Limit theorems – Serlo

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Limit proofs using the -definition are quite laborious. In this chapter we will study some limit theorems that simplifies matters.

Limit theorems[Bearbeiten]

The limit theorems are the following:

Theorem (Limit theorems)

Let and be two convergent sequences with and . Let also be arbitrary. Then we have

  • for all

If furthermore and for all , then we also have

For and for all :

Warning

These rules can only be applied if the respective sequences converge. As soon as one of the involved sequences diverge, we cannot use the rules.

Also note that and are not real numbers and therefore no valid limits. If, for instance, , then is divergent and we cannot use the limit theorems.

Monotonicity rule: limit estimates[Bearbeiten]

We also have the following monotonicity rule, which can be used to estimate limits:

Theorem (Monotonicity rule)

Le and be two convergent sequences. If for almost all , then the limits satisfy the inequality

Example: Computing the limit of a sequence[Bearbeiten]

Consider the following sequence

This sequence is convergent. A proof using the -definition would be rather complicated. Fortunately we can break the whole sequence apart into individual sequences where the convergence and limits are known. For example . Using the limit theorems we can compute the limit step by step:

In this manner we can show that is convergent and the limit is . Unfortunately this derivation is flawed: We are applying the limit theorems before we showed that the individual sequences are convergent. That those sequences do indeed converges becomes clear only after we have already employed the limit theorems. Therefore the above is not a valid proof. Instead we could proceed as follows:

We start with the sequences of which we know that they converge. By applying the limit theorems in reverse order we can derive the convergence and limit of the original sequence . The symbol is the logical conjunction, which should be read as "and".

Writing the proof in the above way is time-consuming and no fun. Most of the time we prefer writing down the first version. We use the limit theorems even though we don't know if the sequences converge. We must argue afterwards, that it was okay to use the limit theorems in the first place. But this is the case, because at the end, everything converges. Since the last steps worked, we were allowed to do the steps before. So if we want to write the proof like in the first version, we need to make sure at the end to give a justification why applying the limit theorems was a valid thing to do.

Problems with divergent sequences[Bearbeiten]

As stated many times, we cannot use the limit theorems if one of the partial sequences diverges. If we forget this, we can quickly get nonsensical results:

Question: What is wrong in the above argumentation?

is not a real number and thus is a divergent sequence with . A sequence is convergent only if the limit is a real number. The product rule cannot be applied.

Proof of limit theorems[Bearbeiten]

Absolute value rule[Bearbeiten]

Theorem (Absolute value limit rule)

Let be a convergent sequence with limit . Then .

How to get to the proof? (Absolute value limit rule)

If then the distance becomes arbitrary small. We need to show that also becomes arbitrary small. In the chapter Absolute value we proved the following inequality:

Thus we have

This means that if is smaller than , by transitivity this is true also for . We can use this in our convergence proof. Let . We need to find , so that for all . Because of we know that there is , so that for all .

But as we have seen, if then also . So we can set . Since is true for all , it follows that is true for all .

Proof (Absolute value limit rule)

Let be arbitrary. Because converges to , there is with for all . From the inverted triangle inequality it follows

for all .


Umkehrung der Betragsregel bei Nullfolgen[Bearbeiten]

Ist eine Nullfolge, so gilt auch die Umkehrung der Betragsregel. Aus folgt :

Theorem

Sei eine Folge. Wenn ist, konvergiert die Folge gegen Null. Es ist dann .

Proof

Wegen folgt die Aussage

Zu jedem gibt es ein mit für alle .

Nun ist . Damit gilt auch folgende Aussage

Zu jedem gibt es ein mit für alle .

Dies ist gleichbedeutend mit .

Die Betragsregel kann nur bei Nullfolgen umgekehrt werden. Für allgemeine Folgen geht dies nicht. Für die divergente Folge ist beispielsweise . Hier ist und .

Die Summenregel[Bearbeiten]

Theorem (Grenzwertsatz für Summen)

Sei eine konvergente Folge mit Grenzwert und eine konvergente Folge mit Grenzwert . Dann konvergiert auch die Folge mit .

How to get to the proof? (Grenzwertsatz für Summen)

Wir müssen zeigen, dass der Betrag beliebig klein wird. Wir können verwenden, dass die Beträge und beliebig klein werden. Deswegen sollten wir eine Abschätzung von nach oben finden, bei der die Beträge oder vorkommen. Hier gibt es einen Trick: Wir schreiben den Term geschickt um und verwenden dann die Dreiecksungleichung

Weil und beliebig klein werden, sollte auch ihre Summe beliebig klein werden. Somit sollte unsere Abschätzung ausreichen. Jedoch müssen wir noch einen Epsilon-Beweis für unsere Vermutung formulieren. Auch hier können wir einen Trick verwenden: In der Summe haben wir zwei Beträge und jeden schätzen wir gegen ab. Wenn nämlich und ist, dann ist

Wir wissen, dass es ein mit für alle gibt. Analog existiert ein mit für alle . Für unseren Beweis brauchen wir gleichzeitig und . Also sollte gleichzeitig und gelten. Unser Ziel ist es, ein zu finden, sodass aus sowohl als auch folgt. Eine Möglichkeit ist, zu wählen. Aus folgt nämlich und .

Proof (Grenzwertsatz für Summen)

Sei beliebig. Es gibt ein mit für alle , weil ist. Außerdem gibt es wegen ein mit für alle . Wir wählen . Sei beliebig. Es ist

Die Faktorregel[Bearbeiten]

Theorem (Faktorregel für Grenzwerte)

Sei beliebig und eine konvergente Folge mit Grenzwert . Dann konvergiert auch die Folge mit .

How to get to the proof? (Faktorregel für Grenzwerte)

Um zu beweisen, müssen wir für fast alle zeigen. Formen wir diese Ungleichung um:

Wir können nicht pauschal durch teilen, weil auch Null sein könnte. Jedoch ist der Fall einfach zu zeigen. Hier müssen wir beweisen, dass ist. Da ist, folgt , was zu zeigen war. Schauen wir uns den Fall an:

Weil gegen konvergiert, gibt es ein , sodass für alle ist.

Proof (Faktorregel für Grenzwerte)

Sei beliebig. Sei außerdem und eine konvergente Folge mit Grenzwert .

Fall 1:

Es ist und damit

Fall 2:

Wähle so, dass für alle ist. Ein solches existiert, weil gegen konvergiert. Es ist dann

Dies beweist, dass ist.

Die Produktregel[Bearbeiten]

Theorem (Produktregel für Grenzwerte)

Sei eine konvergente Folge mit Grenzwert und eine konvergente Folge mit Grenzwert . Dann konvergiert auch die Folge mit .

Proof (Produktregel für Grenzwerte)

Sei beliebig.

Wir müssen beweisen, dass für alle gilt, wobei wir in Abhängigkeit von geschickt wählen müssen. Dabei können wir verwenden, dass und beliebig klein werden, weil die Folgen gegen und gegen konvergieren. Um dies nutzen zu können, müssen wir geschickt umformen und so nach oben abschätzen, dass wir die Beträge und erhalten. Hierzu verwenden wir einen Trick, der für diese Art von Beweis typisch ist. Wir addieren den Term , welcher gleich Null ist:

Wenn wir also für alle zeigen können, dass beide Summanden kleiner als sind, dann sind wir fertig.

Abschätzung des zweiten Summanden

Beim zweiten Summanden ist das leicht: Die Folge konvergiert gegen und nach der Faktorregel mit gilt . Damit gilt nach der Summenregel, d.h. es gibt ein so, dass für alle gilt .

Abschätzung des ersten Summanden

Auch beim ersten Summanden wäre es schön, wenn wir die Faktorregel anwenden können. Das Problem ist nur, dass von abhängt und folglich kein Kandidat für das aus der Faktorregel ist.

Wir haben in einem vorherigen Kapitel bewiesen, dass konvergente Folgen beschränkt sind. Diesen Satz können wir hier auf die Folge anwenden: Sei so dass für alle .

Dann gilt für alle , dass und genauso wie für den zweiten Summanden liefert uns die Faktorregel mit (beachte, dass im Gegensatz zu nicht von abhängt) ein mit für alle . Also gilt für alle die folgende Ungleichung: .

Zusammenfassung

Wir brauchen nur noch ein passend gewähltes . Für alle muss die Bedingung und erfüllt sein, damit beide Abschätzungen gültig sind. Daher wählen wir . Dieses hängt nur von ab, da und nur von abhängen.

Für alle gilt nun

Die Potenzregel[Bearbeiten]

Theorem (Grenzwertsatz für Potenzen)

Sei eine konvergente Folge mit Grenzwert . Sei eine beliebige natürliche Zahl. Dann konvergiert die Folge mit .

How to get to the proof? (Grenzwertsatz für Potenzen)

Die Potenzregel ist eine Folgerung der Produktregel. So können wir für die Folge zeigen:

Durch -fach Anwendung erhalten wir:

Nun werden die „Pünktchen“-Beweise in der Analysis nicht als formal saubere Beweise angesehen. Deswegen führen wir den Beweis über vollständige Induktion über .

Proof (Grenzwertsatz für Potenzen)

Dieser Satz folgt aus der Produktregel mithilfe eines Induktionsbeweises.

Theorem whose validity shall be proven for the :

1. Base case:

1. inductive step:

2a. inductive hypothesis:

2b. induction theorem:

2b. proof of induction step:

Example (Beispiel zur Potenzregel)

Für alle können wir beweisen, dass die Folge gegen konvergiert:

Die Quotientenregel [Bearbeiten]

Theorem (Quotientenregel für Grenzwerte)

Sei eine konvergente Folge mit Grenzwert und sei eine konvergente Folge mit Grenzwert sowie für alle . Dann konvergiert die Folge mit .

How to get to the proof? (Quotientenregel für Grenzwerte)

Es genügt zu zeigen, dass ist, denn aus der Produktregel folgt

Für den Beweis müssen wir zeigen, dass beliebig klein wird. Dabei können wir verwenden, dass beliebig klein wird, weil gegen konvergiert. Dazu formen wir geschickt um:

Nun können wir kontrollieren, d.h. beliebig klein machen. Das im Nenner stört uns nicht weiter, da es konstant ist. Wir müssen uns also nur noch um im Nenner kümmern. Da wir beliebig klein machen können, reicht es, wenn wir nach oben durch eine Konstante abschätzen. Dazu müssen wir nach unten abschätzen.

Um nach unten abzuschätzen, verwenden wir nun die Voraussetzung, dass ist. Daher gibt es ein , so dass ab diesem Index alle Folgenglieder von die Ungleichung erfüllen. Also gilt für alle . Für den gesamten Ausdruck erhalten wir damit

Diesen Ausdruck bekommen wir beliebig klein, da wir beliebig klein kriegen, und der Vorfaktor konstant ist. Hierzu wählen wir zu einem beliebigem den Index so groß, dass für alle gilt

Dann erhalten wir insgesamt für alle :

Diese Beweisskizze müssen wir nun in einen formalen Beweis gießen, um zu zeigen.

Proof (Quotientenregel für Grenzwerte)

Sei beliebig. Wegen gibt es ein , so dass für alle ist. Außerdem gibt es ein mit für alle . Dann gilt für alle :

Es gilt daher . Mit der Produktregel folgt nun

Die Wurzelregel[Bearbeiten]

Theorem (Grenzwertsatz für Potenzen)

Sei eine nichtnegative Folge mit Grenzwert . Sei außerdem . Dann konvergiert die Folge mit .

How to get to the proof? (Grenzwertsatz für Potenzen)

Wir müssen zum Beweis den Betrag abschätzen. Wieder können wir kontrollieren, da wir wissen, dass diese Beträge beliebig klein werden. Also brauchen wir erneut einen Term, in dem vorkommt. Dazu können wir eine Hilfsformel als Abschätzung verwenden, die wir im Kapitel Rechenregeln für Wurzeln bewiesen hatten: Für und gilt

Diese lässt sich auf Absolutbeträge verallgemeinern. Für gilt

Für bekommen wir

Somit gilt . Wenden wir diese Hilsformel mit und an, so erhalten wir

Den Ausdruck können wir nun beliebig klein machen, indem wir beliebig klein machen. Wir erhalten:

Mit können wir also die Zielungleichung beweisen.

Proof (Grenzwertsatz für Potenzen)

Sei beliebig sowie eine nichtnegative Folge mit Grenzwert . Sei außerdem beliebig. Wegen gibt es ein mit für alle . Für alle gilt

Die Monotonieregel[Bearbeiten]

Theorem (Monotonieregel für Grenzwerte)

Seien und Folgen mit Grenzwerten und . Es gelte außerdem für fast alle . Dann gilt .

Summary of proof (Monotonieregel für Grenzwerte)

Diese Regel zeigen wir durch einen Widerspruchsbeweis. Wir nehmen an, dass unter den Voraussetzungen des Satzes wäre, und leiten daraus eine widersprüchliche Aussage her.

Proof (Monotonieregel für Grenzwerte)

Angenommen . Wegen und gibt es zu Indizes mit für alle und für alle . Daraus folgt für alle :

Also für alle . Dies ist ein Widerspruch zu für fast alle . Daher muss gelten.

Anmerkungen zur Monotonieregel[Bearbeiten]

Einen Spezialfall erhalten wir, wenn wir (konstant) setzen:

Sei eine Folge mit Grenzwert und (bzw. ) für fast alle . Dann gilt (bzw. ).

Aus obigen Satz folgt:

Sei eine konvergente Folge und fast alle Folgenglieder liegen in einem Intervall , dann liegt auch ihr Grenzwert in .

Verbinden wir die beiden Fälle „“ und „“ aus der Monotonieregel, dann erhalten wir:

Seien und Folge mit Grenzwerten und , und es gelte für fast alle . Dann gilt auch .

Warning

Die Monotonieregel gilt nicht mit „“ beziehungsweise „“. Betrachte beispielsweise die beiden Folgen und . Dann gilt für alle , aber es ist und somit ist der Grenzwert von nicht kleiner als . Auch ist für alle die Ungleichung erfüllt, aber es ist .