Exp and log functions for complex numbers – Serlo

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Exponentialfunktion in den komplexen Zahlen

Wir haben die Exponentialfunktion $\exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,x\mapsto \sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {x^{k}}{k!}}$ für komplexe Eingabewerte definiert. Jedoch haben wir sie bisher nur für reelle Eingabewerte genauer untersucht. Das Ziel dieses Abschnitts ist daher die Untersuchung der komplexen Exponentialfunktion.

Sei $z=a+\mathrm {i} b$ eine komplexe Zahl mit $a,b\in \mathbb {R}$. Die Funktionalgleichung erlaubt es uns, $e^{z}=e^{a+\mathrm {i} b}=e^{a}e^{\mathrm {i} b}$ zu schreiben.

Der erste Faktor, $e^{a}$, ist eine positive reelle Zahl. Es scheint zunächst nicht klar, wie der Faktor $e^{\mathrm {i} b}$ zu interpretieren ist.

Eulersche Formel

Wir leiten in diesem Abschnitt die Eulersche Formel her. Sie besagt, dass für alle reellen Zahlen $x$ folgende Gleichung erfüllt ist: $e^{\mathrm {i} x}=\cos(x)+\mathrm {i} \sin(x)$.

Wir können so den Betrag von $e^{\mathrm {i} x}$ für $x\in \mathbb {R}$ berechnen:

$\left|e^{\mathrm {i} x}\right|={\sqrt {\left(\operatorname {Re} e^{\mathrm {i} x}\right)^{2}+\left(\operatorname {Im} e^{\mathrm {i} x}\right)^{2}}}={\sqrt {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}}=1$

Das ist aber nicht der Grund, weshalb diese Gleichung so wichtig ist. Dieses Ergebnis hätten wir auch anders erhalten können:

$\left|e^{\mathrm {i} x}\right|={\sqrt {e^{\mathrm {i} x}e^{-\mathrm {i} x}}}={\sqrt {e^{0}}}=1$

Euler's formula

Die Bedeutung der Eulerschen Formel liegt darin, dass sie explizit den Real- und Imaginärteil der Zahl $e^{\mathrm {i} x}$ angibt, die wir besser verstehen wollen. So können wir $e^{\mathrm {i} x}$ leicht in der Gaußschen Zahlenebene einzeichnen.

Für alle $x\in \mathbb {R}$ liegt $e^{\mathrm {i} x}$ auf dem Einheitskreis in der Gaußschen Zahlenebene.

In dieser Animation kann man sehen, wie sich der Punkt $e^{\mathrm {i} x}$ auf dem Einheitskreis mit wachsendem $x$ bewegt.

Als Nächstes beweisen wir die Eulersche Formel.

Theorem (Eulersche Formel)

Für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt $e^{\mathrm {i} x}=\cos(x)+\mathrm {i} \sin(x)$.

How to get to the proof? (Eulersche Formel)

Wir benutzen die Reihenentwicklung der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion, um die rechte Seite der Gleichung aufzuschreiben.

$\cos(x)+\mathrm {i} \sin(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}}+\mathrm {i} \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}}$

Wir müssen also $e^{\mathrm {i} x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} x)^{k}}{k!}}$ geschickt umformen, um dieses Ergebnis zu erhalten.

${\begin{aligned}&e^{\mathrm {i} x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} x)^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }\mathrm {i} ^{k}{\frac {x^{k}}{k!}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Ausrechnen von }}\mathrm {i} ^{k}\right.}\\[0.3em]=\ &1\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{4k}}{(4k)!}}+\mathrm {i} \cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{4k+1}}{(4k+1)!}}+(-1)\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{4k+2}}{(4k+2)!}}+(-\mathrm {i} )\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{4k+3}}{(4k+3)!}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Zusammenfassen der Summen mit Koeffizienten }}1,-1{\text{ und der Summen mit Koeffizienten }}\mathrm {i} ,-\mathrm {i} \right.}\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}}+\mathrm {i} \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\[0.3em]=\ &\cos(x)+\mathrm {i} \sin(x)\end{aligned}}$

In der obigen Rechnung haben wir ohne darüber nachzudenken, ob das erlaubt ist, die Reihenglieder umgeordnet. Das ist kein Problem, da die Reihe der Exponentialfunktion, und die Reihe der Sinus- und Kosinusfunktion absolut konvergieren. Somit können wir den Riemannschen Umordnungssatz anwenden und die Reihenfolge der Reihenglieder nach Belieben ändern.

To-Do:

Die mathematische Herleitung ist beinahe Deckungsgleich mit dem Beweis, bis auf die unsortierten Summanden und die Reihe von (Co)Sinus wurde noch nicht vorgestellt.

Proof (Eulersche Formel)

Sei $x\in \mathbb {R}$. Die Reihen von $e^{x},\cos(x)$ und $\sin(x)$ konvergieren absolut. Also können wir den Riemannschen Umordnungssatz anwenden und die Reihenglieder beliebig anordnen. Es gilt damit

${\begin{aligned}&e^{\mathrm {i} x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} x)^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }\mathrm {i} ^{k}{\frac {x^{k}}{k!}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Ausrechnen von }}\mathrm {i} ^{k}{\text{ und sortieren der entstehenden Terme nach Koeffizienten }}1,-1,\mathrm {i} ,-\mathrm {i} \right.}\\[0.3em]=\ &1\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{4k}}{(4k)!}}+\mathrm {i} \cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{4k+1}}{(4k+1)!}}+(-1)\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{4k+2}}{(4k+2)!}}+(-\mathrm {i} )\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{4k+3}}{(4k+3)!}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Zusammenfassen der Summen mit Koeffizienten }}1,-1{\text{ und der Summen mit Koeffizienten }}\mathrm {i} ,-\mathrm {i} \right.}\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}}+\mathrm {i} \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\[0.3em]=\ &\cos(x)+\mathrm {i} \sin(x)\end{aligned}}$

Polarkoordinaten für komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl in der Gaußschen Zahlenebene kann man auffassen als Punkt im $\mathbb {R} ^{2}$ mit den Koordinaten $(\operatorname {Re} z,\operatorname {Im} z)$. Die Zahl $z$ kann man auch anders beschreiben: Sie liegt auf dem Kreis mit dem Radius $r=|z|$ um den Ursprung und die Verbindungslinie zwischen der Zahl $z$ in der Gaußschen Zahlenebene und dem Ursprung schließt mit der Halbgerade der positiven reellen Achse einen Winkel $\varphi$ ein. Durch $r$ und $\varphi$ ist die Zahl $z$ eindeutig bestimmt.

To-Do:

Bild einer komplexen Zahl $z$, die durch $r,\varphi$ bestimmt ist, $\varphi >90^{\circ }$

Die Eulersche Formel besagt, dass für alle reellen Zahlen $\varphi$ folgende Gleichung erfüllt ist: $e^{\mathrm {i} \varphi }=\cos(\varphi )+r\cdot \mathrm {i} \sin(\varphi )$. Die Zahl $e^{\mathrm {i} \varphi }$ entspricht der komplexen Zahl auf dem Einheitskreis mit Winkel $\varphi$ zur positiven reellen Achse. Multiplizieren wir diese Zahl mit einer Zahl $r\in \mathbb {R} _{0}^{+}$, so erhalten wir $re^{\mathrm {i} \varphi }$. Das ist genau die komplexe Zahl $z$, die wir oben durch $r$ und $\varphi$ beschrieben haben.

To-Do:

Gleiches Bild wie vorher, nur beschriftet mit $z=re^{\mathrm {i} \varphi }$, dem Winkel $\varphi$, Radius $r=|z|$ und $=r\cos(\varphi )$ und $\mathrm {i} \sin(\varphi )$ für Real- und Imaginärteil

Ist eine komplexe Zahl $z$ in Polarkoordinaten gegeben, also $z=re^{\mathrm {i} \varphi }$, so können wir diese leicht in die Darstellung in kartesischen Koordinaten ($a+\mathrm {i} b$) umrechnen:

$z=re^{\mathrm {i} \varphi }=r\cos \varphi +r\cdot \mathrm {i} \sin \varphi$

Sei umgekehrt eine komplexe Zahl in kartesischen Koordinaten gegeben, d.h. $z=a+\mathrm {i} b$. Wie können wir diese in Polarkoordinaten darstellen?

Den Betrag der Zahl zu berechnen ist einfach: $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$. Schwieriger ist hingegen der Winkel $\varphi$. Wir müssen eine reelle Zahl $\varphi$ suchen, für die $a=r\cdot \cos \varphi$ und $b=r\cdot \mathrm {i} \cdot \sin \varphi$ gilt. Für einfache Beispiele, ist es oft am leichtesten eine Skizze zu machen und anhand der Skizze den Winkel $\varphi$ zu bestimmen. Man kann $\varphi$ auch mit folgender Formel berechnen: $\varphi ={\begin{cases}&+\arccos {\frac {x}{r}}\ {\text{für}}\ y\geq 0\\[0.3em]&-\arccos {\frac {x}{r}}\ {\text{für}}\ y<0\\[0.3em]\end{cases}}$