Mathematik: Topologie: Konvergenz

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Filter und Konvergenz

In diesem Abschnitt geht es darum, im allgemeinen topologischen Rahmen Folgen, Grenzwerte und Häufungspunkte zu definieren. Diese Definitionen, bzw. die Schlussfolgerungen daraus, können wir dann mit den bekannten Sätzen aus der Analysis vergleichen. Dabei können wir überprüfen, ob die bisherigen Definitionen und Sätze der Topologie "vernünftig" sind. Das heißt, ob sie auch dieselben Ergebnisse wie die Analysis liefern.

Definition: Konvergenz

Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von Punkten in einem topologischen Raum $X$. Die Folge heißt konvergent gegen den Punkt $x\in X$, wenn es zu jeder Umgebung $U$ von $x$ ein $N\in \mathbb {N}$ gibt, so daß ab diesem $N$ alle Folgenglieder in der Umgebung $U$ liegen, also $x_{n}\in U$ für alle $n>N$. Der Punkt $x$ heißt Grenzwert der Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$.

Definition: Häufungspunkt

Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von Punkten in einem topologischen Raum $X$. Der Punkt $x\in X$ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn in jeder Umgebung $U$ von $x$ unendlich viele Folgenglieder liegen, also $x_{n}\in U$ für unendlich viele $n\in \mathbb {N}$.

Anhand der Konvergenz definiert man in der Analysis die Stetigkeit. Man kann nun fragen, ob man auch die Stetigkeit von Abbildungen topologischer Räume durch konvergente Folgen charakterisieren kann. Es gilt zumindest folgender Zusammenhang.

Satz: Seien $X,Y$ topologische Räume und $f:X\to Y$ eine in $x\in X$ stetige Abbildung. Für jede Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, die gegen $x$ konvergiert, konvergiert die Folge $(f(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $f(x)$.

Beweis: Sei $U$ eine Umgebung von $f(x)$. Wegen der Stetigkeit von $f$ ist dann $f^{-1}(U)$ eine Umgebung von $x$. Sei nun $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge, die gegen $x$ konvergiert. Dann existiert eine Zahl $N\in \mathbb {N}$, so daß $x_{n}\in f^{-1}(U)$ und damit auch $f(x_{n})\in U$ für alle $n>N$ gilt. Das bedeutet aber die Konvergenz von $(f(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $f(x)$. $\ \surd$

Seien $X,Y$ wie oben, $x\in X$ und $f:X\to Y$ eine Abbildung. Nehmen wir nun an, daß für jede gegen $x$ konvergente Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ die Folge $(f(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $f(x)$ konvergiert. Wir wollen dann die Stetigkeit von $f$ in $x$ beweisen. Sei dazu $U$ eine Umgebung von $f(x)$. Gesucht ist nun eine Umgebung $V$ von $x$, die ganz in $U$ abgebildet wird, also $f(V)\subseteq U$. Im $\mathbb {R} ^{n}$ beweist man die Existenz einer solchen Umgebung per Widerspruch. Man nimmt zunächst an, daß keine solche Umgebung existiert. In jeder Umgebung $V$ von $x$ gibt es dann einen Punkt $y\in V$ mit $f(y)\notin U$. Nun macht man sich zunutze, daß jede Umgebung von $x$ eine offene Kugel um $x$ mit Radius $1/n$ enthält, wenn $n$ genügend groß ist. Durch diese Tatsache ist sichergestellt, daß eine Folge von Punkten $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $x_{n}\in {\mathcal {B}}_{\frac {1}{n}}(x)$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gegen $x$ konvergiert. Nach unserer Annahme kann man nun aus jeder offenen Kugel ein $x_{n}$ so wählen, daß $f(x_{n})\notin U$ ist. Dann konvergiert die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$, aber die Folge $(f(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert im Widerspruch zur Voraussetzung nicht gegen $f(x)$.

Dieses Vorgehen kann man ohne große Änderung auf topologische Räume übertragen, die das 1. Abzählbarkeitsaxiom erfüllen. Dann gibt es nämlich abzählbar viele Umgebungen $(B_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ von $x$, so daß jede beliebige Umgebung von $x$ mindestens eine der Umgebungen $B_{i}$ enthält. Da die Umgebungen $B_{i}$ nicht notwendig ineinanderliegen wie die offenen Kugeln um $x$, betrachtet man nicht direkt die einzelnen Umgebungen $B_{i}$, sondern endliche Durchschnitte der $B_{i}$. Aus jeder der Mengen $B_{1},B_{1}\cap B_{2},B_{1}\cap B_{2}\cap B_{3}$ usw. und allgemein $\bigcap _{i=1}^{n}B_{i}$ wählt man nun ein $x_{n}$ mit $f(x_{n})\notin U$. Dann konvergiert wieder die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x$, aber die Folge $(f(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert nicht gegen $f(x)$.

Aus diesen Überlegungen folgt sofort der folgende

Satz: Seien $X,Y$ topologische Räume, $f:X\to Y$ eine Abbildung und $X$ erfülle das 1. Abzählbarkeitsaxiom. Sei weiter $x\in X$, und für jede gegen $x$ konvergente Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiere die Folge $(f(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $f(x)$. Dann ist $f$ stetig in $x$.

Auf allgemeine topologische Räume läßt sich das obige Argument aber nicht übertragen, denn ohne eine abzählbare Umgebungsbasis sind die Folgen gewissermaßen zu kurz. Es ist aber nicht nur dieses Argument, das in allgemeinen Räumen nicht funktioniert, sondern es gibt auch echte Gegenbeispiele. Dazu sei $X=\{f:[0,1]\to [0,1]\}$ die Menge aller Abbildungen vom Intervall reeller Zahlen $[0,1]$ in das Intervall $[0,1]$. Die Abbildungen brauchen nicht stetig zu sein.

Für jede reelle Zahl $t\in [0,1]$ hat man eine Projektion $p_{t}:X\to [0,1],\ p_{t}(f):=f(t)$. Die Topologie auf der Menge $X$ sei nun die Initialtopologie bezüglich dieser Projektionen $(p_{t})_{t\in [0,1]}$. Eine Subbasis dieser Topologie ist gegeben durch die Mengen der Form $p_{t}^{-1}(O),O$ offen in $[0,1]$. In anderer Schreibweise sind das die Mengen $\{f:[0,1]\to [0,1]\mid f(t)\in O\},O$ offen. Die endlichen Durchschnitte solcher Mengen $\bigcap _{i=1}^{n}\{f\mid f(t_{i})\in O_{i}\}=\{f\mid f(s)\in O_{i},s\in \{t_{1},t_{2},...,t_{n}\}\}$ bilden eine Basis der Topologie. Diese Durchschnitte sind Mengen von Abbildungen, die in den endlich vielen Punkten $t_{1},t_{2},...,t_{n}$ einen Wert in den zugehörigen offenen Mengen $O_{1},O_{2},...,O_{n}$ annehmen.

Sei nun die Menge $A\subseteq X$ definiert als $A:=\{f\mid f(t)=1\$ an endlich vielen $t\in [0,1]$ und 0 sonst $\ \}$. Sei weiter $x\in X$ definiert durch $x(t)=1$ für alle $t\in [0,1]$. In jeder Umgebung $U$ von $x$ gibt es eine offene Menge $B$ aus der Basis der Topologie mit $x\in B\subseteq U$. $B$ läßt sich aber schreiben als $\{f\mid f(s)\in O_{i},s\in \{t_{1},t_{2},...,t_{n}\}\}$ für geeignete $t_{1},...,t_{n}$, und wegen $x\in B$ gilt auch $g\in B$ für alle Abbildungen $g:[0,1]\to [0,1]$ mit$\ g(s)=1$ für $s\in \{t_{1},t_{2},...,t_{n}\}$. Definiere nun eine Funktion $g_{B}\in X$ durch $g_{B}(s)=1,s\in \{t_{1},t_{2},...,t_{n}\}$ und $g_{B}(s)=0\$sonst. Dann ist $g_{B}\in B$ und $g_{B}\in A$. Folglich ist $g_{B}\in B\cap A\subseteq U\cap A\neq \emptyset$ und das bedeutet $x\in {\overline {A}}$.

Sei jetzt $A^{*}=A\cup \{x\}$ mit der Unterraumtopologie und $\phi$$:A^{*}\to \mathbb {R}$ eine Funktion mit $\phi (x)=1$ und $\phi (f)=0$ für $f\in A$. Dann ist $\phi$ nicht stetig in $x$. Wegen $x\in {\overline {A}}$ ist für jede Umgebung $V$ von $x$ $V\cap A\neq \emptyset$, es gibt also ein $f\in V$ mit $\phi (f)=0$. Betrachtet man z.B. die offene Umgebung $U=]1/2,3/2[$ von $\phi (x)=1$, so kann es keine Umgebung von $x$ geben, die ganz in $U$ abgebildet wird.

Sei andererseits $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $A$, die gegen $x$ konvergiert. Betrachte die Menge $E$ aller Zahlen $t\in [0,1]$, für die es mindestens ein Folgenglied $x_{m}$ gibt mit $x_{m}(t)=1$. Da jede Abbildung $x_{m}$ nur an endlich vielen Stellen den Wert 1 hat, und da die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ abzählbar groß ist, ist auch die Menge $E$ nur abzählbar groß. Daher ist $[0,1]-E\neq \emptyset$. Sei $s\in [0,1]-E$. Nach Definition von $E$ ist dann $x_{m}(s)=0$ für alle $m\in \mathbb {N}$. Wähle die offene Umgebung $U=p_{s}^{-1}(]1/2,1])=\{f\in A\mid 1/2<f(s)\leq 1\}$ von $x$. Dann ist $x_{m}\notin U$ für alle $m\in \mathbb {N}$. $U$ enthält also kein einziges der Folgenglieder, und das bedeutet, daß $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ nicht gegen $x$ konvergiert. Es kann also keine gegen $x$ konvergente Folge in $A$ geben. Betrachtet man nun Folgen $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in $A^{*}$, so können diese nur dann gegen $x$ konvergieren, wenn sie ab einem bestimmten $N\in \mathbb {N}$ gleich $x$ sind, also $x_{m}=x$ für $m>N$.

Zusammengefaßt haben wir eine Funktion $\phi$$:A^{*}\to \mathbb {R}$, die in $x$ nicht stetig ist, aber für jede gegen $x$ konvergente Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in $A^{*}$ konvergiert $(f(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }$ wegen $x_{m}=x$ für genügend große $n$ gegen $f(x)$.

Aus der Konvergenz von Folgen und deren Funktionswerten läßt sich also im Allgemeinen nicht auf die Stetigkeit schließen.

Es gibt eine ähnliche Situation bei der Charakterisierung des Abschlusses einer Teilmenge $A\subseteq X$ eines topologischen Raumes $X$. Im reellen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ kann man zeigen, daß ein Punkt $x$ genau dann im Abschluß einer Menge $A$ liegt, wenn es in der Menge $A$ eine Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gibt, die gegen $x$ konvergiert. Eine Richtung funktioniert auch im allgemeinen Rahmen, denn es gilt der folgende

Satz: Ist $A\subseteq X$ eine Teilmenge des topologischen Raumes $X$ und ist $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $A$, die gegen den Punkt $x$ konvergiert, dann ist $x\in {\overline {A}}$.

Beweis: Sei $U$ eine Umgebung von $x$. Wegen der Konvergenz der Folge gibt es ein $N\in \mathbb {N}$ mit $x_{m}\in U$ für alle $m>N$. Nach Voraussetzung ist $x_{n}\in A$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Das heißt aber $U\cap A\neq \emptyset$ und das bedeutet $x\in {\overline {A}}$. $\ \surd$

Die andere Richtung funktioniert im Allgemeinen nicht, wie das letzte Beispiel zeigt. Dort gab es den Punkt $x:[0,1]\to [0,1],x(t)=1$ im Abschluß der Menge A, aber keine gegen $x$ konvergente Folge.

Allerdings kann man die andere Richtung des Satzes für Räume zeigen, die das 1. Abzählbarkeitsaxiom erfüllen.

Satz: Sei $X$ ein topologischer Raum, der das 1. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, $A$ eine Teilmenge von $X$ und $x\in {\overline {A}}$. Dann gibt es eine Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in $A$, die gegen $x$ konvergiert.

Beweis: Sei $(B_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ eine abzählbare Umgebungsbasis von $x$. Wegen $x\in {\overline {A}}$ ist $A\cap (\bigcap _{i=1}^{n}B_{i})\neq \emptyset$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Wähle nun für jedes $n\in \mathbb {N}$ ein $x_{n}\in A\cap (\bigcap _{i=1}^{n}B_{i})$. Dann ist die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in $A$. Sei nun $U$ eine Umgebung von $x$. Da die $B_{i}$ eine Umgebungsbasis bilden, gibt es ein $N\in \mathbb {N}$ mit $B_{N}\subseteq U$. Für jedes $n>N$ gilt dann $x_{n}\in \bigcap _{i=1}^{n}B_{i}\subseteq \bigcap _{i=1}^{N}B_{i}\subseteq B_{N}\subseteq U$, und das bedeutet die Konvergenz der Folge gegen $x$. $\ \surd$

Für die Verallgemeinerung der Sätze braucht man ein allgemeineres Konzept der Konvergenz. Im Folgenden sollen zwei solcher Konzepte vorgestellt werden. Das erste ist das Konzept des Netzes, das man auch Moore-Smith Folge nennt.

Definition: gerichtete Menge

Eine Menge $I$ zusammen mit einer Relation $\leq$heißt gerichtet, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: es gilt $i\leq i$ für alle $i\in I$ (Reflexivität) wenn $i_{1}\leq i_{2}$ und $i_{2}\leq i_{3}$ gilt, dann ist auch $i_{1}\leq i_{3}$ (Transitivität) zu je zwei Elementen $i_{1},i_{2}\in I$ gibt es ein Element $i_{3}$ mit $i_{1}\leq i_{3}$ und $i_{2}\leq i_{3}$.

Beispiele

• Die Menge $\mathbb {N}$ der natürlichen Zahlen mit der üblichen Ordnung $\leq$ ist gerichtet.
• Die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ mit der üblichen Ordnung $\leq$ sind ebenfalls gerichtet.

Definition: Netz

Sei $X$ eine beliebige Menge. Ein Netz in $X$ ist eine Abbildung $\phi$$:I\to X$ von einer gerichteten Menge $I$ in die Menge $X$.

Die Abbildung $\phi$ aus der vorstehenden Definition ist eine Vorschrift, die jedem Element $i\in I$ einen Wert $\phi (i)$$=x_{i}\in X$ zuordnet. Man kann daher die gerichtete Menge $I$ als Indexmenge auffassen und schreibt für das Netz auch $(x_{i})_{i\in I}$. Aus dieser Schreibweise wird auch ersichtlich, warum wir den gerichteten Mengen den Namen $I$ gegeben haben. Der Begriff Folge aus der Bezeichnung Moore-Smith Folge ist ebenfalls leichter ersichtlich.

Nimmt man die natürlichen Zahlen als gerichtete Menge, so ist ein Netz $\phi$$:\mathbb {N} \to X$, oder in gewohnter Schreibweise $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, nichts anderes als eine Folge in $X$.

Sei nun $X$ ein topologischer Raum, $x\in X$ und ${\mathcal {U}}(x)$ die Menge aller Umgebungen von $x$. Sei die Relation $\leq$ gegeben durch $U_{1}\leq U_{2}$, wenn $U_{2}\subseteq U_{1}$ gilt. Dann ist ${\mathcal {U}}(x)$ eine gerichtete Menge. Wählt man für jede Umgebung $U$ von $x$ einen Punkt $x_{u}\in U$ aus, so bildet die Familie $(x_{u})_{U\in {\mathcal {U}}(x)}$ ein Netz, das gegen $x$ konvergiert.

Was noch fehlt, ist der Begriff der Konvergenz für die soeben eingeführten Netze.

Definition: konvergentes Netz

Sei $X$ ein topologischer Raum und $(x_{i})_{i\in I}$ ein Netz in $X$. Das Netz heißt konvergent gegen den Punkt $x\in X$, wenn es für jede Umgebung $U$ von $x$ ein $i_{0}\in I$ gibt, so daß $x_{i}\in U$ für alle $i\in I$ mit $i_{0}\leq i$.

Kommen wir nun zu der allgemeinen Version der obigen Sätze.

Satz: Seien $X,Y$ topologische Räume, $x\in X$ und $f:X\to Y$ eine Abbildung. $f$ ist genau dann stetig in $x$, wenn für jedes gegen $x$ konvergente Netz $(x_{i})_{i\in I}$ das Netz $(f(x_{i}))_{i\in I}$ gegen $f(x)$ konvergiert.

Beweis: Sei zunächst $f$ stetig in $x$. Sei weiter $V$ eine Umgebung von $f(x)$. Wegen der Stetigkeit ist $f^{-1}(V)$ eine Umgebung von $x$. Ist nun $(x_{i})_{i\in I}$ ein gegen $x$ konvergentes Netz, so gibt es ein $i_{0}\in I$ mit $x_{i}\in f^{-1}(V)$ für $i_{0}\leq i$. Dann ist aber $f(x_{i})\in V$ für alle $i_{0}\leq i$, und das ist die Konvergenz von $(f(x_{i}))_{i\in I}$ gegen $f(x)$.

Konvergiere jetzt $(f(x_{i}))_{i\in I}$ gegen $f(x)$ für jedes gegen $x$ konvergente Netz $(x_{i})_{i\in I}$. Angenommen, $f$ ist nicht stetig in $x$. Dann gibt es eine Umgebung $V$ von $f(x)$, deren Urbild keine Umgebung von $x$ ist. In jeder Umgebung $U$ von $x$ gibt also mindestens ein $x_{u}$, so daß $f(x_{u})\notin V$. Nach obiger Bemerkung ist durch die $(x_{u})_{U\in {\mathcal {U}}(x)}$ ein Netz gegeben, das gegen $x$ konvergiert. Nach Wahl der $x_{u}$ konvergiert das Netz $(f(x_{u}))_{U\in {\mathcal {U}}(x)}$ aber nicht gegen $f(x)$ im Widerspruch zur Voraussetzung. $f$ muß also stetig in $x$ sein. $\ \surd$

Satz: Sei $A\subseteq X$ eine Teilmenge eines topologischen Raumes $X$. Ein Punkt $x\in X$ ist genau dann im Abschluß ${\overline {A}}$ von $A$, wenn es ein Netz in $A$ gibt, das gegen $x$ konvergiert.

Beweis: Sei zunächst $(x_{i})_{i\in I}$ ein Netz in $A$, das gegen $x\in X$ konvergiert. Dann ist einerseits $x_{i}\in A$ für alle $i\in I$, und andererseits gibt es wegen der Konvergenz in jeder Umgebung $U$ von $x$ mindestens ein $x_{i}$. Also ist $U\cap A\neq \emptyset$, und daraus folgt $x\in {\overline {A}}$ .

Sei nun $x\in {\overline {A}}$. Für jede Umgebung $U$ von $x$ ist dann $U\cap A\neq \emptyset$. Man kann also für jede Umgebung $U$ ein $x_{u}$ wählen mit $x_{u}\in U\cap A$. Damit hat man ein Netz in $A$, das gegen $x$ konvergiert. $\ \surd$

Nach den Netzen soll jetzt wie versprochen das zweite Konzept vorgestellt werden, mit dem die Konvergenz von Folgen verallgemeinert werden kann.

Definition: Filter

Sei $X$ eine Menge. Eine Menge ${\mathcal {F}}$ von Teilmengen von $X$ heißt Filter, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: $\emptyset \notin {\mathcal {F}}$, $X\in {\mathcal {F}}$ wenn $F_{1}\in {\mathcal {F}}$ und $F_{2}\in {\mathcal {F}}$ gilt, dann ist auch $F_{1}\cap F_{2}\in {\mathcal {F}}$ ist $F\in {\mathcal {F}}$ und $F\subseteq M$, dann ist auch $M\in {\mathcal {F}}$ Der Filter heißt frei, wenn $\bigcap _{F\in {\mathcal {F}}}F=\emptyset$ ist, und fixiert, wenn $\bigcap _{F\in {\mathcal {F}}}F\neq \emptyset$.

Beispiele

• Ist $X$ ein topologischer Raum und $x\in X$, dann ist die Menge ${\mathcal {U}}(x)$ aller Umgebungen von $x$ ein Filter. ${\mathcal {U}}(x)$ heißt auch Umgebungsfilter von $x$.
• Ist $X$ eine Menge und $A\subseteq X$ eine nicht leere Teilmenge von $X$, Dann ist die Menge ${\mathcal {F}}=\{F\subseteq X\mid A\subseteq F\}$ aller Obermengen von $A$ ein Filter.

Definition: Filterbasis

Sei $X$ eine Menge und ${\mathcal {F}}$ ein Filter auf $X$. Eine Teilmenge ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}$ heißt Filterbasis, oder auch einfach nur Basis, von ${\mathcal {F}}$, wenn für jede Filtermenge $F\in {\mathcal {F}}$ eine Menge $B\in {\mathcal {B}}$ existiert mit $B\subseteq F$.

Beispiele

• Ist ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {P}}(X)$ eine Menge von Teilmengen von $X$, so daß $\emptyset \notin {\mathcal {B}}$, und mit der Eigenschaft, daß es zu je zwei Mengen $B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}$ eine Menge $B_{3}\in {\mathcal {B}}$ gibt mit $B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}$, dann ist ${\mathcal {B}}$ eine Filterbasis. Der von ${\mathcal {B}}$ erzeugte Filter ist gegeben durch ${\mathcal {F}}=\{F\subseteq X\mid \exists B\in {\mathcal {B}},\ s.d.\ B\subseteq F\}$. Der Filter ${\mathcal {F}}$ besteht also aus allen Obermengen der Mengen aus ${\mathcal {B}}$.

• Durch ${\mathcal {B}}=\{]a,\infty [\ \mid a\in \mathbb {R} \}$ wird eine Filterbasis definiert. Der dadurch erzeugte Filter heißt Fréchet-Filter auf $\mathbb {R}$.

• Ist $X$ ein topologischer Raum und $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $X$, so bilden die Endstücke der Folge, also die Mengen $B_{n}=\{x_{i}\in X\mid i>n\}$ eine Filterbasis.

{{:Topologie: Vorlage:Definition |label=konvergenter Filter |text=Sei $X$ ein topologischer Raum und ${\mathcal {F}}$ ein Filter auf $X$. Der Filter heißt konvergent gegen den Punkt $x\in X$, wenn ${\mathcal {F}}$ feiner ist als der Umgebungsfilter von $x$. Der Punkt $x$ heißt dann Limespunkt des Filters. Ein Punkt $x\in X$ heißt Berührungspunkt des Filters, wenn für jede Umgebung $U$ von $x$ und jede Filtermenge $F\in {\mathcal {F}}$ gilt: $U\cap F\neq \emptyset$, d.h. Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle x \in \bigcap_{F \in \mathcal{F}} \overline{F}<math>. }} Wenn wir Abbildungen anhand von Filtern untersuchen wollen, müssen wir zunächst noch überlegen, was denn eine Abbildung mit einem Filter anstellt. Seien dazu <math>X,Y} topologische Räume und $f:X\to Y$ eine Abbildung, die nicht stetig zu sein braucht. Weiter sei ${\mathcal {F}}$ ein Filter auf $X$. Betrachten wir jetzt das System ${\mathcal {G}}$ aller Mengen $f(F)\subseteq Y$, $F\in {\mathcal {F}}$, im Hinblick auf die Filtereigenschaften.

1. $\emptyset \notin {\mathcal {F}}$, also ist auch $\emptyset \notin {\mathcal {G}}$
2. Seien $G_{1},G_{2}\in {\mathcal {G}}$. Dann gibt es zwei Filtermengen $F_{1},F_{2}\in {\mathcal {F}}$ mit $f(F_{1})=G_{1}$ und $f(F_{2})=G_{2}$. Da ${\mathcal {F}}$ ein Filter ist, ist $F_{1}\cap F_{2}\in {\mathcal {F}}$ und $f(F_{1}\cap F_{2})\in {\mathcal {G}}$. Nun ist $f(F_{1}\cap F_{2})=\{y\in Y\mid \exists x\in F_{1}\cap F_{2}\wedge f(x)=y\}\subset \{y\in Y\mid \exists x\in F_{1}\wedge f(x)=y\}=f(F_{1})=G_{1}$. Ebenso ist $f(F_{1}\cap F_{2})\subset f(F_{2})=G_{2}$, woraus $f(F_{1}\cap F_{2})\subset (G_{1}\cap G_{2})$ folgt, aber leider gilt die Gleichheit $f(F_{1}\cap F_{2})=G_{1}\cap G_{2}$ nicht.

Das System ${\mathcal {G}}$ bildet daher zwar keinen Filter, aber für eine Filterbasis reicht die Teilmengenbeziehung in Punkt 2 aus.

Wir kommen damit zu folgender

Definition: Bild eines Filters

Seien $X,Y$ topologische Räume, $f:X\to Y$ eine Abbildung und ${\mathcal {F}}$ ein Filter auf $X$. Das Bild von ${\mathcal {F}}$ unter $f$ ist der Filter $f({\mathcal {F}})$, der von der Basis ${\mathcal {B}}=\{f(F)\mid f\in {\mathcal {F}}\}$ erzeugt wird.

Mithilfe der Konvergenz von Filtern können wir nun ebenfalls die Sätze über die Stetigkeit und den Abschluß einer Menge verallgemeinern.

Satz: Seien $X,Y$ topologische Räume, $f:X\to Y$ eine Abbildung und $x\in X$. $f$ ist genau dann stetig in $x$, wenn für jeden gegen $x$ konvergenten Filter ${\mathcal {F}}$ auf $X$ der Bildfilter $f({\mathcal {F}})$ gegen $f(x)$ konvergiert.

Beweis: Sei zunächst $f$ stetig in $x$, und sei weiter ${\mathcal {F}}$ ein gegen $x$ konvergenter Filter. Sei $V$ eine Umgebung von $f(x)$. Wegen der Stetigkeit ist $U=f^{-1}(V)$ eine Umgebung von $x$. Da ${\mathcal {F}}$ gegen $x$ konvergiert, ist ${\mathcal {F}}$ feiner als der Umgebungsfilter von $x$. Das bedeutet aber, daß $U$ eine Filtermenge ist. Nun ist $f(U)\subseteq V$. Wegen $f(U)\in f({\mathcal {F}})$ ist dann auch $V\in f({\mathcal {F}})$. Die Umgebungen von $f(x)$ sind also Filtermengen von $f({\mathcal {F}})$. Das bedeutet, daß $f({\mathcal {F}})$ feiner als der Umgebungsfilter von $f(x)$ ist und daher gegen $f(x)$ konvergiert.

Konvergiere nun andererseits der Bildfilter eines jeden gegen $x$ konvergenten Filters ${\mathcal {F}}$ gegen $f(x)$. Betrachte jetzt den Umgebungsfilter ${\mathcal {U}}(x)$ von $x$, der offensichtlich gegen $x$ konvergiert. Nach Voraussetzung konvergiert dann das Bild des Umgebungsfilters $f({\mathcal {U}}(x))$ gegen $f(x)$, das heißt, daß $V\in f({\mathcal {U}}(x))$ für jede Umgebung $V$ von $f(x)$ gilt. Nun ist die Menge $\{f(U)\mid U\in {\mathcal {U}}(x)\}$ eine Basis von $f({\mathcal {U}}(x))$. Für jede Umgebung $V$ von $f(x)$ gibt es daher eine Basismenge $f(U)\subseteq V$. Das ist aber gerade die Stetigkeit von $f$ in $x$. $\ \surd$

Satz: Sei $X$ ein topologischer Raum, $x\in X$ und $A\subseteq X$ eine Teilmenge von $X$. Dann ist $x\in {\overline {A}}$ genau dann, wenn es einen gegen $x$ konvergenten Filter ${\mathcal {F}}$ auf $X$ gibt mit $A\in {\mathcal {F}}$.

Beweis: Sei zunächst $x\in {\overline {A}}$. Dann ist $U\cap A\neq \emptyset$ für jede Umgebung $U$ von $x$. Weiter gibt es zu je zwei Umgebungen $U_{1}$ und $U_{2}$ eine Umgebung $U_{3}$ mit $U_{3}\subseteq U_{1}\cap U_{2}$. Daraus folgt $U_{3}\cap A\subseteq (U_{1}\cap A)\cap (U_{2}\cap A)$. Die Mengen der Form $U\cap A$, wobei $U$ eine Umgebung von $x$ ist, bilden also eine Filterbasis. Sei ${\mathcal {F}}$ der von dieser Basis erzeugte Filter. Da $U\cap A\subseteq U$ für jede Umgebung $U$ gilt, ist ${\mathcal {F}}$ feiner als der Umgebungsfilter von $x$, und das heißt, daß ${\mathcal {F}}$ gegen $x$ konvergiert. Ebenso ist $U\cap A\subseteq A$ für jede Umgebung $U$ und daraus folgt $A\in {\mathcal {F}}$.

Sei jetzt ${\mathcal {F}}$ ein Filter mit $A\in {\mathcal {F}}$, der gegen $x$ konvergiert. Wegen der Konvergenz gehört jede Umgebung $U$ von $x$ und damit auch $U\cap A$ zu ${\mathcal {F}}$. Wegen $\emptyset \notin {\mathcal {F}}$ ist dann $U\cap A\neq \emptyset$ für jede Umgebung $U$ von $x$, und das bedeutet $x\in {\overline {A}}$. $\ \surd$

Definition: Vergleich von Filtern

Sei $X$ eine Menge und seien ${\mathcal {F}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}$ zwei Filter auf $X$. Gehört jede Menge aus ${\mathcal {F}}_{1}$ auch zu ${\mathcal {F}}_{2}$, ist also ${\mathcal {F}}_{1}\subseteq {\mathcal {F}}_{2}$, so heißt ${\mathcal {F}}_{1}$ gröber als ${\mathcal {F}}_{2}$ und ${\mathcal {F}}_{2}$ feiner als ${\mathcal {F}}_{1}$. Ist ${\mathcal {F}}_{1}\subset {\mathcal {F}}_{2}$, so heißt ${\mathcal {F}}_{1}$ echt gröber als ${\mathcal {F}}_{2}$, und ${\mathcal {F}}_{2}$ echt feiner als ${\mathcal {F}}_{1}$. Ein Filter ${\mathcal {F}}$ heißt Ultrafilter, wenn es keinen echt feineren Filter auf $X$ gibt.

Satz: Sei $X$ ein topologischer Raum und ${\mathcal {F}}$ ein Filter auf $X$. Dann gibt es einen Ultrafilter ${\mathcal {F}}'$ mit ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {F}}'$.

Beweis: Sei $\Phi$ die Menge der Filter auf $X$, die feiner als ${\mathcal {F}}$ sind. Dann ist $\Phi$ zusammen mit der Teilmengenrelation $\subseteq$ eine partiell geordnete Menge. Sei nun $\Phi '$ eine linear geordnete Teilmenge von $\Phi$. Dann definiere den Filter ${\mathcal {S}}:=\bigcup _{{\mathcal {F}}^{*}\in \Phi '}{\mathcal {F}}^{*}$ als Vereinigung aller Filter aus $\Phi '$. Zunächst ist ${\mathcal {S}}$ ist ein Filter, denn

1. die leere Menge ist in keinem der Filter ${\mathcal {F}}^{*}\in \Phi$, also auch nicht in der Vereinigung ${\mathcal {S}}$.
2. Seien $F_{1}\in {\mathcal {F}}_{1}^{*},F_{2}\in {\mathcal {F}}_{2}^{*}$. Da $\Phi '$ linear geordnet ist, ist entweder ${\mathcal {F}}_{1}^{*}\subseteq {\mathcal {F}}_{2}^{*}$ oder ${\mathcal {F}}_{2}^{*}\subseteq {\mathcal {F}}_{1}^{*}$. Nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, daß ${\mathcal {F}}_{1}^{*}\subseteq {\mathcal {F}}_{2}^{*}$ ist. Dann ist auch $F_{1}\in {\mathcal {F}}_{2}^{*}$ und es folgt $F_{1}\cap F_{2}\in {\mathcal {F}}_{2}^{*}\subseteq {\mathcal {S}}$.
3. Ist $F\in {\mathcal {S}}$, so gibt es ein ${\mathcal {F}}^{*}\in \Phi '$ mit $F\in {\mathcal {F}}^{*}$. Ist nun $F'$ eine Obermenge $F$, also $F\subseteq F'$, so ist $F'\in {\mathcal {F}}^{*}$, weil ${\mathcal {F}}^{*}$ ein Filter ist. Dann ist $F'$ aber auch in der Vereinigung ${\mathcal {S}}$.

Nach Definition von ${\mathcal {S}}$ gilt weiter ${\mathcal {F}}^{*}\subseteq {\mathcal {S}}$ für alle ${\mathcal {F}}^{*}\in \Phi '$, ${\mathcal {S}}$ ist also eine obere Schranke von $\Phi '$ bezüglich der Relation $\subseteq$.

Damit haben wir gezeigt, daß jede linear geordnete Teilmenge $\Phi '\subseteq \Phi$ von $\Phi$ eine obere Schranke hat. Nach dem Zorn'schen Lemma gibt es nun ein maximales Element ${\mathcal {F}}'$ in $\Phi$. Dieses maximale Element ist der gesuchte Ultrafilter. (${\mathcal {F}}'$ ist ein Filter wegen ${\mathcal {F}}'\in \Phi$, und da ${\mathcal {F}}'$ maximal ist, gibt es keinen feineren Filter.) $\ \surd$

Satz: Sei $X$ ein topologischer Raum und ${\mathcal {F}}$ ein Ultrafilter auf $X$. Für jede Teilmenge $A$ von $X$ gilt dann $A\in {\mathcal {F}}$ oder $(X-A)\in {\mathcal {F}}$.

Beweis: Sei $A$ eine Teilmenge von $X$. Angenommen, es gibt eine Filtermenge $F_{1}\in {\mathcal {F}}$ mit $F_{1}\cap (X-A)=\emptyset$. Dann folgt $F_{1}\subseteq A$ und damit $A\in {\mathcal {F}}$. Sei also nun $F\cap (X-A)\neq \emptyset$ für alle $F\in {\mathcal {F}}$. Dann ist die Menge ${\mathcal {B}}=\{F\cap (X-A)\mid F\in {\mathcal {F}}\}$ die Basis eines Filters ${\mathcal {F}}^{*}$, der feiner als ${\mathcal {F}}$ ist. Da aber ${\mathcal {F}}$ ein Ultrafilter ist, folgt ${\mathcal {F}}^{*}={\mathcal {F}}$ und damit $(X-A)\in {\mathcal {F}}$. $\ \surd$

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