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Das Rechnen mit komplexen Zahlen der Form
ist uns bereits bekannt. Die Multiplikation komplexer Zahlen kann jedoch zeitaufwändig sein, da zunächst Klammern aufgelöst werden müssen. So ergibt sich folgender Rechenweg, um das Produkt
zu bestimmen:
Es ist nicht direkt ersichtlich, was das Produkt zweier komplexer Zahlen der Form
ist. Man muss zuerst die Klammern auflösen und dann die Produkte zusammenfassen. Damit eng verknüpft ist auch die Wurzelbestimmung
schwierig. Da dieser Ausdruck eine Wurzel einer Summe ist, kann er nicht vereinfacht werden.
Mit der Polardarstellung gibt es eine andere Form, mit der komplexe Zahlen aufgeschrieben werden können. In dieser Darstellung können komplexe Zahlen schneller multipliziert werden und es kann leichter eine Wurzel gezogen werden. Das durch die Änderung der Darstellung Berechnungen leichter durchgeführt werden können, sieht man am Beispiel der Primfaktorzerlegung. Während man beispielsweise bei den Zahlen
und
nicht direkt sieht, was ihr größter gemeinsamer Teiler ist, ist dies in der Primfaktorzerlegung beider Zahlen einfacher. Mit
und
ist der größte gemeinsame Teiler gleich
, da
und
die gemeinsamen Teiler sind. Ähnlich vereinfacht die Polardarstellung die Multiplikation und das Wurzelziehen komplexer Zahlen.
Was macht die Multiplikation?[Bearbeiten]
To-Do:
Abschnitt überarbeiten und formatieren
Wie wir bereits oben gesehen haben, ist nicht direkt ersichtlich, was das Ergebnis ist, wenn wir zwei komplexe Zahlen multiplizieren. Nehmen wir als Beispiel die Zahlen 1+i und 2+i. Das Ergebnis der Multiplikation ist 1+3i. Doch wie kommt man darauf und hat dies für eine Bedeutung? In diesem Abschnitt wollen wir dir anschaulich zeigen, was die Multiplikation zweier komplexer Zahlen ist und wie dies mathematisch begründet werden kann.
Nehmen wir eine beliebige reelle Zahl, zum Beispiel 2. Wir haben bereits im Artikel Komplexe Zahlen: Einleitung und Motivation gesehen wie wir diese Zahl auf der Gausschen Zahlenebene darstellen können (siehe Bildergallerie unten). Nun multiplizieren wir diese Zahl mit i. Das Ergebnis ist
und kann ebenfalls auf der Gausschen Zahlenebene dargestellt werden. Auffällig dabei ist, dass es zu einer 90°-Drehung im mathematisch positiven Drehsinn kommt. Multipliziert man das Ergebnis der ersten Rechnung erneut mit
, also
, so erhält man eine reelle Zahl, da
. Ein Blick auf die Darstellung in der Gausschen Zahlenebene verrät: Es hat erneut eine Drehung um 90° stattgefunden. Dieses Spiel kann beliebig fortgeführt werden,
,
, und so weiter.
Die Zahl 2 auf der Gausschen Zahlenebene
Die Zahl zwei wird mit i multipliziert, was einer Drehung um 90° im mathematisch positiven Sinn entspricht.
Erneute Multiplikation mit -i führt zu einer erneuten Drehung mit der Zahl -2 als Ergebnis.
Eine dritte Drehung -2*i=-2i
Durch eine vierte Drehung um 90° haben insgesamt um 360° Grad gedreht und landen wieder bei der 2.
Doch was passiert, wenn eine komplexe Zahl mit i multipliziert wird?
Nehmen wir uns eine beliebige komplexe Zahl
mit
, beispielsweise
, und multiplizieren diese mit
. Wir erhalten:
. Stellt man diese Multiplikation in der Gausschen Zahlenebene dar, so wird schnell ersichtlich, dass auch hier eine 90°-Drehung stattgefunden hat.
Die Zahl 3+i wird mit i multipliziert, was einer Drehung um 90° entspricht und -1+3i als Ergebnis hat.
Multipliziert man eine komplexe Zahl mit einer reellen Zahl, so kommt es zu einer Streckung/Stauchung der komplexen Zahl um den jeweiligen Multiplikationsfaktor (die reelle Zahl, mir der multipliziert wird). Beispiel:
.
To-Do:
Bild einfügen: Streckung/Stauchung einer komplexen Zahl in der Zahlenebene durch Multiplikation mit einer reellen Zahl
Was geschieht nun, wenn wir diese beiden Vorgänge miteinander kombinieren, also zwei komplexe Zahlen miteinander multiplizieren?
Betrachten wir allgemein die Multiplikation einer komplexen Zahl
mit einer anderen Zahl
. Das Ergebnis können folgendermaßen als Summe zweier komplexer Zahlen darstellen und so auf die schon betrachteten Fälle zurückführen:
.
Hier wird
um den Faktor
gestreckt sowie um 90 Grad gedreht und um den Faktor
gestreckt. Die Summe der beiden entstehenden Vektoren ist das Ergebnis
, wie in der Abbildung zu sehen.
Mit dem Satz des Pythagoras erhalten wir für den Betrag des Ergebnisses
:
.
Also ist der Betrag des Produktes zweier komplexer Zahlen das Produkt der Beträge.
Wie aus obenstehender Abbildung ersichtlich ist, setzt sich der Winkel
des aus der Multiplikation resultierenden Vektors aus zwei Winkeln
und
zusammen:
. Der Winkel
ist offensichtlich einfach der zur ursprünglichen Zahl
gehörende Winkel, also
. Für den Winkel
gilt aufgrund der im rechtwinkligen Dreieck geltenden Beziehung
:
Das ist doch aber genau der Tangens des Winkels von
! Also gilt offenbar
, und somit auch
. Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen addieren sich also die Winkel.
To-Do:
Evtl. mit Grafik verdeutlichen: Bei Rotation um den Ursprung (Multiplikation versch. komplexer Zahlen) ändern sich die Beziehungen nicht, das Rechteck zwischen den Vektoren bleibt erhalten
Insgesamt haben wir so herausgefunden: Die Multplikation einer komplexen Zahl
mit einer komplexen Zahl
ist eine Drehstreckung, genauer eine Streckung um
und eine Drehung um
. Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen werden also die Beträge multipliziert und die Winkel addiert.
Wir haben bereits festgestellt, dass die Darstellung
nicht besonders geeignet ist, um komplexe Zahlen zu multiplizieren: Es muss das Distributivgesetz bemüht werden, und vor allem bei wiederholten Multiplikationen oder Potenzen von komplexen Zahlen ist das umständlich. Anschaulich ist klar, dass eine komplexe Zahl bereits mithilfe ihres Betrags und ihres Winkels in der Zahlenebene lokalisiert werden kann. Daher würden uns diese beiden Informationen schon genügen, um das Ergebnis einer komplexen Multiplikation zu bestimmen. Es stellt sich also die Frage, ob wir eine geeignetere Darstellung von komplexen Zahlen finden können, die es ermöglicht, die gefundenen Beziehungen für den Betrag und den Winkel für die Berechnung zu nutzen. Das wollen wir im nächsten Abschnitt untersuchen.
Trigonometrische Polardarstellung[Bearbeiten]
Was ist die trigonometrische Polardarstellung?[Bearbeiten]
Die Multiplikation von komplexen Zahlen ist eine Drehstreckung in der komplexen Ebene. Für
wird
um
gestreckt und um den Winkel, den
und die
-Achse einschließen, gedreht. Für die Multiplikation wäre es hilfreich, wenn wir
mithilfe seines Betrags
und seines Winkels
darstellen können. Wir kennen bisher nur die Darstellung
, wobei
der Realteil und
der Imaginärteil ist. Wir werden nun diese Darstellung umformen, sodass wir
in Abhängigkeit vom Winkel und Betrag schreiben können. Dafür können wir
und
durch
und
ausdrücken. Wir schauen uns
in der komplexen Ebene an.
Wir können
und den Betrag
so einzeichnen, dass ein rechtwinkliges Dreieck mit Winkel
zwischen den Seiten der Länge
und
.
Wir wissen schon, dass
die Hypotenuse dieses Dreiecks ist. Da dies ein rechtwinkliges Dreieck ist, können wir einfach
mit
und
in Beziehung setzen. Wir wissen:
Also folgt
sowie
. Für
ergibt sich dann

.
Das
einen Winkel angibt, können wir ihn sogar in
wählen.
Ist diese Darstellung eine gute Alternative zu
? Dafür müssen wir zeigen, dass jede komplexe Zahl eine trigonometrische Polardarstellung hat. Also für jede komplexe Zahl
gibt es
und
, so dass
. Dann können wir in Beweisen und Rechenaufgaben über komplexe Zahlen die Polardarstellung nutzen. Aber das reicht noch nicht, damit es eine gute Alternative ist. Wir wollen auch Zahlen, die in trigonometrischer Polardarstellung gegeben sind, in unsere alte Darstellung umrechnen können. Dafür müssen wir beweisen, dass es für alle
und
reelle Zahlen
und
gibt mit
. Wenn wir das gezeigt haben können wir die trigonometrische Polardarstellung komplexer Zahlen
genauso wie die kartesische Darstellung
verwenden. Diese Umrechnungen wollen wir nun beweisen.
Berechnung der trigonometrischen Polardarstellung aus der kartesischen Darstellung[Bearbeiten]
Proof (Umformung zur Polardarstellung)
Wir müssen Existenz der Darstellung für alle
und Eindeutigkeit im Fall
zeigen.
Proof step: Existenz der trigonometrischen Darstellung
Sei
. Um die trigonometrische Polardarstellung von
zu berechnen, bestimmen wir zunächst den Betrag
der komplexen Zahl:
Die Berechnung des Betrags ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras. Nach diesem ist nämlich
:
Im Spezialfall
ist
. Hier kann
beliebig gewählt werden, denn es ist
für alle
. Gehen wir nun davon aus, dass
und damit
ist. Der Winkel
kann aus folgenden Beziehungen bestimmt werden:
Zur Berechnung von
benutzen wir die erste Gleichung und
. Bei der Umstellung nach
muss man darauf achten, in welchen Quadranten die komplexe Zahlen liegt. Der Wertebereich von
ist
. Unser gesuchtes
liegt in
, wenn die komplexe Zahl oberhalb der
-Achse liegt bzw. wenn
, ist
. Für
kann der Winkel über
bestimmt werden. Denn dann gilt
Außerdem gilt auch
. So wie wir das wollen. Insgesamt ergibt sich für den Winkel:
Alternativ kann der Winkel auch über
berechnet werden. Es ist
Mit den so berechneten Werten ergibt sich
Proof step: Eindeutigkeit für 
Nun wollen wir noch die Eindeutigkeit von
und
im Fall von
zeigen. Sei
mit
. Dann gilt
ist eindeutig bestimmt. Seien
und
mit
. Dann
und
. Wegen
folgt auch
sowie
. Nun multiplizieren wir die beiden Gleichungen:
Also gibt es ein
mit
. Wegen
folgt
. Folglich muss
und damit
. Damit haben wir die Eindeutigkeit von
bewiesen.
Kartesische Darstellung aus der trigonometrischen Polardarstellung[Bearbeiten]
Proof (Umformung in kartesische Darstellung)
Zum einen ergibt sich diese Zusammenhang direkt aus der folgenden Schreibweise für die trigonometrische Polardarstellung:
Diesen Zusammenhang können wir auch direkt aus dem Diagramm für die Polardarstellung herleiten:
Der Sinus und der Kosinus von
ergibt sich über:
Durch Umstellung beider Formeln erhalten wir
Damit können wir auch die kartesische Darstellung aus
und
herleiten:
Wirkung der komplexen Multiplikation[Bearbeiten]
Wir wollen nun versuchen die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen mithilfe dieser neuen Darstellung auszudrücken. Hierfür multiplizieren wir zwei komplexe Zahlen
und
mit
und
:
Die bekannten Additionstheoreme für Sinus und Cosinus lauten
Setzen wir das in die obige Rechnung ein, erhalten wir
Wir sehen also, dass die Radien von
und
multipliziert und die Winkel addiert wurden. Durch die Multiplikation mit
wurde die komplexe Zahl
also um den Winkel von
gedreht und um den Radius von
gestreckt.
Exponentielle Polardarstellung[Bearbeiten]
Potenzdarstellung auf dem Einheitskreis[Bearbeiten]
Wir kennen nun die Polardarstellung
einer komplexen Zahl
. Außerdem haben wir die Multiplikation mit einer komplexen Zahl
als Drehstreckung kennengelernt (Streckung um
, Drehung um
). Die Abbildung
bewirkt also die Drehung einer gegebenen komplexen Zahl
um den Winkel
gegen den Uhrzeigersinn. Eine Streckung wird nicht bewirkt, da gilt:
Die Abbildung
dreht also die komplexe Zahl
um den Winkel
:
Wählen wir
fest und variieren wir den Winkel
, so erhalten wir Punkte, die auf dem Einheitskreis mit Radius
liegen. Wir können so die Drehung von
um den Ursprung als Funktion des Winkels
auffassen:
Diese Funktion wird komplexe Funktion genannt.
Was geschieht, wenn wir nacheinander um den Winkel
und anschließend um den Winkel
drehen? Nach den vorherigen Überlegungen wird die Drehung durch Multiplikation mit
bzw.
bewirkt. Somit sind zwei aufeinanderfolgende Drehungen um
bzw.
gleichbedeutend mit der Multiplikation mit
. Anschaulich ist außerdem klar, dass die Hintereinanderausführung zweier Drehungen um
und
das gleiche Ergebnis liefern muss wie eine einzelne Drehung um
. Aus dieser Überlegung folgt die Gleichheit
Wir sehen, dass
die charakteristische Gleichung
einer Potenz erfüllt. Es sollte also ein geeignetes
existieren, sodass die Gleichung
erfüllt ist. Wie können wir
bestimmen? Leiten wir
ab, so erhalten wir:
Die Funktion
entspricht also ihrer eigenen Ableitung, multipliziert mit dem Faktor
. Mit der Produktregel der Ableitung und der Eigenschaft der Exponentialfunktion
folgt
. Wir erhalten so:
Diese Gleichung heißt eulersche Formel. Mit
folgt daraus die sogenannte eulersche Identität:
Definition der exponentiellen Polarform[Bearbeiten]
- ausgehend vom Einheitskreis nun die Darstellung der komplexen Zahlen entwickeln: Multiplikation mit Betrag/Radius r ergibt den richtigen Punkt auf der Zahlenebene (wurde schon am Anfang des Artikels erklärt, deshalb reicht es kurz)
- Definition der exponentiellen Polarform
Ausblick: Formaler Beweis der eulerschen Formel[Bearbeiten]
- Warum ist die Herleitung oben kein Formaler Beweis?
- Wie kann man die Formel
formal beweisen?
- Wie sind die Begriffe überhaupt definiert
- Man kann sinus und kosinus über die e funktion definieren. Aber dann drehen wir uns im Kreis bzw. die Formel gilt per definition
- Oft Definition über (Potenz-)Reihe. Potenzreihe ist eine unendliche verallgemeinerung von Polynomen. (Potenzreihen von sin, cos, e evtl angeben) Dann kann man durch Rechnen die Gleichung herleiten (muss hier nicht gemacht werden)
Herleitung über Ableitung[Bearbeiten]
To-Do:
Inhalte in die Herleitung des Zusammenhangs
im Abschnitt Potenzdarstellung auf dem Einheitskreis platzieren (wurden dort schon zur Herleitung benutzt)
hat die beiden charakteristischen Eigenschaften:


Die momentane Änderung von
ist also nichts anderes als die Streckung von
mit dem Wert
. Damit kann auch die Formel
hergeleitet werden
Nachprüfung der Eigenschaften
Eigenschaften der exponentiellen Polarform[Bearbeiten]
- Die komplexe e-Funktion
ist periodisch. Das lässt sich intuitiv verstehen, wenn man Kosinus und Sinus betrachtet, die ebenfalls periodisch sind.
- Die komplexe e-Funktion ist periodisch, das lässt sich intuitiv verstehen, wenn man Kosinus und Sinus betrachtet, die (bei reellen Argumenten) ebenfalls periodisch sind.
![{\displaystyle e^{\mathrm {i} \phi }=r[\cos(\phi )+\mathrm {i} \sin(\phi )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e579627c5c6d507c4cf944d9d6b594e8eb5735c)

Das Bild veranschaulicht die Funktion
. Da
periodisch verläuft, muss der Graph von
auch periodisch sein. Durch die Polardarstellung komplexer Zahlen wissen wir, dass
genau alle komplexen Zahlen mit Betrag
durchläuft. Also zeigt das Bild, wie der Einheitskreis gezeichnet wird. (Kopiert von Darstellung von komplexen Funktionen)