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Die elektromagnetische Schwingung

Experiment: Ein aufgeladener Kondensator wird an eine Spule angeschlossen, die Spannung am Kondensator aufgezeichnet.
Beobachtung: Die Spannung am Kondensator macht eine gedämpfte Oszillation.
Erklärung:

Bild 1, t=0: Der Kondensator ist aufgeladen, alle Energie steckt im elektrischen Feld. Der Strom steigt nun langsam an, weil die in der Spule induzierte Spannung so gerichtet ist, dass sie den Anstieg das Stroms zu hemmen sucht (→ Lenzsche Regel).
Bild 2, t=T/4: Die gesamte elektrische Energie des Kondensators hat sich in magnetische Energie der Spule umgewandelt. Aufgrund der Selbstinduktion der Spule fließt der Strom weiter und lädt den Kondensator jetzt umgekehrt gepolt wieder auf.
Bild 3, t=T/2: Der Kondensator ist mit umgekehrter Polung wieder aufgeladen.
Der Vorgang läuft umgekehrt nochmals ab. Damit ist eine Schwingungsperiode abgeschlossen.

Ergebnis: Es existiert eine elektromagnetische Schwingung, bei der periodisch Energie des elektrischen Feldes in Energie des magnetischen Feldes und umgekehrt umgewandelt wird.

Mathematische Beschreibung der elektromagnetischen Schwingung

LC-Schwingkreis: Zum Zeitpunkt $t=0$ wird der Kondensator $C$ über die Induktivität $L$ entladen.

Durch Anwendung der Maschenregel im Schwingkreis erhält man:

0=U_{C}+U_{L}.

$U_{C}$ und $U_{L}$ sind nicht unabhängig voneinander. Es bietet sich an, die Spannungen über die Ladung bzw. die Änderung des Stromes auszudrücken:

U_{C}={\frac {Q}{C}}\quad {\text{ und }}\quad U_{L}=L\cdot {\dot {I}}.

Eingesetzt ergibt sich:

{\frac {Q}{C}}+L\cdot {\dot {I}}=0\,.

Bestimmung der Ladung $Q(t)$

Zwischen der Ladung $Q$ und dem Strom $I$ besteht ein Zusammenhang. Fließt ein Strom, so ändert sich die Ladung auf den Kondensatorplatten. Umgekehrt hat jede Änderung der Kondensatorladung einen Stromfluss zu Folge. Bei unserer Definition der Stromrichtung bewirkt ein positiver Strom ein Anwachsen der Ladung auf den Kondensatorplatten. Die Definition der elektrischen Stromstärke selbst:

I:={\frac {\Delta Q}{\Delta t}}

müssen wir, da sich die fließende Ladung permanent ändert, für infinitesimal kleine Zeitintervalle $\Delta t$ auswerten. Mathematisch wird aus dem Differenzenquotient der Differentialquotient:

I(t):={\frac {{\rm {d}}Q(t)}{{\rm {d}}t}}=Q'(t)={\dot {Q}}\quad \implies \quad {\dot {I}}(t)={\ddot {Q}}(t)

In unsere Gleichung eingesetzt erhalten wir:

{\frac {Q}{C}}+L\cdot {\ddot {Q}}=0\qquad \Rightarrow

Differentialgleichung (DGL) des elektrischen Schwingkreises: ${\ddot {Q}}(t)+{\frac {1}{LC}}\cdot Q(t)=0.$

Diese Differentialgleichung kennen wir bereits vom harmonischen Oszillator: Gesucht ist eine Funktion $Q(t)$ , die zwei mal abgeleitet bis auf den Faktor ${\frac {-1}{LC}}$ sich selbst ergibt. Wir können wieder einen entsprechenden Ansatz machen, oder die Konstanten der beim harmonischen Oszillator gefundene Lösung entsprechend anpassen. Man findet die allgemeine Lösung der Differentialgleichung des elektrischen Schwingkreises:

$Q(t)={\hat {Q}}\cdot \sin \left(\omega \cdot t-\varphi \right)\quad {\text{ mit: }}\quad \omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.$

Die maximale Ladung ${\hat {Q}}$ und die Phase $\varphi$ sind Integrationskonstanten, die durch die Anfangsbedingungen definiert werden.

Spannung $U(t)$ , Stroms $I(t)$ und Periodendauer $T$

Die Spannung am Kondensator erhalten wir aus der Beziehung $U={\frac {Q}{C}}:$

$U(t)={\hat {U}}\cdot \sin \left(\omega \cdot t-\varphi \right)\quad {\text{ mit: }}\quad {\hat {U}}={\frac {\hat {Q}}{C}}.$

Der elektrisch Strom ergibt sich gemäß $I(t)={\dot {Q}}(t)$ durch Ableiten:

$I(t)={\hat {I}}\cdot \cos \left(\omega \cdot t-\varphi \right)\quad {\text{ mit: }}\quad {\hat {I}}={\hat {Q}}\omega ={\frac {\hat {Q}}{\sqrt {LC}}}.$

Mit $T={\frac {2\pi }{\omega }}$ findet man:

Periodendauer $T$ des elektrischen Schwingkreises: $T=2\pi {\sqrt {LC}}$ → Thomsonsche Gleichung

Aufgabe: Spezielle Lösung aus den Anfangsbedingungen.

Resonanz im elektrischen Schwingkreis

Experiment: Ein elektrischer Schwingkreis wird durch induktive Kopplung zum Schwingen angeregt. Beobachtet werden Schwingungsamplitude und die Phasenbeziehung zwischen Erreger und Oszillator.
Beobachtung: Der Schwingkreis schwingt mit der Erregerfrequenz. Im Resonanzfall wächst die Amplitude stark an. Die Ergebnisse sind direkt mit dem Verhalten eines mechanischen Schwingkreises vergleichbar.