Mathematik für Faule: Mehr über Arithmoide/ Hyperwertungen

Satz (Idealstruktur der Lokalisierungen eines nullteilerfreien lokalen Noetherschen Arithmonids der Krulldimension 1):

Es sei $R$ ein nullteilerfreies lokales Noethersches Arithmonid der Krulldimension 1. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. $R$ ist ein diskretes Hyperwertungsarithmonid.
2. $R$ ist monisch vollständig.
3. Das maximale Ideal $m$ von $R$ ist gleich $(x)$, wobei $x=a/b$ mit $a\in R$ beliebig und $b\in m^{n-1}$ mit $m^{n-1}\not \subseteq (a)$ und $m^{n}\subseteq (a)$.
4. Jedes Ideal von $R$ ist eine (im Anbetracht der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung natürlich eindeutige) Potenz des maximalen Ideals.

Beweis:

• 1. $\Rightarrow$ 2.: Hyperwertungsarithmonide sind immer monisch vollständig.
• 2. $\Rightarrow$ 3.: Es sei $a\in R$ nicht invertierbar, aber sonst beliebig gewählt. Da $(a)$ gemäß eines Satzes über Noethersche Arithmoide eine Potenz seines Radikals (welches nach der Voraussetzung über die Krulldimension nur $m$ sein kann) enthält, gibt es auch eine geringste solche Potenz, d. h. ein $n\in \mathbb {N}$ mit $m^{n}\subseteq (a)$, aber $m^{n-1}\not \subseteq (a)$. Wähle dann $b\in m^{n-1}\setminus (a)$ und setze $x=a/b\in K:=\operatorname {Frac} (R)$. Es ist $x^{-1}m\subseteq R$ wegen $mm^{n-1}=m^{n}\subseteq (a)$, aber nicht $x^{-1}m\subseteq m$ (da nämlich sonst $x^{-1}$ aufgrund des Monizitätskriteriums angewandt auf den $R[x^{-1}]$-Raum $m$ über $R$ monisch und somit in $R$ enthalten wäre, was aber wegen $b/aa=b$ und $(b)\not \subseteq (a)$ nicht sein kann), und somit gilt $x^{-1}m=R$ wegen der Maximalität von $m$, also folglich $m=xR$.
• 3. $\Rightarrow$ 4.: Es sei $a\in R$ beliebig. Nach Voraussetzung ist $m=(x)$ mit $x=a/b$, wobei $b$ so gewählt wurde, dass $b\in m^{k-1}$ mit $m^{k-1}\not \subseteq (a)$ und $m^{k}\subseteq (a)$. Wir können dann $b'=x^{k-1}$ wählen, woraus $m=(x')$ mit $x'=a/b'$ folgt. Dann gilt $x'=a/b'=a/x^{k-1}$. Aber $x'$ und $x$ sind teilergleich, d. h. $x\sim a/x^{k-1}$ und somit $x^{k}\sim a$, also $(a)=m^{k}$. Falls nun $I\subseteq R$ ein beliebiges Ideal ist, so ist es endlich erzeugt, da $R$ Noethersch ist. Jeder Erzeuger ist teilergleich mit einem $x^{k}$, und man rechnet leicht nach, dass dann die geringste Potenz, die dabei auftritt, das Ideal erzeugt.
• 4. $\Rightarrow$ 1.: Wir definieren eine Hyperwertung auf $R$ wie folgt: Falls $a\in R$, so setzen wir $|a|:=e^{-k}$, wobei $(a)=m^{k}$. $\Box$