Physik Oberstufe/ Schwingungen und Wellen/ Licht und Röntgenstrahlung

Geometrische Optik

In der geometrischen Optik (auch „Strahlenoptik“) beschreibt man Licht durch Strahlen. Ein Lichtstrahl ist dabei ein eng begrenztes Lichtbündel. In homogenen Materialien breiten sich Lichtstrahlen gradlinig aus. Außerdem gelten Reflexions- und Brechungsgesetz, wenn ein Lichtstrahl auf die Grenzfläche zwischen zwei Materialien trifft.

Reflexionsgesetz

Brechungsgesetz: Übergang vom optisch dünneren ins optisch dichtere Medium.

Reflexionsgesetz: Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel

Fällt ein Lichtstrahl auf eine reflektierende ebene Fläche oder eine ebene Grenzfläche zwischen unterschiedlichen Medien, so wird der Strahl reflektiert. Dabei gilt das Reflexionsgesetz:

Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel $\alpha =\alpha '$

Die Winkel werden hier und im Folgenden immer vom Lot aus gemessen.

Brechungsgesetz

Beim Übergang vom optisch dichteren ins optisch dünnere Medium tritt bei einem Winkel größer $\alpha _{\rm {t}}$ Totalreflexion auf.

Passiert ein Lichtstrahl die Grenzfläche zwischen zwei Medien, in denen das Licht unterschiedlich schnell propagiert, so kommt es an der Grenzfläche zur „Brechung“ des Lichtstrahls und es gilt:

Brechungsgesetz: Übergang vom optisch dichteren ins optisch dünnere Medium.

${\frac {\sin(\alpha )}{\sin(\beta )}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}$

Die Brechzahl (auch Brechungsindex) ist dabei definiert als das Verhältnis aus der Vakuumlichtgeschwindigkeit $c_{0}$ zur Ausbreitungsgeschwindigkeit $c_{\mathrm {M} }$ im Medium:

$n={\frac {c_{0}}{c_{\mathrm {M} }}}$

Es ist $n\geq 1$ mit $n_{\rm {Luft}}=1,0003$, $n_{\rm {Wasser}}=1,333$ und $n_{\rm {Diamant}}=2,417$. Für Gläser liegt $n$ im Bereich $1,4\leq n\leq 1,9$.

Totalreflexion

Zweimalige Totalreflexion in einem Prisma

Beim Übergang vom optisch dichteren zum optisch dünneren Material tritt für $\alpha >\alpha _{\rm {t}}$ Totalreflexion auf:

$\sin(\alpha _{\rm {t}})={\frac {n_{2}}{n_{1}}}$

Anwendung: Linse

Sammellinse

Zerstreuungslinse

Teilchen- und Wellenmodell

Das Reflexionsgesetz in der Korpuskeltheorie: Es folgt aus der Impulserhaltung.

Das Brechungsgesetz in der Korpuskeltheorie: Vom Medium abhängige Kräfte bewirken eine Beschleunigung des Korpuskels an der Grenzfläche.

Eine Theorie des Lichts muss die oben beschriebenen Phänomene erklären können. Wir vergleichen zwei Theorien: Die Korpuskeltheorie und die Wellentheorie.

Korpuskeltheorie

Hypothese: Licht besteht aus Teilchen. Eine Lichtquelle sendet kleinste Lichtteilchen aus, die sich mit Lichtgeschwindigkeit durch den Raum bewegen.

Reflexion

Das Reflexionsgesetz (Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel) folgt in der Korpuskeltheorie aus der Impulserhaltung der Mechanik. Ein Lichtteilchen wird wie eine Billardkugel reflektiert. Die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Grenzfläche kehrt ihre Richtung um, die Komponente parallel zur Grenzfläche bleibt unverändert.

Brechung

Die Brechung eines Lichtstrahls lässt sich auch in der Korpuskeltheorie erklären. Die Theorie postuliert vom Medium abhängige Kräfte, die auf das Lichtteilchen wirken. Im homogenen Medium sind diese Kräfte in alle Richtungen gleich groß und gleichen sich aus. Beim Übergang von einem Medium kleinere Kräfte zu einem Medium größerer Kräfte wird das Teilchen in Richtung des optischen Lots beschleunigt und die Flugbahn knickt ab: Der Strahl wird gebrochen.

Aus dieser Theorie folgt, dass die Lichtgeschwindigkeit im optisch dichteren Medium größer als im optisch dünneren Medium ist:

$c_{\rm {Vakuum}}<c_{\rm {Medium}}\quad {\rm {\color {red}{\leftarrow falsch!}}}$

Diese Vorhersage widerspricht dem Experiment: Die Messung der Lichtgeschwindigkeit ergibt, dass stets

$c_{\rm {Vakuum}}>c_{\rm {Medium}}$

ist. Somit scheitert die Korpuskeltheorie an der Erklärung des Brechungsgesetzes.

Die Erklärung bekannter optischer Gesetzmäßigkeiten mit der Korpuskeltheorie führt zu Widersprüchen mit dem Experiment.

Wellentheorie

Hypothese: Licht ist eine Welle. Eine Lichtquelle sendet Wellen aus, die sich mit Lichtgeschwindigkeit im Raum ausbreiten.

Reflexion

Das Reflexionsgesetz ergibt sich auch bei Anwendung der Huygens'schen Prinzipien. An der Grenzfläche entstehen Elementarwellen, deren Überlagerung (die sog. „Einhüllende“) die Wellenfront zu einem späteren Zeitpunkt ergibt.

Brechung

Wellenfronten, die von einem Punkt ausgehen, beim Übergang in ein Medium mit einem höheren Brechungsindex. Die Phasengeschwindigkeit der Welle ist unterhalb des grauen Strichs niedriger. Die oben exakt kugelförmigen Wellenfronten sind unten nicht mehr kugelförmig, sondern nahezu hyperbolisch. Diesen Effekt kennt man vom Blick in ein Wasserbecken, der Grund erscheint nicht nur angehoben, sondern zusätzlich gekrümmt.

Refraction - Huygens-Fresnel principle

Interferenz an dünnen Schichten

Destruktive Interferenz.

Konstruktive Interferenz.

Reflexion von Licht an einer Seifenblase.

Interferenzen an einer dünnen Ölschicht auf Wasser. Farbig schillernde Seifenblase. Experiment: Seifenblase, Seifenlauge und Drahtschleife. Beobachtung: Im weißen Licht schillert die Seifenblasenhaut bunt. In monochromatischem Licht sieht man helle und dunkle Streifen. Erklärung: Ober- und Unterseite der dünnen Seifenblasenhaut reflektieren das Licht teilweise. Zwischen den reflektierten Wellen besteht ein Gangunterschied. Die Überlagerung der reflektierten Wellen zeigt damit Interferenzphänomene.

Gangunterschied Δ und optische Weglänge

Nur an der ersten Grenzfläche (bei A) tritt beim reflektierten Strahl ein Phasensprung um π auf.

An beiden Grenzflächen (bei A und B) tritt beim reflektierten Strahl ein Phasensprung um π auf.

Relevant für die Interferenz der reflektierten Strahlen ist der Gangunterschied, der auch als optische Wegdifferenz bezeichnet wird. Zur Berechnung müssen Änderung der Wellenlänge im Medium sowie Phasensprünge an Grenzflächen berücksichtigt werden. Es gelten folgende Regeln:

• Bei der Reflexion an einem festen Ende, das ist bei Grenzflächen der Übergang vom optisch dünneren ins optisch dichtere Medium (n₁<n₂), tritt ein Phasensprung von π auf. Dies entspricht einer optischen Weglänge von λ/2.
• Die Wellenlänge λ ist abhängig vom Brechungsindex n des Mediums, in dem das Licht propagiert. Je optisch dichter ein Medium, desto kleiner die Ausbreitungsgeschwindigkeit c=c₀/n und desto kürzer die Wellenlänge (λ=c/f=λ₀/n). Die optische Weglänge ist entsprechend größer (auf eine gegebene Strecke „passen“ mehr Schwingungsperioden), d.h. für eine Strecke s im Medium mit Brechungsindex n beträgt die optische Weglänge n·s.

Gangunterschied Δ für n₁<n₂<n₃

In diesem Fall tritt sowohl an der ersten wie auch an der zweiten Grenzfläche ein Phasensprung auf, die sich somit kompensieren. Für den Gangunterschied Δ findet man (s. Aufgabe):

$\Delta =2d{\sqrt {n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}$.

Gangunterschied Δ für n₁<n₂ und n₃<n₂

In diesem Fall macht der an der ersten Grenzfläche reflektierte Strahl einen Phasensprung von π, den wir berücksichtigen müssen. Für den Gangunterschied Δ findet man damit (s. Aufgabe):

$\Delta =2d{\sqrt {n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}-{\frac {\lambda }{2}}$.

Die Wellenlänge $\lambda$ ist dabei die im Medium mit Brechungsindex $n_{1}$.

---

Aufgabe: Berechnung des Gangunterschieds.

---

Röntgenstrahlung

Erzeugung von Röntgen-Strahlung (X-ray): Durch Hochspannung ($U_{\mathrm {a} }$) beschleunigte, sehr schnelle Elektronen prallen auf die wassergekühlte Anode (A) und werden dort stark abgebremst.

Klassische Röntgenröhre, wie sie bis ca. 1920 verwendet wurde.

Anwendungen von Röntgenstrahlen.

Historische Röntgenaufnahme.

Bremst man sehr schnelle Elektronen (z.B. beschleunigt durch Anodenspannungen von etwa 1 kV bis 250 kV) stark ab, so entsteht eine Strahlung mit besonderen Eigenschaften:

• Keine Beeinflussung (z.B. Ablenkung) durch elektrische und magnetische Felder,
• viele Stoffe werden von Röntgenstrahlung weitgehend transmittiert („durchleuchtet“),
• Atome und Moleküle können durch Röntgenstrahlung ionisiert werden, man spricht von ionisierender Strahlung.

Vermutung: Bei Röntgenstrahlung handelt es sich um elektromagnetische Strahlung sehr kurzer Wellenlänge (im Bereich zwischen 250 pm bis zu 5 pm). Der eindeutige Nachweis der Wellennatur gelang 17 Jahre nach der Entdeckung durch Max von Laue.

Bragg-Reflexion und -Bedingung

Konstruktive (links) und destruktive Interferenz (rechts).

Monochromatische Röntgenstrahlung fällt schräg auf ein ideales Kristallgitter.

Interferenzen gelten als klarer Nachweis für die Wellennatur von Strahlung. Wenn es sich bei Röntgenstrahlen um elektromagnetische Wellen handelt, sollten sich also auch Interferenzerscheinungen beobachten lassen. Ein für Röntgenstrahlung geeignetes Gitter ist technisch schwer herzustellen, da $\lambda$ sehr kein ist. Man kann aber ein durch die Natur bereitgestelltes Gitter, ein Kristallgitter, verwenden.

Experiment: Monochromatisches, paralleles Röntgenlicht fällt schräg auf einen idealen Kristall. Interferenzen entstehen durch Überlagerung der an verschiedenen Kristallebenen reflektierten Strahlung.

Die Strahlen verstärken sich, wenn der Wegunterschied $2\delta$ ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge beträgt:

$2\delta =n\cdot \lambda \,,\quad n=1,2,3,\dots$

Für $\delta$ gilt mit dem Gitterabstand $d$ des Kristalls und dem Einfallswinkel $\theta$:

$\delta =d\cdot \sin \theta$.

Damit erhält man die Bragg-Bedingung für konstruktive Interferenz:

${\frac {n\cdot \lambda }{2d}}=\sin \theta \,,\quad n=1,2,3,\dots \qquad {\text{Bragg-Bedingung}}$

Drehkristall-Methode und Debye-Scherrer-Verfahren

Drehkristall-Methode

Zur Erforschung von Röntgenstrahlen wurden verschiedene Verfahren entwickelt. Exemplarisch wollen wir hier zwei Methoden vorstellen.

Bei der Drehkristall-Methode untersucht man ein Einkristall, auf das monochromatische Röntgenstrahlung unter dem Winkel θ fällt. Man variiert θ und detektiert die Reflexion unter dem Winkel 2θ: Wenn die Bragg-Bedingung erfüllt ist, beobachtet man Intensitätsmaxima.

Pulveraufnahmen nach Debye-Scherrer (oben) und Guinier (unten).

Beim Debye-Scherrer-Verfahren verwendet man ein Pulver von Kristallen, d.h. alle Gitterorientierungen und Winkel sind gleichzeitig vorhanden. Unter Winkeln, die die Bragg-Bedingung erfüllen, findet man Intensitätsmaxima.

Kennt man ein Kristall, so kann man die Wellenlänge der Röntgenstrahlung ermitteln. Verwendet man eine bekannte Wellenlänge, so lassen sich mit Röntgenbeugungs-Verfahren hochkomplexe Strukturen untersuchen.

---

Aufgabe: Bragg-Reflexion an NaCl.

---