Physik Oberstufe/ Schwingungen und Wellen/ Mechanische Schwingungen

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Grundwissen mechanische Schwingungen[Bearbeiten]

Merkmale eines Oszillators[Bearbeiten]

  1. Der Oszillator besitzt eine Ruhe-/Gleichgewichtslage.
  2. Lenkt man den Oszillator aus der Ruhelage aus, so wirkt eine rücktreibende Kraft/Rückstellkraft.
  3. Aufgrund der Trägheit bewegt sich der Oszillator nach dem Loslassen unter Einfluss der Rückstellkraft durch die Ruhelage hindurch.

Begriffe[Bearbeiten]

  • Auslenkung, Elongation
  • Amplitude (maximale Auslenkung)
  • Geschwindigkeit
  • Beschleunigung
  • Periodendauer , verstreicht zwischen zwei aufeinander folgenden, gleichsinnigen Durchgängen des Oszillators an beliebigem Ort .
  • Frequenz
  • Kreisfrequenz

Das Federpendel[Bearbeiten]

Bestimmung der Rückstellkraft[Bearbeiten]

Ein Federpendel in Ruhelage und ausgelenkt. → Animation

Wir wollen die Rückstellkraft abhängig von der Auslenkung bestimmen. In der Ruhelage ist die Feder um ausgelenkt. Die Kraft der Feder kompensiert die Gewichtskraft , es gilt also:

Für die Rückstellkraft gilt:

und mit (1) folgt:

.

Bestimmung der Funktion [Bearbeiten]

Die Rückstellkraft wirkt auf die Masse und beschleunigt diese in Richtung der Ruhelage, entgegengesetzt zur Auslenkung .
Mit Newtons Gesetz:

ergibt sich:

.

Setzen wir für die Beschleunigung den Zusammenhang ein, erhalten wir:

Umgestellt ergibt sich die

Differentialgleichung (DGL) des harmonischen Oszillators:

Gesucht ist eine Funktion , die zwei mal abgeleitet bis auf den Faktor sich selbst ergibt.
Wir machen einen Ansatz:

Eingesetzt in Die DGL ergibt sich:

Diese Gleichung ist für alle Zeiten nur erfüllt, wenn die Klammer verschwindet, d.h.:

Schwingendes Federpendel.

Damit ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung des harmonischen Oszillators:

Die Amplitude und die Phase sind Integrationskonstanten, die durch die Anfangsbedingungen definiert werden.

Für die Schwingungsdauer des das Federpendels gilt:

Merke:

Ein Oszillator ist genau dann harmonisch, wenn die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung ist:

Die Schwingungsdauer des harmonischen Oszillators ist unabhängig von seiner Schwingungsamplitude .

Weitere Oszillatoren[Bearbeiten]

Um Oszillatoren beschreiben zu können, benötigen wir immer die Rückstellkraft in Abhängigkeit der Auslenkung.

Fadenpendel[Bearbeiten]

Rückstellkraft am Fadenpendel:
Fadenpendel und Rückstellkraft.

Bestimmung der Rückstellkraft[Bearbeiten]

Für das Fadenpendel können wir die Rückstellkraf durch Kräftezerlegung herleiten. Aus der Zerlegung (siehe Bild) findet man:

.

Wenn wir den Winkel im Bogenmaß verwenden, gilt die Beziehung . Dabei ist die Bogenlänge, d.h. die Auslenkung entlang der Kreisbahn. Eingesetzt und mit ergibt sich:

.

Offensichtlich ist die Rückstellkraft nicht proportional zur Auslenkung. Im allgemeinen Fall ist das Fadenpendel also kein harmonischer Oszillator.

Näherung für kleine Auslenkungen [Bearbeiten]

Für hinreichend kleine Auslenkungen gilt:
.
Trigonometrie an einem sehr spitzen, rechtwinkligen Dreieck:
.

Für kleine Winkel gilt im Bogenmaß:

.

Eingesetzt in die Formel für die Rückstellkraft ergibt sich:

.

Für hinreichend kleine Auslenkungen ist also proportional zur Auslenkung, das Pendel führt in diesem Fall eine harmonische Schwingung aus.

Differentialgleichung der Schwingung für kleine Auslenkungen und Lösung[Bearbeiten]

Als Bewegungsgleichung erhält man:

.

Setzen wir für die Beschleunigung den Zusammenhang ein und kürzen weg, so erhalten wir:

und es ergibt sich die

Differentialgleichung (DGL) des Fadenpendels für kleine Auslenkungen:

Vergleich mit der Differentialgleichung des harmonischen Oszillators zeigt, dass wir die selben Lösungen erhalten, wenn wir statt einfach setzen, also:

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung des Fadenpendels für kleine Auslenkungen:

Die Amplitude und die Phase sind wieder Integrationskonstanten, die durch die Anfangsbedingungen definiert werden.

Für die Schwingungsdauer des Fadenpendels gilt:

Es fällt auf, dass die Schwingungsdauer nicht von der Masse , sondern allein von der Erdbeschleunigung und der Pendellänge abhängt.


Aufgabe: Verkürzen eines Fadenpendels.


Schwingende Wassersäule[Bearbeiten]

Ausgelenkte Wassersäule. → Animation

Wir starten wieder mit der Bestimmung der Rückstellkraft.

Bestimmung der Rückstellkraft[Bearbeiten]

Wird die Wassersäule ausgelenkt, so führt das Ungleichgewicht der Wassersäulen zu einer Rückstellkraft. Wird die Wassersäule um ausgelenkt drückt die Masse eines Zylinders der Höhe gegen die Auslenkung (siehe Bild). Die Rückstellkraft ist damit:

,

wobei die Dichte der Flüssigkeit und den Rohrquerschnitt angibt. Die Rückstellkraft ist proportional zur Auslenkung und damit handelt es sich beim Wassersäulenpendel für Auslenkungen im geraden Rohrbereich um einen harmonischen Oszillator.

Differentialgleichung der Schwingung und Lösung[Bearbeiten]

Setzen wir die Rückstellkraft in die Newtonsche Bewegungsgleichung ein, ergibt sich:

.

Die Masse ist die insgesamt beschleunigte Masse, also die Masse der gesamten Wassersäule. Mit der Länge der Wassersäule erhält man:

.

Eingesetzt in die Bewegungsgleichung und mit ergibt sich:

Differentialgleichung einer schwingenden Wassersäule der Länge :

Die Lösungen sind wieder harmonische Schwingungen, hier mit der Kreisfrequenz:

.

Aufgabe: Ein Wassersäulenpendel wird weit ausgelenkt.


Die Energie harmonischer Oszillatoren[Bearbeiten]

Potentielle Energie des Federpendels[Bearbeiten]

Wir bestimmen die potentielle Energie des Federpendels in Abhängigkeit der Zeit.

Lösungsweg 1: Es gilt mit der Spannenergie und er Lageenergie im Gravitationsfeld:

.

Die Spannenergie ist gegeben durch:

die Lageenergie durch:

wobei ein beliebig festzulegendes Nullniveau definiert. Wir wählen so, dass in der Ruhelage gilt:

.

Für die potentielle Energie des Federpendels in Abhängigkeit der Zeit erhalten wir damit:

Da gilt, erhalten wir:

Potentielle Energie des Federpendels:

Lösungsweg 2: Wir integrieren die Rückstellkraft aus der Ruhelage bis zur Position :

Kinetische Energie des Federpendels[Bearbeiten]

Einheitskreis und Satz des Pythagoras verdeutlichen:

Die kinetische Energie des Federpendels ist gegeben durch:

Aufgabe: Zeige, dass die Summe aus potentieller und kinetischer Energie zeitlich konstant ist. Verwende die Beziehung: .

Der Oszillator wandelt periodisch potentielle Energie in kinetische Energie und umgekehrt um.
Die Summe der Energien ist stets konstant.

Phasendifferenz zwischen zwei Oszillatoren[Bearbeiten]

Rechts: Zwei Schwingungen, die sich im Phasenwinkel um Δφ unterscheiden. Die blaue Schwingung eilt der roten um 60° voraus. Links: Zwei rotierende Zeiger mit demselben Unterschied im Phasenwinkel.
Zueinander phasenverschoben schwingende Oszillatoren.

Gegeben sind zwei Oszillatoren gleicher Frequenz. Die Schwingungen werden beschrieben durch:
Oszillator 1:

Oszillator 2:

Man bezeichnet als Phasendifferenz zwischen den Oszillatoren.

Spezialfälle:

  •   → Die Oszillatoren schwingen „gleichphasig“/„in Phase“.
  •  → Die Oszillatoren schwingen „gegenphasig“.
  •  → Oszillator 2 hinkt Oszillator 1 um hinterher oder Oszillator 1 eilt Oszillator 2 um voraus.

Erzwungene Schwingung und Resonanz[Bearbeiten]

Amplitudengang des harmonischen Oszillators für verschieden starke Dämpfung D aufgetragen gegen das Frequenzverhältnis .
Identische Pendel bei verschiedenen Anregungsfrequenzen.

Experiment: Ein Oszillator der Eigen(kreis)frequenz wird periodisch mit der Kreisfrequenz angeregt.
Beobachtung: Nach einer Einschwingphase macht der Oszillator eine erzwungene Schwingung mit der Anregungsfrequenz des Erregers. Für sind Erreger und Oszillator in Phase, für sind Erreger und Oszillator gegenphasig. Im Resonanzfall beträgt die Phasendifferenz , die Anregung eilt dem Oszillator um eine Viertelperiode voraus. Die Schwingungsamplitude hängt von der Erregerfrequenz ab. Im Resonanzfall treten sehr große Amplituden auf.