Mathematikunterricht/ Sek/ Quadratische Funktion/ Zusammenfassung
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Was man über quadratische Funktionen wissen sollte
[Bearbeiten]Funktionsgleichung
[Bearbeiten]Die Funktionsgleichungen haben die Form:
- Solche Funktionen nennt man quadratische Funktionen oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades.
- Deren Graphen werden Parabeln genannt.
Scheitelpunkt und Scheitelpunktform
[Bearbeiten]Allgemein gilt:
- Ist die Funktionsgleichung einer Parabel, die den Scheitelpunkt besitzt, so ist die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung.
- Hintergrundinformationen
Scheitelpunktbestimmung durch quadratische Ergänzung
Wir wissen bereits das gilt: Durch eine Termumformung der allgemeinen Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform lässt sich der Scheitelpunkt einer Parabel ermitteln.
Beispiel:
Beispiel:
Beispiel:
Achsenschnittpunkte
[Bearbeiten]- Der Schnittpunkt des Graphen mit der y - Achse ist
- Der Schnittpunkt des Graphen mit der x - Achse ist
- für i = 1 ; 2
Symmetriebetrachtung
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Scheitelpunktberechnung mittels bekannter Nullstellen
[Bearbeiten]- Sind die Nullstellen der quadratischen Funktion bekannt, dann lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunktes wie folgt berechnen:
- Hintergrundinformationen
p - q - Formel, Diskriminante und Lösungsmenge
[Bearbeiten]- Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet:
- p - q - Formel:
- Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante genannt:
- Mit dieser vereinfacht sich die Lösungsformel zu :
- Der Diskriminante kann man die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung entnehmen.
- Zwei Lösungselemente
- Ein Lösungselement (Doppellösung)
- Kein Lösungselement
- Hintergrundinformationen
Der Satz von Vieta
[Bearbeiten]- Sind Lösungen der quadratischen Gleichung so können diese mit dem Wurzelsatz von Vieta und überprüft werden.
- Hintergrundinformationen
Nullstellen und Linearfaktoren
[Bearbeiten]- Sind und die Nullstellen der quadratischen Funktion , so kann man die Funktionsgleichung auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben:
- Hintergrundinformationen
Schnittpunkt von Parabel und Gerade
[Bearbeiten]- sei die Funktionsgleichung einer Parabel und die einer Geraden.
- Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen quadratische Gleichung.
- Falls nun:
- Die Parabel und die Gerade schneiden sich in zwei Punkten.
- Die Parabel und die Gerade berühren sich in einem Punkt.
- Die Parabel und die Gerade haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
- Hintergrundinformationen
Schnittpunkt zweier Parabeln
[Bearbeiten]- seien die Funktionsgleichungen zweier Parabeln.
- Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen quadratische Gleichung.
- Falls nun:
- Die Parabeln schneiden sich in zwei Punkten.
- Die Parabeln berühren sich in einem Punkt.
- Die Parabeln haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
- lineare Gleichung Die Parabeln haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.
- Hintergrundinformationen
Weblinks
[Bearbeiten]- Übungen zu Quadratischen Funktionen
- Parabelanalysator Eine umfassende Analyse mit Darstellung des Graphen (JavaScript interaktiv).
- Schnittpunkte von Parabel und Gerade Berechnung der Schnittpunkte und Darstellung der Graphen (JavaScript interaktiv).
- Schnittpunkte zweier Parabeln Berechnung der Schnittpunkte und Darstellung der Graphen (JavaScript interaktiv).
- Parabel durch drei Punkte Berechnung der Funktionsgleichung und Darstellung der Graphen (JavaScript interaktiv).
- Videolektion + Lernsoftware zu den Quadratischen Funktionen (EchtEinfach.tv)