ein Filter ist. Dann ist
aber auch in der Vereinigung
.
Nach Definition von
gilt weiter
für alle
,
ist also eine obere Schranke von
bezüglich der Relation
.
Damit haben wir gezeigt, daß jede linear geordnete Teilmenge
von
eine obere Schranke hat. Nach dem Zorn'schen Lemma gibt es nun ein maximales Element
in
. Dieses maximale Element ist der gesuchte Ultrafilter. (
ist ein Filter wegen
, und da
maximal ist, gibt es keinen feineren Filter.)
Satz: Sei
ein topologischer Raum und
ein Ultrafilter auf
. Für jede Teilmenge
von
gilt dann
oder
.
Beweis: Sei
eine Teilmenge von
. Angenommen, es gibt eine Filtermenge
mit
. Dann folgt
und damit
. Sei also nun
für alle
. Dann ist die Menge
die Basis eines Filters
, der feiner als
ist. Da aber
ein Ultrafilter ist, folgt
und damit
.
Weiter mit Konstruktion topologischer Räume