Mean value theorem – Serlo

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The mean value theorem is one of the central theorems of differential calculus. It states (roughly speaking) that the slope of the secant between two different points of a differentiable function somewhere between these two points is assumed to be a derivative. Thus, the mean value theorem links the secant slope with the derivative of a function. Global properties, which can be expressed using the secant slope, can thus be traced back to properties of the derivative using the mean value theorem. In the section „Schrankensatz“ we will examine a useful application. Others then follow in the chapters „Kriterium für Konstanz und Monotoniekriterium“, „Ableitung und lokale Extrema“ and „Regel von L'Hospital“. The main theorem of differential and integral calculus is also based on the mean value theorem.

Motivation[Bearbeiten]

Erklärung des Mittelwertsatzes und Beispiele (YouTube-Video from YouTube-Kanal "MJ Education")

We've already viewed at [Mathe für Nicht-Freaks: Satz von Rolle|Satz von Rolle]]. To repeat: Rolle's theorem states that for each continuous function , which is differentiable in and for which must give an argument , which satisfies :

Skizze zum Satz von Rolle

How can we generalize this theorem for the case ? Does the derivative for a also have to have a certain value? First of all, it is noticeable that does not necessarily have to be :

Image 1 about the mean-value theorem


Let's reconsider what the situation was with the situation with Rolle's theorem. On the one hand, the slope of the tangent at the graph is in equal to . On the other hand, the slope of the secant through the two boundary points and from equal to , since and thus . The secant between the points and and the tangent in the point are thus parallel:

figure 2 about mean-value heorem

Be more general . Consider the secant slope between the points and . This is unequal to zero and corresponds to the mean slope of in the interval . For example, if we consider the function as a position function of a car as a function of time, the average slope corresponds to the average speed of the car in the time from to .

If the car at the moment drives faster than (meaning: The derivation is greater than the secant slope ) so it is has to exist a moment at which it has driven more slowly than , otherwise it cannot reach the average speed . During an acceleration or braking process, the car takes on all speeds between the starting and final speeds and does not simply jump from the starting to the final speed (here we assume that the speed function is continuous). As the car was sometimes faster and sometimes slower than , there must exists a moment at wich it has exactly the speed <{v}</math>. Analogously we can argue, if the car at the moment drives more slowly than . For our function this means that there must actually be a with . This is the message of the mean value theorem.

Image 3 about the mean-value theorem

So there seems to be a with . In the following we want to form this intuition into a theorem and prove it formally correctly. In our argumentation we have used, for example, that the derivation is continuous. Now the studied function does not have to be constantly differentiatable. However, we will show in the proof that the mean value theorem is also fulfilled in this case.

Mean value theorem[Bearbeiten]

Illustration to mean value theorem: Be a function that can be derived to . The secant of between and is assumed being the tangent slope at least at one .

The mean value theorem of differential calculus is a generalization of Satzes von Rolle and reads as follows:

Theorem (Mittelwertsatz)

Be a continuous function with and differentiable on the open interval . Then there is a with .

Hint

The prerequisites for applying the mean value theorem correspond to those of the theorem of Rolle, only that need not apply. The prerequisites required must apply for the same reasons as for the set of roles. Similarly, the mean value theorem only provides a statement of existence. The with this property exists, but often cannot be determined explicitly in practice. Also, the has not to be unique. The following graphics show a function which assumes the secant slope at two points and :

Beispiel einer Funktion, die die Sekantensteigung zwischen a und b an zwei verschiedenen Stellen als Tangensteigung annimmt.

A special case are linear functions for with . In this case for all . In other words: the secant slope is assumed to be the tangent slope everywhere:

Special case of the mean-value theorem

Proof[Bearbeiten]

How to get to the proof? (Mean value theorem)

As already mentioned above, we want to prove the mean value theorem with the help of Rolle's theorem. To do this, we have to take the given function an auxiliary function so that we can apply Rolle's theorem to it. For this we need a function that is continuous at and differentiable at . In addition, it should apply that . Then for . If we can also choose the auxiliary function so that , the equation results from . This is equivalent to , the formula of the mean value theorem. The function

has the desired properties. In particular

The following graphics illustrate the relationship between the function and the auxiliary function :

Proof (Mean value theorem)

Be a continuous function with and can be differentiated. A suitable auxiliary function is given by

is differentiable at and is continuous at , as firstly fulfils these conditions by our assumption at the beginning and secondly is a composition of and the first degree polynomial . Furthermore

According to Rolle's theorem there is a with . A was found, which fulfils . Thus follows the claim of the mean value theorem.

Equivalence of mean value theorem and Rolle's theorem[Bearbeiten]

The mean theorem and the Satz von Rolle are actually equivalent. To show this, we have to deduce the theorem of Rolle from the mean value theorem and prove the mean value theorem from the theorem of Rolle. But we have already done the latter in the proof of this chapter, so that we only have to deduce the theorem of Rolle from the mean value theorem.

Be a continuous function with and is differentiable. is therefore a function to which the mean value theorem can be applied. Furthermore, applies, so that all prerequisites of the set of role are given. According to the mean value theorem there is now a with , because with is . So there is actually a with , which is exactly the statement of Rolle's theorem. Thus, the mean value theorem and the theorem of Rolle are equivalent.

Übungsaufgabe[Bearbeiten]

Exercise (Aufgabe)

Sei eine beliebige stetige, in differenzierbare Funktion mit . Welchen Wert muss die Ableitungsfunktion auf jeden Fall annehmen?

Solution (Aufgabe)

Da alle Prämissen des Mittelwertsatzes gegeben sind, ist dieser hier anwendbar. Deshalb existiert ein mit . Die Ableitungsfunktion muss also auf jeden Fall den Wert annehmen.

Application: Proof of inequations[Bearbeiten]

The mean value theorem can often be used to prove useful inequations. The trick is to first apply the mean value theorem to an auxiliary function (often on one side of the inequation). Then we estimate the boundings to the expression appropriately.

Beispielaufgabe: Beweis einer Ungleichung[Bearbeiten]

Exercise (Beweis einer Ungleichung mit dem Mittelwertsatz)

Beweise, dass folgende Ungleichung für alle gilt:

Proof (Beweis einer Ungleichung mit dem Mittelwertsatz)

Wir wählen als Hilfsfunktion

Sei beliebig. Die Funktion ist als Komposition stetiger Funktionen auf stetig und auf differenzierbar. Nach dem Mittelwertsatz gibt es daher ein mit

Nun können wir abschätzen:

Damit gilt die Ungleichung:

Diese Ungleichung ist äquivalent zur zu beweisenden Behauptung

Logarythm inequations[Bearbeiten]

Für alle ist die Ungleichung erfüllt.

Exercise (Logarythm inequations)

Show that the following inequation is fulfilled for all , using the mean value theorem :

How to get to the proof? (Logarythm inequations)

For the inequation follows

Der Ausdruck entspricht dem Differenzenquotienten im Mittelwertsatz angewendet auf die Funktion . Es gibt also ein mit . Wenn wir abschätzen können, so sind wir am Ziel. Nun ist und mit für können wir die Ungleichung beweisen. Schauen wir uns nun die fehlende Ungleichung an:

Wieder erscheint der Differenzenquotient welcher nach dem Mittelwertsatz gleich einer Ableitung für ein ist. Nun ist und damit können wir die fehlende Ungleichung beweisen.

Proof (Logarythm inequations)

Sei beliebig. Wir definieren durch . Dann ist stetig auf dem kompletten Definitionsbereich und ist auf differenzierbar. Damit ist der Mittelwertsatz anwendbar. Nach diesem existiert ein mit

Proof step:

Wegen ist

Proof step:

Wegen ist

Hint

Die Ungleichung lässt sich für alle erweitern. Für gilt

Ist nun , so gibt es ein mit . Damit gilt dann

sowie

Dabei haben wir für die Abschätzungen die beiden oben bewiesenen Ungleichungen verwendet. Also gilt für alle :

Anwendung: Der Schrankensatz [Bearbeiten]

Definition und Beweis des Schrankensatzes[Bearbeiten]

Theorem (Schrankensatz)

Sei stetig und in differenzierbar. Weiter sei die Ableitungsfunktion beschränkt. Dann gibt es mit ein , sodass für alle gilt. Insbesondere gilt die Abschätzung, falls auf stetig differenzierbar ist.

Proof (Schrankensatz)

Seien beliebig gewählt mit . Schränken wir nun den Definitionsbereich von auf ein, so bleiben Stetigkeit und Differenzierbarkeit erhalten. Der Mittelwertsatz ist anwendbar. Also gibt es ein mit .

Da nach Voraussetzung beschränkt ist, existiert . Für dieses gilt für alle . Somit ist . Dies ist äquivalent zur Behauptung.

Wenn stetig differenzierbar auf ist, so besitzt die stetige Ableitungsfunktion ein Maximum und Minimum. Sie ist damit beschränkt und der Satz kann dann auch für diese Funktion angewandt werden.

Lipschitz-Variante des Schrankensatz[Bearbeiten]

Lipschitz-Variante des Schrankensatz: Eine differenzierbare Funktion mit beschränkter Ableitung ist Lipschitz-stetig, wobei als Lipschitz-Konstante das Supremum der Ableitungsbeträge gewählt werden kann.

Die Ungleichung für alle besagt, dass Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ist. Daher können wir den Schrankensatz auch folgendermaßen formulieren:

Theorem (Lipschitz-Variante des Schrankensatz)

Sei stetig und auf differenzierbar. Weiter sei die Ableitungsfunktion beschränkt. Dann ist Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante . Insbesondere ist jede auf stetig differenzierbare Funktion Lipschitz-stetig.

Example (Lipschitz-Stetigkeit von Sinus und Cosinus)

und sind stetig und differenzierbar auf . Außerdem sind deren Ableitungen beschränkt, da für alle gilt:

Damit sind die beiden Funktionen Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante . Insbesondere gelten für alle die Abschätzungen

und

Verständnisfrage: Die Umkehrung des Schrankensatzes lautet: „Sei stetig und in differenzierbar. Weiter sei Lipschitz-stetig. Dann ist die Ableitungsfunktion beschränkt.“ Ist diese Aussage richtig?

Ja, diese Aussage stimmt ebenfalls. Da differenzierbar ist existiert für jedes der Grenzwert

Da Lipschitz-stetig ist, gibt es für alle ein mit

Mit der Stetigkeit der Betragfunktion und den Grenzwertsätzen gilt damit

Also ist beschränkt.

Praxis: Geschwindigkeitskontrolle mit Lichtschranken[Bearbeiten]

Abbildung einer Lichtschranke

Der ein oder andere, der schon einmal geblitzt worden ist, ist unbewusst mit dem Mittelwertsatz in Berührung gekommen. Zumindest wenn es sich um einen Blitzer Lichtschranken-Technik gehandelt hat. Stell dir vor, du fährst mit dem Auto auf einer Landstraße. Die zulässige Höchstgeschwindigkeit beträgt . Die zurückgelegte Strecke deines Autos ist durch die differenzierbare Ortsfunktion gegeben, die von der Zeit abhängt. Dabei entspricht die Ableitung der Ortsfunktion zum Zeitpunkt der momentanen Geschwindigkeit, d.h. . Bei einer Geschwindigkeitsmessung mit Lichtschranken durchfährt man zwei Lichtschranken, die an zwei festen Streckenpunkten und platziert sind. Passierst man die beiden Lichtschranken zu den Zeitpunkten und , so beträgt die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen diesen beiden Messpunkten

Da die Ortsfunktion die Voraussetzungen des Mittelwertsatzes erfüllt, gibt es einen Zeitpunkt mit

Die gemessene Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den beiden Schranken muss man also mindestens zu einem Zeitpunkt gefahren sein. Ist nun , wobei eine gewisse Toleranzgrenze ist (üblicherweise 3%), so wird man geblitzt und zur Kasse gebeten! :( Um Fehlmessungen zu vermeiden, werden in der Praxis mehr als zwei Lichtschranken verwendet und mehr als eine Messung durchgeführt. Das Prinzip bleibt aber dasselbe. Eine weitere Technik zur Geschwindigkeitsmessung beruht im Übrigen auf dem Doppler-Effekt und verwendet ein Radar zur Ermittlung der Geschwindigkeit.

Zweiter Mittelwertsatz[Bearbeiten]

Es gibt eine weitere Variante des Mittelwertsatzes, welcher zweiter oder auch verallgemeinerter Mittelwertsatz genannt wird. Deswegen wird der „normale“ Mittelwertsatz auch erster Mittelwertsatz genannt. Wir werden sehen, dass auch der zweite Mittelwertsatz aus dem Satz von Rolle folgt. Für die zweite Variante benötigen wir neben unserer Funktion noch eine Funktion , die ebenfalls die Voraussetzungen des Mittelwertsatzes erfüllt. Der zweite Mittelwertsatz ist nützlich, da sich aus ihm die Regel von L'Hospital herleiten lässt.

Satz und Beweis[Bearbeiten]

Theorem (Zweiter Mittelwertsatz)

Seien zwei stetige Funktionen, die auf differenzierbar sind. Weiter sei für alle . Dann ist und es existiert ein mit

Proof (Zweiter Mittelwertsatz)

Angenommen es gilt , so gibt es nach dem Satz von Rolle ein mit . Dies widerspricht der Voraussetzung des Satzes, dass für alle die Ungleichung gilt und so muss gelten. In Analogie zur Hilfsfunktion aus dem Beweis zum Mittelwertsatz, wählen wir hier die Hilfsfunktion

Diese ist auf stetig und auf differenzierbar, als Komposition stetiger bzw. differenzierbarer Funktionen. Außerdem gilt . Damit ist der Satz von Rolle anwendbar, und es gibt ein mit

Dies ist äquivalent zu .

Aufgabe zum zweiten Mittelwertsatz[Bearbeiten]

Exercise (Gegenbeispiel zum zweiten Mittelwertsatz)

Betrachte die Polynomfunktionen

Zeige, dass kein existiert mit

Wie verträgt sich dieses Ergebnis mit dem zweiten Mittelwertsatz?

Solution (Gegenbeispiel zum zweiten Mittelwertsatz)

Es gilt

Andereseits ist für alle :

Damit muss stets für alle sein. Nun muss für den zweiten Mittelwertsatz die Voraussetzung für alle erfüllt sein. Es ist auf stetig und folgende Ungleichungen gelten:

und

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es daher ein mit . Also sind die Voraussetzungen des zweiten Mittelwertsatzes nicht erfüllt, und dieser kann somit hier nicht angewandt werden.

Bemerkungen[Bearbeiten]

Bemerkung 1: Offensichtlich erhalten wir für den ersten Mittelwertsatz aus dem Zweiten. Den Zweiten haben wir aber aus dem Satz von Rolle gefolgert. Da der erste Mittelwertsatz und der Satz von Rolle äquivalent sind, folgt also auch der zweite Mittelwertsatz aus dem Ersten. Die beiden Mittelwertsätze sind daher äquivalent.

Bemerkung 2: Lassen wir die Voraussetzung für alle weg, so gilt der zweite Mittelwertsatz immer noch in der Form

Verständnisfrage: Warum gilt der zweite Mittelwertsatz auch in dieser allgemeineren Form?

Angenommen, es gibt (mindestens) ein mit . Gilt außerdem , so gibt es mit dem Satz von Rolle ein mit , und auf beiden Seiten der Gleichung steht Null. Gilt , so funktioniert der Beweis analog zu dem oben mit der Hilfsfunktion .

Übersicht der Folgerungen aus den Mittelwertsätzen[Bearbeiten]

In der Einleitung hatten wir schon erwähnt, dass sich aus den Mittelwertsätzen zahlreiche wichtige Resultate folgern lassen.

  • Wir haben den Schrankensatz für differenzierbare Funktionen mit beschränkter Ableitung bewiesen. Mit diesem lässt sich die Lipschitz-Stetigkeit zahlreicher Funktionen beweisen.
  • Eine weitere praktische Folgerung ist das Kriterium für Konstanz. Dieses besagt, dass eine Funktion konstant ist, falls ist (Die Ableitung ist konstant Null). Damit können wir den Identitätssatz der Differentialrechnung herleiten. Dieser sagt aus, dass sich zwei Funktionen mit identischer Ableitung lediglich um eine Konstante unterscheiden. Er ist ein wesentlicher Bestandteil des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Eine weitere Konsequenz aus dem Kriterium für Konstanz ist die Charakterisierung der Exponentialfunktion über die Differentialgleichung .
  • Ebenso lässt sich mit dem Mittelwertsatz das Monotoniekriterium für differenzierbare Funktionen beweisen. Dieses stellt einen Zusammenhang zwischen dem Monotonieverhalten der Funktion und dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion her. Genauer ist genau dann monoton steigend (bzw. fallend), falls (bzw. ) ist. Daraus kann man ein hinreichendes Kritrerium für die Existenz eines Extremums einer Funktion in einem Punkt herleiten.
  • Aus dem zweiten Mittelwertsatz können die Regeln von L'Hospital gefolgert werden. Mit deren Hilfe lassen sich zahlreiche Grenzwerte von Quotienten zweier Funktionen mit Hilfe der Ableitung berechnen.

Die aufgeführten Punkten sind im folgenden Übersichtsdiagramm zusammengefasst:

diagramm about the corollars of the mean value theorem