Real exponents

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Potenzen mit beliebiger Basis

To-Do:

Einleitung

Definition (Potenz)

Sei $a\in {ℝ}^{+}$ und $x\in ℝ$. Dann definieren wir

$a^x:=\exp (\ln (a)\cdot x)$

To-Do:

Übereinstimmung mit Definition für rationale Exponenten beweisen

Theorem

Sei $a\in {ℝ}^{+}$ und $r\in \mathbb{Q}$. Dann gilt

$a^r=\exp (\ln (a)\cdot r)$

How to get to the proof?

Wir schreiben $r=\frac{p}{q}$ mit $p\in \mathbb{Z}$ und $q\in \mathbb{N}$. Die Potenz $a^r$ haben wir definiert als $\sqrt[q]{a^p}$. Die $q$-te Wurzel ist als Umkehrfunktion der Funktion ${ℝ}^{+}\to {ℝ}^{+},x\mapsto x^q$ definiert. Wenn wir zeigen wollen, dass $\exp (\ln (a)\cdot r)$ die $q$-te Wurzel aus $a^p$ ist, ist also zu überprüfen, ob

$\exp (\ln (a)\cdot r{)}^q=a^p$

gilt. Dazu verwenden wir die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und erhalten

$\exp (\ln (a)\cdot r{)}^q=\exp {(\ln (a)\cdot \frac{p}{q})}^q=\exp (\ln (a)\cdot \frac{p}{q}\cdot q)=\exp (\ln (a)\cdot p)$

Genauso können wir umgekehrt den Faktor $p$ im Argument der Exponentialfunktion in eine Potenz umwandeln:

$\exp (\ln (a)\cdot p)=\exp (\ln (a){)}^p=a^p$

Im letzten Schritt kam uns gelegen, dass $\ln$ die Umkehrfunktion von $\exp$ ist.

Proof

Sei $r=\frac{p}{q}$ mit $p\in \mathbb{Z}$ und $q\in \mathbb{N}$. Es gilt

$\exp (\ln (a)\cdot r{)}^q=\exp {(\ln (a)\cdot \frac{p}{q})}^q=\exp (\ln (a)\cdot p)=\exp (\ln (a){)}^p=a^p$

Nach Definition der $q$-ten Wurzel gilt also

$\exp (\ln (a)\cdot r)=\sqrt[q]{a^p}=a^r$