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Exponentialfunktion in den komplexen Zahlen[Bearbeiten]
Wir haben die Exponentialfunktion
für komplexe Eingabewerte definiert. Jedoch haben wir sie bisher nur für reelle Eingabewerte genauer untersucht. Das Ziel dieses Abschnitts ist daher die Untersuchung der komplexen Exponentialfunktion.
Sei
eine komplexe Zahl mit
. Die Funktionalgleichung erlaubt es uns,
zu schreiben.
Der erste Faktor,
, ist eine positive reelle Zahl. Es scheint zunächst nicht klar, wie der Faktor
zu interpretieren ist.
Wir leiten in diesem Abschnitt die Eulersche Formel her. Sie besagt, dass für alle reellen Zahlen
folgende Gleichung erfüllt ist:
.
Wir können so den Betrag von
für
berechnen:
Das ist aber nicht der Grund, weshalb diese Gleichung so wichtig ist. Dieses Ergebnis hätten wir auch anders erhalten können:
Die Bedeutung der Eulerschen Formel liegt darin, dass sie explizit den Real- und Imaginärteil der Zahl
angibt, die wir besser verstehen wollen. So können wir
leicht in der Gaußschen Zahlenebene einzeichnen.
Für alle
liegt
auf dem Einheitskreis in der Gaußschen Zahlenebene.
In dieser Animation kann man sehen, wie sich der Punkt
auf dem Einheitskreis mit wachsendem
bewegt.
Als Nächstes beweisen wir die Eulersche Formel.
How to get to the proof? (Eulersche Formel)
Wir benutzen die Reihenentwicklung der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion, um die rechte Seite der Gleichung aufzuschreiben.
Wir müssen also
geschickt umformen, um dieses Ergebnis zu erhalten.
In der obigen Rechnung haben wir ohne darüber nachzudenken, ob das erlaubt ist, die Reihenglieder umgeordnet. Das ist kein Problem, da die Reihe der Exponentialfunktion, und die Reihe der Sinus- und Kosinusfunktion absolut konvergieren. Somit können wir den Riemannschen Umordnungssatz anwenden und die Reihenfolge der Reihenglieder nach Belieben ändern.
To-Do:
Die mathematische Herleitung ist beinahe Deckungsgleich mit dem Beweis, bis auf die unsortierten Summanden und die Reihe von (Co)Sinus wurde noch nicht vorgestellt.
Proof (Eulersche Formel)
Sei
. Die Reihen von
und
konvergieren absolut. Also können wir den Riemannschen Umordnungssatz anwenden und die Reihenglieder beliebig anordnen. Es gilt damit
Polarkoordinaten für komplexe Zahlen[Bearbeiten]
Eine komplexe Zahl in der Gaußschen Zahlenebene kann man auffassen als Punkt im
mit den Koordinaten
. Die Zahl
kann man auch anders beschreiben: Sie liegt auf dem Kreis mit dem Radius
um den Ursprung und die Verbindungslinie zwischen der Zahl
in der Gaußschen Zahlenebene und dem Ursprung schließt mit der Halbgerade der positiven reellen Achse einen Winkel
ein. Durch
und
ist die Zahl
eindeutig bestimmt.
Die Eulersche Formel besagt, dass für alle reellen Zahlen
folgende Gleichung erfüllt ist:
. Die Zahl
entspricht der komplexen Zahl auf dem Einheitskreis mit Winkel
zur positiven reellen Achse. Multiplizieren wir diese Zahl mit einer Zahl
, so erhalten wir
. Das ist genau die komplexe Zahl
, die wir oben durch
und
beschrieben haben.
Ist eine komplexe Zahl
in Polarkoordinaten gegeben, also
, so können wir diese leicht in die Darstellung in kartesischen Koordinaten (
) umrechnen:
Sei umgekehrt eine komplexe Zahl in kartesischen Koordinaten gegeben, d.h.
. Wie können wir diese in Polarkoordinaten darstellen?
Den Betrag der Zahl zu berechnen ist einfach:
. Schwieriger ist hingegen der Winkel
. Wir müssen eine reelle Zahl
suchen, für die
und
gilt. Für einfache Beispiele, ist es oft am leichtesten eine Skizze zu machen und anhand der Skizze den Winkel
zu bestimmen. Man kann
auch mit folgender Formel berechnen:
Grafische Darstellung[Bearbeiten]
Logarithmusfunktion in den komplexen Zahlen[Bearbeiten]