Pseudoprimzahlen: Zeisel-Zahlen

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Nuvola apps bookcase 1.svg Pseudoprimzahlen

Die Zeisel-Zahl ist eine nach dem Mathematiker Helmut Zeisel benannte Zahl, die das Produkt wenigstens dreier Primzahlen ist, die einer bestimmten linearen Rekursion genügen. Eine besondere Bedeutung in der Mathematik spielen sie nicht. Aufgrund gewisser Ähnlichkeiten zu den Carmichael-Zahlen, und der Tatsache, dass alle Zeisel-Zahlen auch fermatsche Pseudoprimzahlen zu irgendeiner Basis sind, sind die Zeisel-Zahlen hier aufgeführt.

Definition[Bearbeiten]

p0 = 1
pn = a·pn-1 + b

Dabei muss jedes pn mit eine Primzahl ergeben, und sowohl a als auch b sind für alle pn konstant. Die Zeisel-Zahl z ist dann das Produkt .

Beispiel an der Zeisel-Zahl 1885[Bearbeiten]

Die a ist in dem Beispiel die Zahl 2 und b die Zahl 3.

p0 = 1
p1 = a·p0 + b = 2·1  + 3 = 5
p2 = a·p1 + b = 2·5  + 3 = 13
p3 = a·p2 + b = 2·13 + 3 = 29

z = p1 · p2 · p3 = 5 · 13 · 29 = 1885

Zusammenhang zwischen den Zeisel-Zahlen und den Carmichael-Zahlen nach J.Chernick[Bearbeiten]

Die Bildungsregel der Carmichael-Zahlen nach J. Chernick lautet (6n+1)*(12n+1)*(18n+1). Diese Bildungsregel ist identisch mit der Bildungsregel für Zeisel-Zahlen mit einem a=1 und b=6n. Demzufolge sind alle Carmichael-Zahlen nach Chernick, die ein Produkt aus drei Primzahlen bilden, auch Zeisel-Zahlen.

Eine Liste von Zeisel-Zahlen[Bearbeiten]

Die Carmichael-Zahlen sind fett geschrieben.

a b zn
1 2 105 3*5*7
4 -1 1419 3*11*43
1 6 1729 7*13*19
2 3 1885 5*13*29
3 2 4505 5*17*53
2 5 5719 7*19*43
10 -7 15387 3*23*223
2 9 24211 11*31*71
6 -1 25085 5*29*173
4 3 27559 7*31*127
13 -10 31929 3*29*367
8 -3 54205 5*37*293
3 8 59081 11*41*131
2 3 114985 5*13*29*61
25 -22 207177 3*53*1303
5 6 208681 11*61*311
9 -2 233569 7*61*547
28 -25 287979 3*59*1627
1 36 294409 37*73*109
6 5 336611 11*71*431
5 8 353977 13*73*373
17 -12 448585 5*73*1229
a b zn
34 -31 507579 3*71*2383
15 -8 982513 7*97*1447
9 2 1012121 11*101*911
23 -18 1073305 5*97*2213
8 5 1242709 13*109*877
49 -46 1485609 3*101*4903
55 -52 2089257 3*113*6163
12 -1 2263811 11*131*1571
4 27 2953711 31*151*631
33 -28 3077705 5*137*4493
14 -3 3506371 11*151*2111
2 9 3655861 11*31*71*151
36 -31 3973085 5*149*5333
2 59 4648261 61*181*421
4 33 5069629 37*181*757
2 65 6173179 67*199*463
42 -37 6253085 5*173*7229
11 6 6985249 17*193*2129
8 15 7355239 23*199*1607
2 69 7355671 71*211*491
10 9 7558219 19*199*1999
4 39 8011459 43*211*883
a b zn
88 -85 8413179 3*179*15667
6 25 8444431 31*211*1291
47 -42 8712985 5*193*9029
48 -43 9271805 5*197*9413
20 -9 9773731 11*211*4211
57 -52 15411785 5*233*13229
3 68 18175361 71*281*911
5 42 18578113 47*277*1427
6 35 19827641 41*281*1721
9 20 20771801 29*281*2549
3 8 23691481 11*41*131*401
68 -63 26000605 5*277*18773
5 48 26758057 53*313*1613
10 21 34179391 31*331*3331
14 9 35347159 23*331*4643
77 -72 37605385 5*313*24029
20 -3 38596273 17*337*6737
2 125 42501439 127*379*883
15 8 43055057 23*353*5303
83 -78 46999705 5*337*27893
8 35 49982899 43*379*3067
3 98 52691801 101*401*1301
a b zn
2 135 53399449 137*409*953
30 -17 54177877 13*373*11173
3 100 55902529 103*409*1327
1 210 56052361 211*421*631
9 34 69207769 43*421*3823
65 -58 71550913 7*397*25747
18 5 72730439 23*419*7547
11 26 76724569 37*433*4789
10 33 92835667 43*463*4663
2 165 96916279 167*499*1163
6 65 104966471 71*491*3011
1 270 118901521 271*541*811
8 -1 126893905 5*37*293*2341
4 105 133800661 109*541*2269
29 -10 161164441 19*541*15679
1 306 172947529 307*613*919
3 148 177055201 151*601*1951
15 22 185245273 37*577*8677
5 98 199708657 103*613*3163
4 123 212122639 127*631*2647
1 330 216821881 331*661*991
16 21 222931549 37*613*9829

Geschichte[Bearbeiten]

Der Name "Zeisel-Zahl" wurde vermutlich von Kevin Brown eingeführt, der Zahlen suchte, für die der Ausdruck eine Primzahl ergibt. In einem Posting in die Usenet-Newsgroup sci.math vom 24. Februar 1994 lieferte Helmut Zeisel die Zahl 1885 als eine weitere Lösung. Später wurde (durch Kevin Brown?) entdeckt, dass die Primfaktoren von 1885 die oben beschriebenene Eigenschaft haben. Ein Name der Art Brown-Zeisel-Zahlen wäre daher passender.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Man muß sich, bei der Bildung der Zeisel-Zahl nicht auf beschränken. Auch davon abweichende Werte sind möglich.

Beispiele[Bearbeiten]

p0 = 4
p1 = a·p0 + b = 2·4  + 5 = 13
p2 = a·p1 + b = 2·13 + 5 = 31
p3 = a·p2 + b = 2·31 + 5 = 67

z = p1 · p2 · p3 = 13 · 31 · 67 = 27001


p0 = -1
p1 = a·p0 + b = 8·-1   + 27 =   19
p2 = a·p1 + b = 8·19   + 27 =  179
p3 = a·p2 + b = 28·179 + 27 = 1459

z = p1 · p2 · p3 = 19 · 179 · 1459 = 4962059

Weblinks[Bearbeiten]

Quelle: Die Zeisel-Zahlen sind aus dem Artikel Zeisel-Zahl von der deutsprachigen de.wikipedia.org entnommen.