Mathematikunterricht/ Prozent- und Zinsrechnung

Prozentrechnung

Um Bruchteile von Größen gut miteinander vergleichen zu können, wählt man als gemeinsamen Nenner die Zahl 100. Brüche mit dem Nenner 100 nennt man auch Prozentsätze.

%

Das Zeichen % heißt Prozentzeichen und bedeutet Hundertstel.

Grundbegriffe

G  = Grundwert   = 100%
p% = Prozentsatz =
P  = Prozentwert

Beim Vergleichen von Größen nennt man die Bezugsgröße Grundwert (G) und die Größe, mit der man vergleicht, Prozentwert (W).

Beispiel:
Von 100 geborenen Kindern sind 47 Mädchen

Formeln

Grundformel:

${\frac {P}{G}}={\frac {p}{100}}$

• Wenn der t (W) gesucht wird:
  • Entweder: P = p% · G

• Oder:

$P={\frac {p\cdot G}{100}}$

• Wenn der Prozentsatz (p%) beziehungsweise die Prozentzahl (p) gesucht wird:
  • Entweder:

$p\%={\frac {P}{G}}$

• Oder:

$p={\frac {P}{G}}\cdot 100$

• Wenn der Grundwert (G) gesucht wird:
  • Entweder:

$G={\frac {P}{p\%}}$

• Oder:

$G={\frac {P}{p}}\cdot 100$

Die errechneten Prozentwerte werden gerne in Kreisdiagrammen eingetragen, da man am Kreis die Gesamtheit (100%) sofort und auf nur einen Blick erkennt. Tipp:Um das Winkelmaß für den Kreis herauszufinden, wendet den Dreisatz an. Dabei wird die Gradzahl des kompletten Kreises (360°) durch den Prozentsatz geteilt. Zuerst rechnet man 360 geteilt durch 100, dann erhält man das Winkelmaß 3,6° im Kreis (für 1%). Mit dem Wert 3,6° und einem Prozentsatz, kann man nun die Winkelmaße für den gesamten Kreis berechnen.

Prozentrechnung mit vermehrten und verminderten Grundwerten

Im Alltag kommt es öfters vor, das vom ursprünglichen Grundwert erhöht oder gesenkt wird. Dies ist uns von den Warenpreisen in Geschäften bestens bekannt. Wird der Grundwert vermindert, sprechen wir bei Preisen von Rabatt, der Artikel wird im Vergleich zum ursprünglichen Wert billiger. Bei einem vermehrten Grundwert, dies ist bei Steuern der Fall, wird der Artikel teurer.

Beispiel: Ein Programm kostet 90€
a) Der Preis wird um 10% erhöht
b) Der Preis wird um 10% gesenkt 

 
a): Dies ist ein Fall von vermehrten Grundwerten
P' = G ·(1 + p/100)
   = 90€ · 1,10
   = 99€

b): Dies ist ein Fall von verminderten Grundwerten
P' = G ·(1 - p/100)
   = 90€ · 0,9
   = 81€

Zinsrechnung

Die Zinsrechnung stellt eine besondere Form der Prozentrechnung da, bei der die Zeit noch berücksichtigt werden muss. Zinsen sind eine Vermehrung oder Vergütung des anfänglichen Kapitals oder Grundbetrags, für eine überlassung über einen bestimmten Zeitraum für einen bestimmten Zinssatz. Wie hoch die Zinsen letzten Endes sind, hängt von der Zeitspanne, dem Zinssatz und dem Kapital ab. Man kennt Zinsen zum Beispiel, wenn man ein Sparbuch oder ein Bausparkonto hat und dort Geld anlegt, erhöht sich der Betrag in bestimmten Sätzen.

Grundbegriffe

Z  = Zinsen
K  = Kapital
p% = Zinssatz
p  = Zinszahl
t  = Zeit (in Jahren)

Die Zeit (t) wird in Jahren angegeben, wobei ein Zinsjahr auf 360 und ein Zinsmonat auf 30 Tage festgelegt wurde.

Für 3 Monate gilt zum Beispiel:

$t={\frac {3}{12}}$

Für 94 Tage gilt zum Beispiel:

$t={\frac {94}{360}}$

Formeln

Grundformel:

$Z={\frac {K\cdot p\cdot t}{100}}$
100 · Z = K · p · t

• Zum Errechnen des Kapitals:

$K={\frac {100\cdot Z}{p\cdot t}}$

• Zum Errechnen der Zinszahl:

$p={\frac {100\cdot Z}{K\cdot t}}$

• Zum Errechnen der Zeit:

$t={\frac {100\cdot Z}{K\cdot p}}$