Real exponents – Serlo
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Potenzen mit beliebiger Basis
[Bearbeiten]Einleitung
Definition (Potenz)
Sei und . Dann definieren wir
Übereinstimmung mit Definition für rationale Exponenten beweisen
Theorem
Sei und . Dann gilt
How to get to the proof?
Wir schreiben mit und . Die Potenz haben wir definiert als . Die -te Wurzel ist als Umkehrfunktion der Funktion definiert. Wenn wir zeigen wollen, dass die -te Wurzel aus ist, ist also zu überprüfen, ob
gilt. Dazu verwenden wir die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und erhalten
Genauso können wir umgekehrt den Faktor im Argument der Exponentialfunktion in eine Potenz umwandeln:
Im letzten Schritt kam uns gelegen, dass die Umkehrfunktion von ist.
Proof
Sei mit und . Es gilt
Nach Definition der -ten Wurzel gilt also