Limit of functions – Serlo

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A New Attempt with a Rough Plan[Bearbeiten]

Intuition[Bearbeiten]

We have an arbitrary function . This article deals with the question "How does behave in the neighborhood of a point , or near infinity?" And "Does tends to a particular value as we approach along the x-axis, or does it continue on to infinity?"

We will consider three example functions at the origin:

First Example[Bearbeiten]

Regardless of who we approach along the x-axis, tends towards .

Second Example[Bearbeiten]

Funktion f

Even though is not defined at , the function still tends towards the value at the point .

Third Example[Bearbeiten]

Die Vorzeichenfunktion \sgn

This case is not as easy as the previous two. From the left tends towards , from the right towards . If we assign the functional value of to the value of itself, i.e set , then can jump back and forth between and as well as between and .

Application Examples[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Unterabschnitte hervorheben (Wie?)

Limits at infinity:

In order to produce flash on a camera, capacitors are discharged within fractions of a second. Physically, the discharge of a capacitor can be written as .

Entladungskurve des Kondensators

For a positive initial voltage it doesn't matter how large or small we choose the time unit . It holds and in particular . How can we mathematically express that the voltage and therefore also the charge of the capacitor approaches ? To this we have to investigate , i.e. the limit of at infinity.

as a real number:

In introductory calculus, the area under the graph of a function on the interval is often approximated by the area of rectangles of equal width.

The thinner the rectangles, the more precisely they approximate the area under the curve. If we write for the width of a rectangle, we know that the area of a rectangle is the width times the height. The height of the rectangle is precisely the functional value of at the edge of the rectangle. For rectangle width we can calculate an approximation of the area under the curve of on the interval by the formula: , as long as we make sure the boundaries of summation fit the index . We can also calculate and give an explicit formula for the functional values of the function at the arguments since we don't allow rectangles to have a width . In essence, we have formulated the integral calculation as a problem wherein we want to find the limit of in .

Übergang zur Mathematik[Bearbeiten]

How can we as humans consider how a function "behaves" near a point? E.g. does the function increase? decrease? go to infinity? have a hole or jump discontinuity? Is the point a minimum or maximum? In typical introductory math courses, a simple method is to choose a few points near a given point and compute their functional values to obtain some relative idea or model of how the function looks. Now we want to formalize this procedure:

Let's consider Folgen and substitute the sequence elements into . Since these points should approach , let's consider functions for which holds. For example, it would be unwise to look at at the point but to use test values like .

By using the 's as our arguments that we will set into the function, this yields yet another sequence . We ask whether or not converges to a functional value in (remember if goes to infinity at the point then this sequence does not converge to a functional value). I.e. this is the same as asking whether exists.

We haven't yet discussed how many sequences we have to set into . Do we get enough information if we only choose one sequence and observe how it behaves as it tends towards ?. Let's consider the following example:

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Gif ohne anklicken lesbar machen und erstes Gif als dauer schleife laufen lassen


The sign function is given by

If we choose the sequence with and substitute this into , then we always get the value . If we only looked at this one sequence, then we would assume that converges to the value of 1 at the point . If we choose the sequence with , then we always get the value and now we see that the function doesn't have a unique limit at the point . So it is not sufficient to consider just one sequence. Thus, the function has to be have the same for all possible sequences, so that we can determine the existence of the limit value.

Definition by Sequences[Bearbeiten]

Definition (Limit of a Sequence)

Let be a function with , and . has a limit at the point , if for every sequence with and it holds: . If this is the case, then we write

Let be a function with und . has the limit value at infinity , if for every sequence with and it holds: . If this is the case, we write

Kurzer Nachtrag zur Definition über Folgen[Bearbeiten]

Als letzen Feinschliff mussten wir noch beachten, dass der Ausdruck nur sinnvoll ist, falls im Definitionsbereich von liegt. Deshalb fordern wir . Auch sollten wir nur in Punkten untersuchen, an die wir uns tatsächlich annähern können. Ist z.B. nur auf definiert, so ist es uns nicht möglich zu erfahren, was in der Umgebung von macht. Was allerdings möglich ist, ist nach einem Streben von im Punkt zu fragen. Unsere müssen also in , dem Abschluss von liegen.

Definition: über Epsilon Delta (Andere Person)[Bearbeiten]

Spielraum bei der Definition[Bearbeiten]

Dieser Abschnitt existiert, weil verschiedene Autoren und verschiedene Lehrbücher unterschiedliche Definitionen benutzen. Es kann gut sein, dass du in der Vorlesung nicht die Definition aus diesem Artikel gelernt hast, sondern eine der folgenden Variationen.

Es gibt die Möglichkeit, statt nur zu erlauben.

Unabhängig von der ersten Entscheidung hat man die Möglichkeit, die betrachteten Folgen noch weiter einzuschränken. Wollen wir das Verhalten von in der Nähe von betrachten, so können wir darüber diskutieren, ob es erlaubt ist, selbst als Wert "nahe an " in einzusetzen. Manche Autoren legen deshalb fest:

Für die betrachtetetn Folgen gilt (statt )

Anmerkung: Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen[Bearbeiten]

Vergleichen wir unsere Intuition mit dem Folgenkriterium der Stetigkeit, so stellen wir fest, dass es auch bei der Stetigkeit um das Streben von in einem Punkt geht. Vergleichen wir zusätzlich beide Definitionen über Folgen , so finden wir auch hier sehr große Ähnlichkeiten. Bei der Stetigkeit von im Punkt wird nur zusätzlich gefordert, dass gilt, weil der Ausdruck existieren muss. (Da , gilt insbesondere .) In der Tat gibt es Autoren, die Stetigkeit mithilfe von Grenzwerten von Funktionen definieren. Stetigkeit von in bedeutet nämlich nichts anderes, als dass gilt. Dies ist sogar unabhängig davon, welche Variante wir bei der Definition über Folgen wählen. Dies liegt bei der ersten Variationsmöglichkeit daran, dass wir die Einschränkung für die Frage nach Stetigkeit sowieso treffen müssen. Es ist zudem egal, ob wir oder fordern: Wenn für alle erlaubten Folgen in gegen strebt, so gilt dies auch für alle erlaubten Folgen in . Umgekehrt: Wenn für alle erlaubten Folgen in gegen strebt, so gilt dies auch für alle Folgen in .

Auch sei gesagt, dass die Definition von Stetigkeit über Grenzwerte von Funktionen ebenfalls mit der Epsilon-Delta-Definition dieses Kapitels funktioniert.

Bsp: Die Indikator-Funktion von [Bearbeiten]

Links und Rechtsseitige Grenzwerte[Bearbeiten]

Verwendung von einseitigen Grenzwerten[Bearbeiten]

"Später für Integrale: Raum der Regelfunktionen. Regelfunktion ist relativ abstrakt. Klassifizierbar als: f Regelfunktion gdw für alle rechts und linksseitiger Grenzwert existieren.

Evtl hilfreich[Bearbeiten]

Motivation und Herleitung[Bearbeiten]

Intuitive Erklärung[Bearbeiten]

Wir werden nun den Grenzwerte einer Funktion in einem Punkt betrachten. Dabei geht es darum, zu untersuchen wie sich die Funktion in der Nähe dieses Punktes verhält. Wir gehen mit den -Werten beliebig nahe an heran, und sehen uns dabei die Funktionswerte an.

Dabei ergeben sich Fragen, wie: Streben diese Funktionswerte irgendwo hin, d.h. haben sie ein Ziel? Gibt es je nach Annäherungsart (von links, von rechts, ...) verschiedene Ziele?

Der stetige Fall[Bearbeiten]

Betrachten wir zunächst den Fall, dass in stetig ist. Als Beispiel wählen wir und . Wie verhält sich , falls wir gegen gehen lassen? Nun ist es klar, dass sich dem Wert annähert. Dabei ist es vollkommen egal, ob wir uns von links oder rechts annähern.

Ebenso hätte es keinen Unterschied gemacht, wenn wir uns abwechselnd von links und rechts dem Wert genähert hätten. nähert sich dann genauso dem Wert . Mathematisch „sauber“ formuliert bedeutet dies: Für jede Folge mit gilt . Der Grund dafür ist, dass die Exponentialfunktion folgenstetig im Ursprung ist. Zur Erinnerung:

Definition (Folgenkriterium der Stetigkeit an einer Stelle)

Eine Funktion mit ist stetig an der Stelle , wenn für alle Folgen mit und gilt:

Es liegt nun auf der Hand den „Grenzwert von für gegen “ als zu definieren. Es folgt: Eine stetige Funktion besitzt daher in immer den Grenzwert .

Verständnisaufgabe: Bestimme die folgenden Grenzwerte:

Lösungen:

  1. Da stetig in ist, gilt für jeder Folge mit Gliedern aus und : . Also ist
  2. Da die Funktionen und stetig im Nullpunkt sind, ist auch die zusammengesetzte Funktion dort stetig. Für jeder reelle Nullfolge gilt daher: . Damit ist .

Nun stellen sich allerdings noch weitere Fragen, wie: Lässt sich der Grenzwert auch in einem Punkt berechnen, in dem die Funktion nicht stetig ist? Lässt sich der Grenzwert auch in Punkten bestimmen, die nicht im Definitionsbereich der Funktion liegen?

Der unstetige Fall[Bearbeiten]

In der Praxis bedeutet die Unstetigkeit einer Funktion in einem Punkt , in den meisten Fällen, dass die Funktion dort einen Sprung hat. Betrachten wir dazu das Beispiel Diese Funktion „springt“ im Ursprung auf den Funktionswert , ist aber sonst überall konstant gleich null. Nähern wir uns nun dem Ursprung von rechts bzw. links an, so ist klar, dass immer konstant gleich null bleibt:

Nun kommen wir zu einem entscheidenden Punkt: Soll den Wert null annehmen dürfen, oder nicht. In unserer Charakterisierung mit Folgen, die wir im stetigen Fall benutzt hatten, bedeutet dies: Betrachten wir nur solche Nullfolgen mit für alle , oder ist auch für beliebig viele erlaubt?

  • Im ersten Fall würde für jede Nullfolge (mit ) gelten: . Definieren wir , so existiert dieser Grenzwert.
  • Im zweiten Fall hingegen gilt beispielsweise für die konstante Nullfolge : . Hingegen für die Nullfolge : . Der Grenzwert von für würde nicht existieren, da er nicht eindeutig wäre.

Dieser Punkt ist in der Analysis-Literatur nicht eindeutig festgelegt. In der moderneren Literatur wird meistens wie im zweiten Fall vorgegangen. Daher wollen auch in unserer Definition des Grenzwertes solche Folgen mit zulassen. Unsere (vorläufige) Definition des Grenzwerts einer Funktion in einem Punkt des Definitionsbereichs lautet somit:

Eine Funktion mit besitzt in den Grenzwert , in Zeichen , falls für alle Folgen mit und gilt:

Verständnisaufgabe: Bestimme die folgenden Grenzwerte, falls vorhanden:

  1. mit
  2. mit

Lösungen:

  1. Bei handelt es sich um die im Nullpunkt stetige Betragsfunktion . Daher gilt für jeder Nullfolge : . Damit ist .
  2. Dieser Grenzwert existiert nicht. Für die Nullfolge gilt . Für die Nullfolge hingegen ist .

Motivation[Bearbeiten]

Man könnte nun fragen, wofür wir Grenzwerte von Funktionen überhaupt brauchen. Im ersten Semester begegnen sie einem überwiegend bei Stetigkeit bzw. stetiger Fortsetzbarkeit, allerdings kann man mit ihnen z.B. auch uneigentliche Integrale berechnen. Das praktische an Grenzwerten von Funktionen ist, dass man am Ende ein sehr einfache Schreibweise dafür hat, dass man beliebig nahe am Punkt betrachtet. Man kann mit ihnen also das Verhalten einer Funktion beim Streben nach einem Punkt charakterisieren.

Vorbereitung auf das Folgenkriterium[Bearbeiten]

Nun geht es darum, Grenzwerte von Funktionen mathematisch zu beschreiben.

Wir gehen bei der Betrachtung von mit unseren -Werten sehr nahe an heran. Es bietet sich an, dies mithilfe von Folgen zu beschreiben, die den Grenzwert haben. Da man die -Werte in einsetzen möchte, sollte die Folge innerhalb des Definitionsbereiches laufen. Die -Werte sollten ein Ziel haben. Dies bedeutet, dass die Folge auch einen Grenzwert haben muss. Weiterhin war für uns wichtig, wie sehr die Funktion entschlossen ist, die -Werte zu lenken. Wir wollen etwas nur einen Grenzwert nennen, wenn die Funktionswerte immer gegen den gleichen Wert streben, egal auf welche Art wir uns nähern. Es ist also noch nicht ausreichend, wenn für jede Folge mit Grenzwert gilt, dass die Folge einen Grenzwert hat. Zusätzlich dazu müssen alle diese Funktionswertfolgen den gleichen Grenzwert haben.

Definition über das Folgenkriterium[Bearbeiten]

Definition (Grenzwert von Funktionen)

Sei eine Funktion, und . hat in den Grenzwert , wenn für jede Folge mit und gilt: .