Mathematikunterricht/ Prim/ Multiplikation 1

Multiplikation

Zurück

Für die Multiplikation stehen im Zehnersystem verschiedene Varianten zur Verfügung, die sich durch unterschiedliche Schnelligkeit und Effizienz oder Klarheit und Nachvollziehbarkeit unterscheiden:

Multiplikation mit Tabelle

Die Multiplikation mit Tabelle hat den Vorteil, dass sie sehr einfach ist und auch verallgemeinert werden kann, und für den Fall, dass die Division aufgeht, auch umgekehrt für die Division genutzt werden kann. Da der Vorgang als ganzes dokumentiert wird, kann er auch zur Herleitung der anderen Multiplikationsverfahren verwendet werden.

Leider wird dieses Verfahren in Deutschland in der Schule nicht gelehrt, (weil es angeblich zu einfach ist?)

Beispiel : Multipliziere 3456 mit 9753

Zunächst werden die beiden Zahlen an den Rand einer Tabelle geschrieben:

${\begin{matrix}3\\4\\5\\6\\&9&7&5&3\end{matrix}}$

Sodann werden in jedes Feld der Tabelle die Produkte der Zahlen am linken und unteren Rand geschrieben:

${\begin{matrix}3&27&21&15&9\\4&36&28&20&12\\5&45&35&25&15\\6&54&42&30&18\\&9&7&5&3\end{matrix}}$

Im nächsten Schritt werden die Elemente der Tabelle in jeder Diagonale aufaddiert:

${\begin{matrix}&&&27&57&88&118\\&&\nearrow &\nearrow &\nearrow &\nearrow &79\\3&27&21&15&9&\nearrow &45\\4&36&28&20&12&\nearrow &18\\5&45&35&25&15&\nearrow \\6&54&42&30&18\\&9&7&5&3\end{matrix}}$

Abschließend werden diese Zwischenwerte nach ihrem Stellenwert im Dezimalsystem addiert (am besten von unten nach oben):

${\begin{array}{rr}&27000000\\&5700000\\&880000\\&118000\\&7900\\&450\\&18\\&----\\&33706368\end{array}}$

Stellenweise Multiplikation

Das übliche Standardverfahren der schriftlichen Multiplikation unterscheidet sich von dem obigen Verfahren nur dadurch, dass man den letzten Schritt teilweise vorwegnimmt und pro Zeile (oder Spalte, je nach Reihenfolge) der obigen Tabelle die Spalte übertragsmäßig zu einer Zahl zusammenfasst, um dann im allerletzten Schritt der stellenweisen Multiplikation alle so erhaltenen Zahlen noch einmal zusammenzuzählen.

15 zu 09 = 159

21 zu 159 = 2259

27 zu 2259 = 29259

entsprechen ergeben sich die anderen Zeilen zu

39012, 48765 und 58518

so dass sich das bekannte Schema ergibt:

3	4	5	6	*	9	7	5	3
2	9	2	5	9
	3	9	0	1	2
		4	8	7	6	5
			5	8	5	1	8
3	3	7	0	6	3	6	8

Dieses Verfahren kann aber noch verbessert werden, indem man die Reihenfolge ändert, in der die Multiplikationen und Additionen durchführt werden. Dies führt zur Überkreuzmultiplikation:

Überkreuzmultiplikation

• Man schreibt die zu multiplizierenden Zahlen übereinander:

3456

9753

• Sodann multipliziert man im ersten Schritt die Ziffern, die übereinander stehen. Ergibt sich dabei eine einstellige Zahl so schreibt man eine führende 0 mit:

2

7

2

8

2

5

1

8

• Im nächsten Schritt multipliziert man je vier Zahlen überkreuz:

aus

56

53

bildet man 5*3+5*6=45

45

75

wird 4*5+7*5 =55

34

97

wird 3*7+9*4=57

• Die so gebildeten Zahlen werden um eins versetzt unter die erste Zeile geschrieben:

2	7	2	8	2	5	1	8
	5	7	5	5	4	5

Im folgenden Schritt werden wieder je vier Zahlen überkreuz multipliziert und zwar die in der ersten und dritten Stelle:

4.6

7.3

wird 4*3+7*6= 54

und in der vierten und zweiten Stelle:

3.5

9.5

wird 3*5+9*5= 60

Die so gebildeten Zahlen werden wieder um eins versetzt unter die bisherigen Zahlen geschrieben:

2	7	2	8	2	5	1	8
	5	7	5	5	4	5
		6	0	5	4

Schließlich wird das Überkreuzprodukt der ersten und vierten Stelle gebildet:

3..6

9..3

wird 3*3+9*6= 63

Dies wird wieder um eins versetzt unter die bisherigen Zahlen geschrieben:

2	7	2	8	2	5	1	8
	5	7	5	5	4	5
		6	0	5	4
			6	3

Zu guter letzt wird alles normal addiert:

2	7	2	8	2	5	1	8
	5	7	5	5	4	5
		6	0	5	4
			6	3
3	3	7	0	6	3	6	8

Dies Verfahren fasst also je zwei Multiplikationen zusammen. Es eignet sich zwei- und sogar dreistellige Zahlen im Kopf zu multiplizieren und ist insbesondere dann vorteilhaft, wenn die beiden Zahlen in einigen Ziffern übereinstimmen oder Nullen und Einsen enthalten, da dann die Multiplikationen sehr einfach werden.

Binomische Formeln

Man kann aber noch intelligenter Zahlen multiplizieren:

Nach der dritten binomischen Formel gilt:

$(a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}$

Das lässt sich ausnutzen, wenn die Differenz der beiden zu multiplizierenden Zahlen gerade ist und klein:

Beispiel multipliziere 21 und 19:

Da 21 = 20+1 und 19 = 20 -1

ist das Ergebnis 20^2-1^2= 400 - 1 = 399

oder z.B.: $33\cdot 27=(30+3)\cdot (30-3)=30^{2}-3^{2}=900-9=891$

Es lohnt sich also die Quadratzahlen zu kennen.

• Wer die Quadratzahlen sehr gut beherrscht findet sogar die folgenden Formeln nützlich (die sich aus der ersten und zweiten Binomischen Formel herleiten):

ab= ((a+b)^2 -a^2 -b^2 )/ 2

und

ab= ((a+b)^2 - (a-b)^2 )/ 4

und

ab= (a^2 + b^2 - (a-b)^2) / 2

Die Babylonier haben auf diese Art und Weise multipliziert.

Karatsuba-Algorithmus

Das folgende Verfahren wird von Computern bei der Multiplikation sehr großer Zahlen verwendet:

Es gilt $(10a+b)\cdot (10c+d)=100ab+10(ac+bd-(a-b)(c-d))+bd$.

An Stelle von 10 und 100 steht allgemein 10^k und 10^2k.

Das bedeutet, statt wie üblich die 4 Produkte ac, ad, bc, bd zu bilden, werden nur die 3 Produkte ac und bd und das Differenzenprodukt (a-b)(c-d) gebildet. Für große Zahlen ergibt sich daraus eine ganz erhebliche Reduktion des Multiplikationsaufwandes. Im Gegenzug erhöht sich die Zahl der Additionen und Subtraktionen, die aber zumindest für Computer als kostenlos gelten.

Schauen wir einmal, ob sich auch für uns eine Erleichterung ergibt:

• Wir schreiben die zu multiplizierenden Zahlen wieder untereinander:

3	4	5	6
9	7	5	3

• Diesmal beginnen wir mit der Bildung der Differenzenprodukte und betrachten wieder je 4 Zahlen:

aus

56

53

wird $(5-6)\cdot (5-3)=(-1)(2)=-2$

Wir bilden wieder ein Zahlenschema aus, indem wir die Zahlen darunter schreiben. Die Vorzeichen sind jetzt sehr wichtig.

3	4	5	6
9	7	5	3
			-2

aus

45

75

wird (4-5)(7-5)=(-1)(2)= -2

3	4	5	6
9	7	5	3
		-2	-2

aus

34

97

wird (3-4)(9-7)=(-1)(2)=-2

3	4	5	6
9	7	5	3
	-2	-2	-2

es folgen wieder die versetzten Stellen:

aus

4.6

7.3

wird (4-6)(7-3)=(-2)(4)=-8

3	4	5	6
9	7	5	3
	-2	-2	-2
			-8

aus

3.5

9.5

wird (3-5)(7-3)=(-2)(4)= -8

3	4	5	6
9	7	5	3
	-2	-2	-2
		-8	-8

und schließlich: aus

3.6

9.3

wird (3-6)(9-3)=(-3)(6)=-18

3	4	5	6
9	7	5	3
	-2	-2	-2
		-8	-8
		-18

• Dies ist die Matrix unserer Korrekturdifferenzen. Da diese alle negativ sind, müssen wir im folgenden die absoluten Zahlen addieren. (Das Beispiel ist in so fern schlecht als dass die Korrekturdifferenzen zufällig in jeder Zeile gleich sind.)

Nun beginnen wir wieder mit der Multiplikation wie oben, indem wir die übereinanderstehenden Zahlen multiplizieren und nebeneinander schreiben:

3456

9753

27.28.25.18

• Bemerkung: Wir haben nun 4 Einstellenprodukte und 6 Differenzenprodukte also insgesamt 10 Produkte gebildet, anstelle von sonst üblichen 16 Produkten für diese Zahlen.

• Von nun an addieren und subtrahieren wir nur noch. (Subtrahiert werden nur positive Differenzenprodukte. Das ist in diesem Beispiel nicht der Fall)

2

7

2

8

2

5

1

8

25+18+2= 45

ergibt:

2	7	2	8	2	5	1	8
					4	5

28 + 25 +2 =55

ergibt

2	7	2	8	2	5	1	8
			5	5	4	5

27 + 28 + 2 = 57

ergibt

2	7	2	8	2	5	1	8
	5	7	5	5	4	5

28 + 18 + 8= 54

2	7	2	8	2	5	1	8
	5	7	5	5	4	5
				5	4

27 + 25 + 8 = 60

2	7	2	8	2	5	1	8
	5	7	5	5	4	5
		6	0	5	4

27 +18 + 18 = 63

2	7	2	8	2	5	1	8
	5	7	5	5	4	5
		6	0	5	4
			6	3

• Die Summe ist dann wieder die gesuchte Zahl.

• Wer also gut im Kopf addieren kann und dies besser als multiplizieren, für den kann der Karatsuba-Algorithmus also auch von Vorteil sein, obwohl die Anzahl der Additionen recht groß wird.

Russische Multiplikation

Dieses Verfahren heißt auch Bauernmultiplikation:

Die Multiplikation kann durch fortlaufendes Halbieren und Verdoppeln nach diesem Verfahren durchgeführt werden. Es ergibt sich durch die Darstellung einer der beiden Zahlen als Summe von Zweierpotenzen und das Distributivgesetz.

• Schreibe eine der beiden Zahlen an. Teile sie durch 2 und schreibe das Ergebnis ohne Rest darunter. Setze diesen Prozess solange fort bis am Ende 1 steht.
• Schreibe nun neben die oberste Zahl die Zweite Zahl. Verdopple diese und schreibe Sie darunter. Setze diesen Prozess bis zum Ende der Spalte fort.
• Addiere nun alle Zahlen die neben einer ungeraden Zahl stehen:

Beispiel: Berechne 23 x 13.

Halbiere	Verdopple	Addiere	----------	Halbiere	Verdopple	Addiere
23	13	13		13	23	23
11	26	26		6	46
5	52	52		3	92	92
2	104			1	184	184
1	208	208
		299				299	Ergebnis