Beschreibung des Logarithmus [ Bearbeiten ] Man geht aus von
a
y
=
x
,
{\displaystyle a^{y}=x,}
a>0, x>0, a ≠ 1, y ∈ ℝ. Löst man die Gleichung nach y auf ergibt sich
log
a
x
=
y
{\displaystyle \log _{a}x=y}
a
y
=
x
{\displaystyle a^{y}=x}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
log
a
x
=
y
{\displaystyle \log _{a}x=y}
2
y
=
64
{\displaystyle 2^{y}=64}
log
2
64
=
6
{\displaystyle \log _{2}64=6}
2
6
=
64
{\displaystyle 2^{6}=64}
10
y
=
10.000
{\displaystyle 10^{y}=10.000}
log
10
10.000
=
4
{\displaystyle \log _{10}10.000=4}
10
4
=
10.000
{\displaystyle 10^{4}=10.000}
10
y
=
2
{\displaystyle 10^{y}=2}
log
10
2
=
0
,
30103
{\displaystyle \log _{10}2=0,30103}
10
0
,
30103
=
2
{\displaystyle 10^{0,30103}=2}
Spezielle Logarithmen [ Bearbeiten ] Der Logarithmus zur Basis 10 ist der dekadische Logarithmus. Er wird einfach "lg x" geschrieben. Er ist besonders einfach zu handhaben:
lg
2
=
0
,
30103
{\displaystyle \lg 2=0,30103}
lg
20
=
1
,
30103
{\displaystyle \lg 20=1,30103}
lg
200
=
2
,
30103
{\displaystyle \lg 200=2,30103}
Der Logarithmus zur Basis 2 wird auch dualer Logarithmus genannt. Man verwendet ihn vor allem in der Informatik, etwa zur Ermittlung der Zahl von Leitungen, die man für die Programmierung von Mikrochips braucht. Man schreibt ihn "ld x".
Häufig verwendet wird auch der Logarithmus zur Basis e, der natürliche Logarithmus. Aufgrund seiner einfachen Ableitung wird er gerne in der Analysis verwendet. Dieser Logarithmus wird in der Regel "ln x" geschrieben.
Verwendung finden Logarithmen beispielsweise zur Auflösung komplizierter Gleichungen oder für die Umformung sehr unterschiedlich großer Werte.
Rechenregeln für Logarithmen [ Bearbeiten ] bei beliebiger Basis a.
1.
log
a
x
y
=
log
a
x
+
log
a
y
{\displaystyle \log _{a}xy=\log _{a}x+\log _{a}y}
2.
log
a
x
y
=
log
a
x
−
log
a
y
{\displaystyle \log _{a}{\frac {x}{y}}=\log _{a}x-\log _{a}y}
3.
log
a
x
n
=
n
⋅
log
a
x
{\displaystyle \log _{a}x^{n}=n\cdot \log _{a}x}
4.
log
a
x
n
=
1
n
⋅
log
a
x
{\displaystyle \log _{a}{\sqrt[{n}]{x}}={\frac {1}{n}}\cdot \log _{a}x}
5.
log
a
1
=
0
{\displaystyle \log _{a}1=0}
zB.
10
y
=
1
{\displaystyle 10^{y}=1}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
10
0
=
1
{\displaystyle 10^{0}=1}
6.
log
a
(
a
x
)
=
x
{\displaystyle \log _{a}(a^{x})=x}
a
l
o
g
a
x
=
x
{\displaystyle a^{log_{a}x}=x}
Speziell:
ln
(
e
x
)
=
x
{\displaystyle \ln(e^{x})=x}
e
ln
x
=
x
;
{\displaystyle e^{\ln x}=x;}
lg
(
10
x
)
=
x
{\displaystyle \lg(10^{x})=x}
10
lg
x
=
x
{\displaystyle 10^{\lg x}=x}
Übungen zu Logarithmen [ Bearbeiten ] Aufgabe 1
Berechnen Sie ohne Taschenrechner
log
5
125
{\displaystyle \log _{5}125}
lg
1
M
i
o
.
{\displaystyle \lg {\frac {1}{Mio.}}}
log
2
256
{\displaystyle \log _{2}256}
ln
1
e
{\displaystyle \ln {\frac {1}{e}}}
![{\displaystyle \log _{a}{\sqrt[{n}]{x}}={\frac {1}{n}}\cdot \log _{a}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2086e451e807e3ad0829651fed14a3b66081e48c)
