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Verschiedene Darstellungen einer Zahl

Die gleiche Zahl kann man in verschiedenen Weisen schreiben. Man spricht von unterschiedlichen Darstellungen der Zahl:

$0,3^{2}=0{,}09={\frac {9}{100}}={\frac {21}{300}}=9\%$

${\sqrt {64}}=800\%=8={\frac {80}{10}}={\frac {40}{5}}$

Zur Erinnerung: $\textstyle {9 \over 100}$und $\textstyle {80 \over 10}$oder $\textstyle {40 \over 5}$sind Darstellungen einer Zahl ($\textstyle {9 \over 100}$von 0,09 und $\textstyle {80 \over 10}$oder $\textstyle {40 \over 5}$von 8). 9:100 oder 80:10 sind hingegen nicht Darstellungen einer Zahl, sondern Divisionen zwischen zwei Zahlen, auch wenn das Ergebnis der Division doch die gleiche Zahl ist, wie bei den entsprechenden Brüchen (also 0,09 bzw. 8).

Runden

Allgemein

Das Quadrat von 7 ist 49 und daher ist die Wurzel von 49 gleich 7 (sie sind Gegenrechnungen). Was ist aber mit der Wurzel von 7? Wenn man die Rechnung mit einem einfacheren Taschenrechner macht, kommt das folgende Ergebnis vor:

2,6457513110645905905

Das bedeutet, dass das Quadrat von 2,6457513110645905905 (die Gegenrechnung) 7 sein sollte. Wenn man aber mit dem Taschenrechner die Rechnung macht:

2,6457513110645905905² = 2,6457513110645905905 · 2,6457513110645905905

kommt 6,99999999999999999999 als Ergebnis heraus, was zwar fast 7 ist, aber nicht genau 7!

Man spricht in diesem Fall vom Runden. Der Taschenrechner gibt beim Wurzelziehen ein Ergebnis an, das nicht genau ist. Das genaue Ergebnis hat unendlich viele Nachkommastellen. Es ist unmöglich die Wurzel von 7 mit einer Kommazahl ganz genau zu bestimmen. Die einzige Weise die Wurzel von 7 genau anzugeben, ist  ${\sqrt {7}}$  zu schreiben!

Wie genau das Ergebnis mit Kommastellen ist, hängt vom Taschenrechner ab. Jeder Taschenrechner kann eine bestimmte Anzahl von Nachkommastellen berechnen. Die Wurzel aus 7 mit einer Kommazahl genau anzugeben ist aber nicht möglich.

Der Taschenrechner gibt ein Ergebnis an, das so nah wie möglich zum tatsächlichen Wert von $\ {\sqrt {7}}\$ ist und so viele Nachkommastellen hat, wie der Taschenrechner berechnen kann. In der Anzeige des Taschenrechners stehen sogar oft weniger Stellen (wieder gerundet) als die Stellen, die der Taschenrechner berechnen kann.

Das Runden ist in solchen Fällen unvermeidbar und oft notwendig und sinnvoll. Stellen wir uns vor, dass ein Produkt 6€ kostet. In einer Sonderaktion wird allerdings ein Rabatt 17% gewährt. In diesem Fall ist der Preis nach dem Rabatt:

6 ⋅ 0,83 = 4,938€

Hier muss man wieder runden. Die Münze mit dem kleinsten Wert ist 1¢ (0,01€). So was wie 0,008€ kann man nicht in Bar bezahlen. Man kann auch nicht genau 4.938€ bezahlen. Man muss auf zwei Nachkommastellen runden:

4,938€ ≈ 4,94€ PSA Mathematik: Vorlage:Navigationsleiste1 Warum haben wir hier 4,94 und nicht 4,93 geschrieben?

4,938 liegt näher bei 4,94 als bei 4,93.

Wenn man rundet, rundet man auf (also eins nach oben), wenn die nächste Ziffer 5 oder mehr ist. Man rundet ab (also die Ziffer bleibt die gleiche), wenn die nächste Ziffer weniger als 5 ist:

5,6873729 ≈ 5,69      5,6873729 ≈ 5,687373

5,6873729 ≈ 5,68737     5,6873729 ≈ 5,687     8,785 ≈ 8,79

Man muss allerdings sagen: es gibt auch andere Regeln, wie man rundet, wenn die nächste Stelle eine einzige 5 ist. Dieses Thema wird später in diesem Kapitel erklärt.

Wie viele Nachkommastellen muss man schreiben? Das ist vom Problem abhängig.

Die Ziffern ohne die Nullen zu Beginn oder am Ende der Zahl nennt man gültige Ziffern.

Es kann sein, dass bei einer Aufgabe festgelegt wird, auf wie viele Stellen gerundet wird:

Aufgabe: Runden auf drei (gültige) Stellen (oder in diesem Beispiel auf zwei Nachkommastellen)

5,6873729 ≈ 5,69

Aufgabe: Runden auf sieben Stellen (oder in diesem Beispiel auf sechs Nachkommastellen)

5,6873729 ≈ 5,687373

Aufgabe: Runden auf sechs Stellen (oder in diesem Beispiel auf fünf Nachkommastellen)

5,6873729 ≈ 5,68737

Aufgabe: Runden auf vier Stellen (oder in diesem Beispiel auf drei Nachkommastellen)

5,6873729 ≈ 5,687

Aufgabe: Runden auf zwei (gültige) Stellen (oder in diesem Beispiel auf vier Nachkommastellen)

0,002356 ≈ 0,0024

Wenn es keine Angabe über die gültigen Ziffern gibt, schreibt man nicht mehr als 5 oder 6 gültigen Ziffern insgesamt (also samt Ziffer vor dem Komma), beispielsweise:

895,76038≈895,760    0,007854309826≈0,00785   9874086973≈9874100000

In manchen Fällen sollte es von der Aufgabe klar sein, wie vielen gültige Stellen zu erwarten sind. Ein solchen Beispiel haben wir schon mit dem € gesehen.

Ein anderes Beispiel ist, wenn man ein Messband benutzt, um einen Abstand zu messen. Ein Messband kann nur bis mm messen und nichts kleineres. Wenn der gemessene Abstand 145cm ist und ihn in 7 teilt, kann das Ergebnis nur eine Nachkommastelle haben (mm).

Wenn man die Zeit mit einem elektronischen Stoppuhr misst, zeigt diese oft Nachkkommastellen nach der Sekunde, z.B. 6,463s. Das ist wieder völlig daneben, da die Reaktionszeit des Menschen mehr als 0,1s ist. Man kann also mit einer Stoppuhr, die mit der Hand betrieben wird, nicht genauer als eine Nachkommastelle nach der Sekunde messen. Die restlichen Nachkommastellen führen zum falschen Eindruck, dass man doch so genau (mit drei Nachkommastellen) messen kann.

Hier kann man auch erklären: Eine Zahl ändert sich nicht, wenn man eine oder mehrere Nullen vor der ersten Ziffer oder nach der letzten Nachkommastelle hinzufügt:

7,34 = 007,34 = 7,340 = 7,34000 = 000007,34000000

8888 = 8888,0000 = 0008888

Aufrunden von 9

Wenn die Ziffer, die gerundet werden muss, 9 ist, gibt es beim Aufrunden eine gewisse Schwierigkeit. Die Ziffer sollte um 1 erhöht werden, es gibt aber keine Ziffer, die mehr als 9 ist. In diesem Fall wird wie bei der Division, also auch mit der vorherigen Ziffer gearbeitet. Runden wir folgende Beispiele auf drei gültigen Stellen:

• 8,695408

Wir wollen hier drei Stellen benutzen, die letzte Stelle ist 9. Nach der 9 folgt 5, wie müssen also aufrunden. 9 muss um 1 erhöht werden. Das geht nicht. Dann nimmt man zwei Ziffern (also hier die Ziffern nach dem Komma 69) und erhöht sie um 1 (69 wird zu 70). Also:

8,695408≈8,70

• 0,039995

Wir wollen wieder drei Stellen benutzen, die letzte Stelle ist 9. Nach der 9 folgt 9, wie müssen also aufrunden. 9 muss um 1 erhöht werden. Das geht nicht. Dann nimmt man zwei Ziffern (also hier die Ziffern 99) und versucht sie um 1 zu erhöhen. Das geht auch nicht, 99 ist die größte zweistellige Zahl. In diesem Fall nehmen alle drei Stellen (399) und erhöhen wir sie um 1:

0,039995≈0,0400

Die zwei Nullen nach dem 4 müssen geschrieben werden, um zu zeigen, dass es auf drei gültigen Stellen gerundet wurde.

• 999,73

In diesem Beispiel muss man wieder alle drei Stellen benutzen, das Runden findet aber doch davor statt!

999,73≈1000

Runden mit 5 als nächste Stelle

Der Fall der 5 ist nicht so ganz einfach, folgen noch weitere, von 0 verschiedene Ziffern, wird aufgerundet.

Kommen wir nun zum problematischen Fall, dem Fall 5 ohne weitere Ziffern danach:

Bei der sogenannten kaufmännischen Rundung wird auch bei 5 aufgerundet, was insbesondere bei Verkaufsgeschäften mit kleinen Beträgen dem Händler zugute kommt, wenn dieser viele ähnliche Geschäfte macht, daher vermutlich auch der Name.

Um das zu verstehen, stelle man sich viele zufällige Zahlen vor, die gerundet werden sollen. Einmal wird die Summe aller Zahlen vor der Rundung berechnet, nennen wir diese Summe V (vor der Rundung). Anschließend wird die Summe aller Zahlen nach der Rundung berechnet, nennen wir diese Summe N (nach der Rundung).

Man wird feststellen, dass N größer oder gleich V sein wird, was daran liegt, dass bei dieser Methode bei 5 immer aufgerundet wird.

Um das zu vermeiden, gibt es ein besseres Rundungsverfahren, bei dem es zwei Möglichkeiten gibt. Im Falle von 5 wird bei der einen Möglichkeit immer so gerundet, dass die letzte Ziffer gerade ist. Bei der anderen Möglichkeit wird bei 5 immer so gerundet, dass die letzte Ziffer ungerade ist. Man entscheidet sich bei einer Aufgabe der Rundung vieler Zahlen anfangs einmalig für eine der beiden Möglichkeiten und bleibt daraufhin dabei.

Bildet man wieder die Summenprobe, wird man feststellen, dass es Zufall ist, ob V oder N größer ist oder beide sogar gleich sind.

Man sagt: Das Verfahren ergibt keine systematischen Abweichungen.

Beispiel zur Rundung hin zur geraden Ziffer:

8,775 ergibt auf drei Stellen gerundet 8,78

8,765 ergibt auf drei Stellen gerundet 8,76

8,755 ergibt auf drei Stellen gerundet 8,76

0,125 ergibt auf zwei Stellen gerundet 0,12

0,135 ergibt auf zwei Stellen gerundet 0,14

0,145 ergibt auf zwei Stellen gerundet 0,14

Entsprechend zur Rundung hin zu ungeraden Ziffern:

8,775 ergibt auf drei Stellen gerundet 8,77

8,765 ergibt auf drei Stellen gerundet 8,77

8,755 ergibt auf drei Stellen gerundet 8,75

0,125 ergibt auf zwei Stellen gerundet 0,13

0,135 ergibt auf zwei Stellen gerundet 0,13

0,145 ergibt auf zwei Stellen gerundet 0,15

Welches Rundungsverfahren anzuwenden ist, hängt davon ab, in welchem Zusammenhang gerechnet wird (kaufmännisch, wissenschaftlich, statistisch). Weitere Details und weitere Möglichkeiten zu runden: Rundung