Mathematikunterricht/ Sek/ Quadratische Funktion/ Zusammenfassung

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Was man über quadratische Funktionen wissen sollte[Bearbeiten]

Funktionsgleichung[Bearbeiten]

Die Funktionsgleichungen haben die Form:

Solche Funktionen nennt man quadratische Funktionen oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades.
Deren Graphen werden Parabeln genannt.

Scheitelpunkt und Scheitelpunktform[Bearbeiten]

Allgemein gilt:

Ist die Funktionsgleichung einer Parabel, die den Scheitelpunkt besitzt, so ist die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung.
Hintergrundinformationen

Scheitelpunktbestimmung durch quadratische Ergänzung

Wir wissen bereits das gilt: Durch eine Termumformung der allgemeinen Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform lässt sich der Scheitelpunkt einer Parabel ermitteln.


Beispiel:



Beispiel:



Beispiel:

Achsenschnittpunkte[Bearbeiten]

Der Schnittpunkt des Graphen mit der y - Achse ist
Der Schnittpunkt des Graphen mit der x - Achse ist
für i = 1 ; 2
Hintergrundinformationen

Symmetriebetrachtung[Bearbeiten]

Die nebenstehend abgebildete Parabel ist symmetrisch zu der Achse, die parallel zur y - Achse durch den Scheitelpunkt verläuft.
Das gilt für alle Parabeln.
Die Gleichung der Symmetrieachse durch den Scheitelpunkt lautet:
(hier )
Auch die Nullstellen sind symmetrisch zu dieser Achse.
Das bedeutet, bei bekannten Nullstellen kann der x - Wert des Scheitelpunktes berechnet werden.

Scheitelpunktberechnung mittels bekannter Nullstellen[Bearbeiten]

Sind die Nullstellen der quadratischen Funktion bekannt, dann lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunktes wie folgt berechnen:
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p - q - Formel, Diskriminante und Lösungsmenge[Bearbeiten]

Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet:
p - q - Formel:
Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante genannt:
Mit dieser vereinfacht sich die Lösungsformel zu :
Der Diskriminante kann man die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung entnehmen.
Zwei Lösungselemente
Ein Lösungselement (Doppellösung)
Kein Lösungselement
Hintergrundinformationen

Der Satz von Vieta[Bearbeiten]

Sind Lösungen der quadratischen Gleichung so können diese mit dem Wurzelsatz von Vieta und überprüft werden.
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Nullstellen und Linearfaktoren[Bearbeiten]

Sind und die Nullstellen der quadratischen Funktion , so kann man die Funktionsgleichung auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben:
Hintergrundinformationen

Schnittpunkt von Parabel und Gerade[Bearbeiten]

sei die Funktionsgleichung einer Parabel und die einer Geraden.
Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen quadratische Gleichung.
Falls nun:
Die Parabel und die Gerade schneiden sich in zwei Punkten.
Die Parabel und die Gerade berühren sich in einem Punkt.
Die Parabel und die Gerade haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
Hintergrundinformationen

Schnittpunkt zweier Parabeln[Bearbeiten]

seien die Funktionsgleichungen zweier Parabeln.
Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen quadratische Gleichung.
Falls nun:
Die Parabeln schneiden sich in zwei Punkten.
Die Parabeln berühren sich in einem Punkt.
Die Parabeln haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
lineare Gleichung Die Parabeln haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.
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Weblinks[Bearbeiten]