Pseudoprimzahlen: Spielarten der Eulerschen Pseudoprimzahl

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Nuvola apps bookcase 1.svg Pseudoprimzahlen

Einleitung[Bearbeiten]

Die Eulersche Pseudoprimzahl bietet eine Vielzahl von Variationen und Spielarten. So gehören die starke Pseudoprimzahl und die Carmichael-Zahl zu den eulerschen Pseudoprimzahlen. Aber es gibt noch weitere Spielarten der Eulerschen Pseudoprimzahl. Einige werden in diesem Kapitel behandelt.

Die Super-Eulersche Pseudoprimzahl[Bearbeiten]

Eine Super-Eulersche Pseudoprimzahl ist schon eine relativ exotische Zahl. Es handelt sich dabei um die Verallgemeinerung der Super-Pouletzahl auf alle möglichen Basen .

Um eine Super-Eulersche Pseudoprimzahl zu sein, muß der Kandidat folgende Bedingungen erfüllen:

  • Die Zahl selbst muß eine Eulersche Pseudoprimzahl sein.
  • Die Teiler der Zahl, die zusammengesetzt sind, müssen Eulersche Pseudoprimzahlen zu der der gleichen Basis sein, wie die Zahl selbst.

Beispiel[Bearbeiten]

Die 3913 ist eine Super-Eulersche Pseudoprimzahl. Es ist nebenbei auch die kleinste Zahl dieser Art. Was macht 3913 zu einer Super-Eulersche Pseudoprimzahl?

3913 ist epsp(79). Die Teiler von 3913 sind 7, 13, 43, 91, 301, 559 und 3913. Bei den Teilern 91, 301, 559 und 3913 handelt es sich um zusammengesetzte Zahlen. Und alle diese Zusammengesetzten Zahlen sind epsp(79)


Die pure eulersche Pseudoprimzahl[Bearbeiten]

Eine pure eulersche Pseudoprimzahl ist eine eulersche Pseudoprimzahl die zu jeder Basis zu der sie pseudoprim ist, euler-pseudoprim ist.

Um das ganze Verdeutlichen einmal Gegenbeispiel und Beispiel:

Gegenbeispiel: Struktur der Basen zu denen die 91 pseudoprim ist: 3, 4, 9, 10, 12, 16, 17, 22, 23, 25,

Beispiel[Bearbeiten]

Die Zahl 21 ist, wie man der untenstehenden Tabelle entnehmen kann, eine fermatsche Pseudoprimzahl zu den Basen 8 und 13. Weiterhin ist sie pseudoprim zu allen Basen der Form 21n+8 und 21n+13 mit einem .

Dann fällt einem auf, dass nicht nur in der zweiten Spalte, also der Spalte, die anzeigt, daß 21 zu 8 und 13 pseudoprim ist, lauter einsen stehen, sondern auch in der vierten Spalte. Damit eine natürliche Zahl eine eulersche Pseudoprimzahl zu einer Basis ist muß ja oder gelten. Der Exponent für 21 ist 10, und . Demzufolge ist 21 zu allen Basen eine eulersche Pseudoprimzahl, zu denen 21 auch eine fermatsche Pseudoprimzahl ist.