Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Funktionstypen

Besonderheit einer Funktion

Abschnittsweise definierte Funktion

Der Definitionsbereich wird in Intervalle eingeteilt, denen verschiedene Funktionsgleichungen zugeordnet werden.

Beispiel:

Briefporto im Land Postalien: f(x) Taler für eine Postsendung von x Gramm. x setzt sich aus den Intervallen 0 bis 20; über 20 bis 100; mehr als 100 zusammen.

$f(x)={\begin{cases}1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad 0<x\leq 20\\2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad 20<x\leq 100\\{\frac {1}{50}}\cdot x&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x>100\end{cases}}$

Algebraische Funktionen

Allgemein wird die algebraische Funktion folgendermaßen dargestellt:

$f(x;y)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}a_{ij}x^{i}y^{j}=0$

mit $a_{ij}\in R$.

Da es hier keine explizite unabhängige und abhängige Variable gibt, nennt man diese Art der Darstellung implizit. Häufig ist es algebraisch unmöglich, eine implizite Funktion nach einer Variablen aufzulösen.

Beispiel:

$f(x;y)=2+5x^{3}-8xy^{4}+0,5y=0$.

Polynome

Beispiel:

$y=f(x)=0{,}01x^{4}-0{,}025x^{3}-0{,}5x^{2}+0{,}5x+4$ ist ein Polynom 4. Grades.

Allgemein:

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{0}x^{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ mit $i\in N$ ist ein Polynom nten Grades.

a_i nennt man die Koeffizienten des Polynoms.

Beispiele:

$f(x)=x^{4}-0,8x^{3}-2x^{2}+1$

$f(x)=x^{5}-5x^{3}+8x$

Unten folgt die Grafik der Funktion

$f(x)={\frac {1}{20}}(x+4)\cdot (x+2)\cdot (x+1)\cdot (x-1)\cdot (x-3)$.

Man sieht, dass sich durch Ausmultiplizieren wieder ein Polynom ergibt, und zwar fünfter Ordnung.

Bestimmte Eigenschaften kann man Polynomen an der "Nasenspitze" ansehen:

Ist der Grad des Polynoms ungerade, ist die Funktion nach oben und unten unbeschränkt. Ist der Koeffizient $a_{n}$ positiv, verläuft die Funktion tendenziell von links unten nach rechts oben, gewissermaßen von Südwesten nach Nordosten. Ist dagegen $a_{n}$ negativ, verläuft die Funktion tendenziell von links oben nach rechts unten, also gewissermaßen von Nordwesten nach Südosten. In der obigen Grafik ist $a_{n}$ positiv.

Polynome lassen sich sämtlich faktorisiert darstellen, also in der Form

$f(x)=a_{n}\cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})\cdot (x-x_{3})\cdot \cdots \cdot (x-x_{n})$.

Die $x_{i}$ sind die Nullstellen des Polynoms.

Spezielle Polynome

1. Konstante Funktion f(x) = a

Funktion $y=15$

Beispiele

In einem Restaurant kann man bei einem Salatbüffet für einen Preis (y) von 15 € soviel Gramm (x) Salat essen, wie man möchte.

Eine bekannte ökonomische Anwendung der konstanten Funktion sind die fixen Kosten, die auch für alle produzierten Mengen x gleich bleiben.

Die Rechteckverteilung oder stetige Gleichverteilung, die aus der Statistik bekannt ist, hat auch eine konstante Funktion als Dichtefunktion.

2. Lineare Funktion f(x)= a + bx.

Die lineare Funktion wird aufgrund ihrer einfachen Handhabung häufig für wirtschaftswissenschafliche Anwendungen verwendet.

Eine Gerade wird durch zwei Punkt eindeutig bestimmt. Sind die Wertepaare (x₁;y₁) und (x₂;y₂) gegeben, errechnen sich die Steigung b als

$b={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

und das Absolutglied als $a=y_{1}-bx_{1}$.

3. Quadratische Funktion $f(x)=ax^{2}+bx+c$

Beispiel

$y=4-(3-x)^{2}=-x^{2}+6x-5$.

Gebrochen rationale Funktion

Die gebrochen rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome

Beispiele:

$f(x)={\frac {x^{3}}{3-x^{2}}}$ für $x\pm {\sqrt {3}}$ ist f(x) nicht definiert.

$f(x)={\frac {1}{x}}$ für $x\in R\setminus \{0\}$

$f(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}+2}}$ für $x\in R$.

$f(x)={\frac {1+(2+x)^{3}}{(2+x)^{2}}}$

$=2+x+{\frac {1}{(2+x)^{2}}}$ für $x\neq -2$.

Wurzelfunktionen

Eine Wurzelfunktion ergibt sich, wenn eine implizite algebraische Funktion nach y aufgelöst wird.

Beispiel für Auflösung einer algebraischen Funktion:

$f(x;y)=y^{3}-x^{2}+4=0\Rightarrow y^{3}=x^{2}-4=0$

$\Rightarrow f(x)=y={\sqrt[{3}]{x^{2}-4}}$

Beispiel einer volkswirtschaftlichen Produktionsfunktion:

$f(x)=A^{\beta }\cdot K^{1-\beta }$ mit y: Produktion, A: Arbeit und K: Kapital, 0 ≤ β ≤ 1.

Beachten: Im allgemeinen ist bei einfachen Wurzelfunktionen $D=R_{0}^{+}$

Transzendente Funktionen

Alle Funktionen, die nichtalgebraisch sind, werden transzendente Funktionen genannt. Im Folgenden werden ausgewählte transzendente Funktionen behandelt.

Exponentialfunktionen

Beispiele

• $f(x)=2^{-x}$
• $f(x)=e^{\frac {x-1}{x+3}}$
• $f(x)={\frac {5^{\sqrt {x}}}{1-e^{\frac {x^{2}}{2}}}}$

Spezialfälle sind die elementaren Exponentialfunktionen $f(x)=a^{x}$ für a > 0.

Exponentialfunktionen werden häufig bei stetigen Wachstumsfunktionen verwendet.

Beispiel: Wachstum der Bevölkerung einer Stadt

Zu Anfang, im Zeitpunkt t=0, zählt man 1200 Einwohner. Die Wachstumsrate ist 0,1. Ber Bestand im Zeitablauf kann beschrieben werden als

$f(t)=1200e^{0,1t}$

Bestand im Jahr 10: $1200e^{0,1\cdot 10}=1200e=3262$.

Beispiel für die Entwicklung der Nachfrage eines neuen Gutes im Zeitablauf:

$f(x)={\frac {40}{1+3\cdot e^{-{\frac {2}{3}}t}}}$.

Das ist die logistische Funktion

$f(x)={\frac {a}{1+b\cdot e^{-ct}}}$,

wobei a der Sättigungswert ist.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen:

Für x ≥ 0 sind a^x streng monoton steigend und a^-x streng monoton fallend. Sie sind nach unten beschränkt und haben keine Nullstelle.

Logarithmusfunktionen

Die einfache Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der einfachen Exponentialfunktion. Es ist mit $x=g(y)$ und $y=f(x)$

z. B.:

$x=e^{y}\Leftrightarrow y=\ln x$.

Allgemein:

$x=a^{y}\Leftrightarrow y=\log _{a}x$.

Logarithmusfunktionen sind streng monoton steigend und unbeschränkt. Alle einfachen L-Funktionen sind nur für x > 0 definiert und schneiden die Abszisse im Punkt 1.

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