Mathematik für Schüler/ Analysis/ Quadratische Funktion/ Zuammenfassung

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Was man über quadratische Funktionen wissen sollte[Bearbeiten]

Funktionsgleichung[Bearbeiten]

Die Funktionsgleichungen haben die Form:

Solche Funktionen nennt man quadratische Funktionen oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades.
Deren Graphen werden Parabeln genannt.

Scheitelpunkt und Scheitelpunktform[Bearbeiten]

Allgemein gilt:

Ist die Funktionsgleichung einer Parabel, die den Scheitelpunkt besitzt, so ist die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung.
Hintergrundinformationen

Scheitelpunktbestimmung durch quadratische Ergänzung

Wir wissen bereits das gilt: Durch eine Termumformung der allgemeinen Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform lässt sich der Scheitelpunkt einer Parabel ermitteln.


Beispiel:



Beispiel:



Beispiel:

Achsenschnittpunkte[Bearbeiten]

Zqfkt 01.gif
Der Schnittpunkt des Graphen mit der y - Achse ist
Der Schnittpunkt des Graphen mit der x - Achse ist
für i = 1 ; 2
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Symmetriebetrachtung[Bearbeiten]

Die nebenstehend abgebildete Parabel ist symmetrisch zu der Achse, die parallel zur y - Achse durch den Scheitelpunkt verläuft.
Das gilt für alle Parabeln.
Die Gleichung der Symmetrieachse durch den Scheitelpunkt lautet:
(hier )
Auch die Nullstellen sind symmetrisch zu dieser Achse.
Das bedeutet, bei bekannten Nullstellen kann der x - Wert des Scheitelpunktes berechnet werden.
Zqfkt 02.gif

Scheitelpunktberechnung mittels bekannter Nullstellen[Bearbeiten]

Sind die Nullstellen der quadratischen Funktion bekannt, dann lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunktes wie folgt berechnen:
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p - q - Formel, Diskriminante und Lösungsmenge[Bearbeiten]

Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet:
p - q - Formel:
Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante genannt:
Mit dieser vereinfacht sich die Lösungsformel zu :
Der Diskriminante kann man die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung entnehmen.
Zwei Lösungselemente
Ein Lösungselement (Doppellösung)
Kein Lösungselement
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Der Satz von Vieta[Bearbeiten]

Sind Lösungen der quadratischen Gleichung so können diese mit dem Wurzelsatz von Vieta und überprüft werden.
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Nullstellen und Linearfaktoren[Bearbeiten]

Sind und die Nullstellen der quadratischen Funktion , so kann man die Funktionsgleichung auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben:
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Schnittpunkt von Parabel und Gerade[Bearbeiten]

sei die Funktionsgleichung einer Parabel und die einer Geraden.
Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen quadratische Gleichung.
Falls nun:
Die Parabel und die Gerade schneiden sich in zwei Punkten.
Die Parabel und die Gerade berühren sich in einem Punkt.
Die Parabel und die Gerade haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
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Schnittpunkt zweier Parabeln[Bearbeiten]

seien die Funktionsgleichungen zweier Parabeln.
Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen quadratische Gleichung.
Falls nun:
Die Parabeln schneiden sich in zwei Punkten.
Die Parabeln berühren sich in einem Punkt.
Die Parabeln haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
lineare Gleichung Die Parabeln haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.
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Weblinks[Bearbeiten]