Exp and log functions for complex numbers – Serlo

Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib der Autorin oder dem Autor Zeit, den Inhalt anzupassen!

Exponentialfunktion in den komplexen Zahlen

Wir haben die Exponentialfunktion $\exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,x\mapsto \sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {x^{k}}{k!}}$ für komplexe Eingabewerte definiert. Jedoch haben wir sie bisher nur für reelle Eingabewerte genauer untersucht. Das Ziel dieses Abschnitts ist daher die Untersuchung der komplexen Exponentialfunktion.

Sei $z=a+\mathrm {i} b$ eine komplexe Zahl mit $a,b\in \mathbb {R}$. Die Funktionalgleichung erlaubt es uns, $e^{z}=e^{a+\mathrm {i} b}=e^{a}e^{\mathrm {i} b}$ zu schreiben.

Der erste Faktor, $e^{a}$, ist eine positive reelle Zahl. Es scheint zunächst nicht klar, wie der Faktor $e^{\mathrm {i} b}$ zu interpretieren ist.

Eulersche Formel

Wir leiten in diesem Abschnitt die Eulersche Formel her. Sie besagt, dass für alle reellen Zahlen $x$ folgende Gleichung erfüllt ist: $e^{\mathrm {i} x}=\cos(x)+\mathrm {i} \sin(x)$.

Wir können so den Betrag von $e^{\mathrm {i} x}$ für $x\in \mathbb {R}$ berechnen:

$\left|e^{\mathrm {i} x}\right|={\sqrt {\left(\operatorname {Re} e^{\mathrm {i} x}\right)^{2}+\left(\operatorname {Im} e^{\mathrm {i} x}\right)^{2}}}={\sqrt {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}}=1$

Das ist aber nicht der Grund, weshalb diese Gleichung so wichtig ist. Dieses Ergebnis hätten wir auch anders erhalten können:

$\left|e^{\mathrm {i} x}\right|={\sqrt {e^{\mathrm {i} x}e^{-\mathrm {i} x}}}={\sqrt {e^{0}}}=1$

Euler's formula

Die Bedeutung der Eulerschen Formel liegt darin, dass sie explizit den Real- und Imaginärteil der Zahl $e^{\mathrm {i} x}$ angibt, die wir besser verstehen wollen. So können wir $e^{\mathrm {i} x}$ leicht in der Gaußschen Zahlenebene einzeichnen.

Für alle $x\in \mathbb {R}$ liegt $e^{\mathrm {i} x}$ auf dem Einheitskreis in der Gaußschen Zahlenebene.

In dieser Animation kann man sehen, wie sich der Punkt $e^{\mathrm {i} x}$ auf dem Einheitskreis mit wachsendem $x$ bewegt.

Als Nächstes beweisen wir die Eulersche Formel.

Theorem (Eulersche Formel)

Für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt $e^{\mathrm {i} x}=\cos(x)+\mathrm {i} \sin(x)$.

How to get to the proof? (Eulersche Formel)

Wir benutzen die Reihenentwicklung der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion, um die rechte Seite der Gleichung aufzuschreiben.

$\cos(x)+\mathrm {i} \sin(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}}+\mathrm {i} \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}}$

Wir müssen also $e^{\mathrm {i} x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} x)^{k}}{k!}}$ geschickt umformen, um dieses Ergebnis zu erhalten.

${\begin{aligned}&e^{\mathrm {i} x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} x)^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }\mathrm {i} ^{k}{\frac {x^{k}}{k!}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Ausrechnen von }}\mathrm {i} ^{k}\right.}\\[0.3em]=\ &1\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{4k}}{(4k)!}}+\mathrm {i} \cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{4k+1}}{(4k+1)!}}+(-1)\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{4k+2}}{(4k+2)!}}+(-\mathrm {i} )\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{4k+3}}{(4k+3)!}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Zusammenfassen der Summen mit Koeffizienten }}1,-1{\text{ und der Summen mit Koeffizienten }}\mathrm {i} ,-\mathrm {i} \right.}\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}}+\mathrm {i} \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\[0.3em]=\ &\cos(x)+\mathrm {i} \sin(x)\end{aligned}}$

In der obigen Rechnung haben wir ohne darüber nachzudenken, ob das erlaubt ist, die Reihenglieder umgeordnet. Das ist kein Problem, da die Reihe der Exponentialfunktion, und die Reihe der Sinus- und Kosinusfunktion absolut konvergieren. Somit können wir den Riemannschen Umordnungssatz anwenden und die Reihenfolge der Reihenglieder nach Belieben ändern.

To-Do:

Die mathematische Herleitung ist beinahe Deckungsgleich mit dem Beweis, bis auf die unsortierten Summanden und die Reihe von (Co)Sinus wurde noch nicht vorgestellt.

Proof (Eulersche Formel)

Sei $x\in \mathbb {R}$. Die Reihen von $e^{x},\cos(x)$ und $\sin(x)$ konvergieren absolut. Also können wir den Riemannschen Umordnungssatz anwenden und die Reihenglieder beliebig anordnen. Es gilt damit

${\begin{aligned}&e^{\mathrm {i} x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} x)^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }\mathrm {i} ^{k}{\frac {x^{k}}{k!}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Ausrechnen von }}\mathrm {i} ^{k}{\text{ und sortieren der entstehenden Terme nach Koeffizienten }}1,-1,\mathrm {i} ,-\mathrm {i} \right.}\\[0.3em]=\ &1\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{4k}}{(4k)!}}+\mathrm {i} \cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{4k+1}}{(4k+1)!}}+(-1)\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{4k+2}}{(4k+2)!}}+(-\mathrm {i} )\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{4k+3}}{(4k+3)!}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Zusammenfassen der Summen mit Koeffizienten }}1,-1{\text{ und der Summen mit Koeffizienten }}\mathrm {i} ,-\mathrm {i} \right.}\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}}+\mathrm {i} \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\[0.3em]=\ &\cos(x)+\mathrm {i} \sin(x)\end{aligned}}$

Polarkoordinaten für komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl in der Gaußschen Zahlenebene kann man auffassen als Punkt im $\mathbb {R} ^{2}$ mit den Koordinaten $(\operatorname {Re} z,\operatorname {Im} z)$. Die Zahl $z$ kann man auch anders beschreiben: Sie liegt auf dem Kreis mit dem Radius $r=|z|$ um den Ursprung und die Verbindungslinie zwischen der Zahl $z$ in der Gaußschen Zahlenebene und dem Ursprung schließt mit der Halbgerade der positiven reellen Achse einen Winkel $\varphi$ ein. Durch $r$ und $\varphi$ ist die Zahl $z$ eindeutig bestimmt.

To-Do:

Bild einer komplexen Zahl $z$, die durch $r,\varphi$ bestimmt ist, $\varphi >90^{\circ }$

Die Eulersche Formel besagt, dass für alle reellen Zahlen $\varphi$ folgende Gleichung erfüllt ist: $e^{\mathrm {i} \varphi }=\cos(\varphi )+r\cdot \mathrm {i} \sin(\varphi )$. Die Zahl $e^{\mathrm {i} \varphi }$ entspricht der komplexen Zahl auf dem Einheitskreis mit Winkel $\varphi$ zur positiven reellen Achse. Multiplizieren wir diese Zahl mit einer Zahl $r\in \mathbb {R} _{0}^{+}$, so erhalten wir $re^{\mathrm {i} \varphi }$. Das ist genau die komplexe Zahl $z$, die wir oben durch $r$ und $\varphi$ beschrieben haben.

To-Do:

Gleiches Bild wie vorher, nur beschriftet mit $z=re^{\mathrm {i} \varphi }$, dem Winkel $\varphi$, Radius $r=|z|$ und $=r\cos(\varphi )$ und $\mathrm {i} \sin(\varphi )$ für Real- und Imaginärteil

Ist eine komplexe Zahl $z$ in Polarkoordinaten gegeben, also $z=re^{\mathrm {i} \varphi }$, so können wir diese leicht in die Darstellung in kartesischen Koordinaten ($a+\mathrm {i} b$) umrechnen:

$z=re^{\mathrm {i} \varphi }=r\cos \varphi +r\cdot \mathrm {i} \sin \varphi$

Sei umgekehrt eine komplexe Zahl in kartesischen Koordinaten gegeben, d.h. $z=a+\mathrm {i} b$. Wie können wir diese in Polarkoordinaten darstellen?

Den Betrag der Zahl zu berechnen ist einfach: $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$. Schwieriger ist hingegen der Winkel $\varphi$. Wir müssen eine reelle Zahl $\varphi$ suchen, für die $a=r\cdot \cos \varphi$ und $b=r\cdot \mathrm {i} \cdot \sin \varphi$ gilt. Für einfache Beispiele, ist es oft am leichtesten eine Skizze zu machen und anhand der Skizze den Winkel $\varphi$ zu bestimmen. Man kann $\varphi$ auch mit folgender Formel berechnen: $\varphi ={\begin{cases}&+\arccos {\frac {x}{r}}\ {\text{für}}\ y\geq 0\\[0.3em]&-\arccos {\frac {x}{r}}\ {\text{für}}\ y<0\\[0.3em]\end{cases}}$