Statistik: Trend und Saisonkomponente

Üblicherweise wird bei der Schätzung des Trends Q und der Saisonkomponente S so vorgegangen, dass zuerst der Trend Q bestimmt wird. Es wird dann y vom Trend bereinigt, d.h. von Beobachtungen y_t werden die Trendwerte Q_t abgezogen. Aus den resultierenden Restwerten wird dann die saisonale Komponente errechnet. Man kann auch beide Komponenten mit Hilfe der multiplen Regression auf einmal bestimmen.

Schätzung des Trends mit der Regressionsgerade

Wenn wir von einem linear verlaufenden Trend ausgehen können, schätzen wir ihn mit dem Regressionsmodell

${\hat {y}}_{t}=a+bt$ bzw. $y_{t}=a+bt+d_{t}$ $(t=1,2,\dots ,T;y_{t}=y_{1},y_{2},\dots ,y_{T})$

mit den Lösungen

$b={\frac {\sum _{t=1}^{T}(t-{\overline {t}})(y_{t}-{\overline {y}})}{\sum _{t=1}^{T}(t-{\overline {t}})^{2}}}$

bzw. mit Verschiebungssatz ausgedrückt

$={\dfrac {\sum _{t=1}^{T}{t\cdot y_{t}}-T\cdot {\overline {t}}\cdot {\overline {y}}}{\sum _{t=1}^{T}{t^{2}}-T\cdot {\overline {t}}^{2}}}$

und

$a={\overline {y}}-b\cdot {\overline {t}}.$

Die Trendwerte Q_t sind dann

$Q_{t}={\hat {y}}_{t}=a+bt$.

Beispiel Herrenbekleidung

Die monatlichen Aufträge für die letzten 3 Jahre eines Herstellers für Herrenbekleidung (in 1000 Stück) sind durch die unten folgende Zeitreihe in der Zeitreihe Herrenbekleidung gegeben, von der ein Ausschnitt vorliegt. Die Grafik zeigt, daß offensichtlich ein steigender linearer Trend mit saisonalem Jahreszyklus vorliegt.

Monatliche Aufträge für Polohemden eines Herstellers für Herrenbekleidung

t	yt	t·yt	t2
1	20	20	1
2	22	44	4
3	24	72	9
4	21	84	16
...	...	...	...
666	828	15889	16206

Wir ermitteln zuerst die arithmetischen Durchschnitte:

${\overline {t}}={\frac {666}{36}}=18{,}5$ und entsprechend ${\overline {y}}_{t}=23$. Dann erhalten wir für den Regressionsansatz

${\hat {y}}_{t}=a+bt$

die Regressionskoeffizienten nach dem Verschiebungssatz

$b={\frac {15889-36\cdot 18{,}5\cdot 23}{16206-36\cdot 18{,}5^{2}}}=0{,}1470$

und

$a={\overline {y}}-b\cdot {\overline {t}}=23-0{,}1470\cdot 18{,}5=20{,}2810$

Die geschätzten Trendwerte sind ${\hat {y}}_{t}=a+bt$, z.B.

${\hat {y}}_{1}=20{,}2810+0{,}1470\cdot 1\approx 20{,}43$,

${\hat {y}}_{2}=20{,}2810+0{,}1470\cdot 2\approx 20{,}57$,

usw.

Die Residuen sind

$y_{1}-{\hat {y}}_{1}=20-20{,}43=-0{,}43$,

$y_{2}-{\hat {y}}_{2}=22-20{,}57=1{,}43$,

usw.

t	yt	a + bt	dt
1	20	20,43	-0,43
2	22	20,57	1,43
3	24	20,72	3,28
4	21	20,87	0,13
5	18	21,02	-3,02
6	20	21,16	-1,16
...	...	...	...
34	26	25,28	0,72
35	23	25,43	-2,43
36	24	25,57	-1,57

Liegt ein nichtlinearer Trendverlauf vor, kann auch ein nichtlinearer Regressionsansatz gewählt werden. Es können neben t auch andere exogene Variablen in das Modell aufgenomen werden.

Schätzung der Saisonkomponente

Gehen wir von dem additiven Modell

$y_{t}=Q_{t}+S_{t}+r_{t}$

aus, bleibt nach Schätzung der Trendkomponente Q noch die Abweichung

$d_{t}=y_{t}-Q_{t}$

übrig, die sich zusammensetzt aus

$d_{t}=S_{t}+r_{t}$

Wir nennen deshalb d_t auch den trendbereinigten Zeitreihenwert. Es soll nun noch die saisonale Komponente S_t ermittelt werden. Wir könnten etwa versuchen, diese zyklische Komponente mit einer Sinusfunktion zu schätzen. Einfacher ist aber folgendes Vorgehen: Wir ermitteln die trendbereinigten Zeitreihenwerte d_t. Dann wird aus allen Werten d_t, die die gleiche Saison betreffen, ein arithmetischer Durchschnitt gebildet, der als Schätzung für die saisonale Komponente verwendet wird.

Beispiel Herrenbekleidung

Für die Januar-Saisonkomponente werden alle Januarwerte der d_t gemittelt:

$S_{jan}=S_{1}=S_{13}=S_{25}={\frac {-0{,}43-0{,}19-2{,}96}{3}}=-1{,}19$

usw.

$r_{t}=y_{t}-Q_{t}-S_{t}$

ergibt dann die nichterklärte Restschwankung.

Wir können jetzt eine Prognose für den Zeitpunkt T+k ermitteln als

${\hat {y}}_{T+k}=Q_{T+k}+S_{T+k},$

wobei wir für S_t den Saisonwert für diejenige Saison wählen, die in T+k auftritt.

Beispiel für eine Prognose:

Wir wollen für März des 4. Jahres eine Prognose des Auftragseingangs machen. Es handelt sich um den Zeitpunkt t = 39.

Wir erhalten den Trend als

$Q_{39}=20{,}281+39\cdot 0{,}147=26{,}014$

und die Saisonkomponente als

$S_{3}={\frac {3{,}28+2{,}51+4{,}75}{3}}=3{,}51$.

Die Prognose errechnet sich nun als

$26{,}014+3{,}51=29{,}524$.

Multiplikative Verknüpfung der Zeitreihen-Komponenten

Bisher wurde von einer additiven Überlagerung des Trends durch die Saisonkomponente ausgegangen, d. h. die Komponenten wurden als unabhängig angesehen. Häufig nehmen aber die zyklischen Schwankungen mit steigendem Trend zu. Es könnte hier beispielsweise das multiplikative Modell

$y_{t}=Q_{t}\cdot K_{t}\cdot r_{t}$

vorliegen. Wir können den Ansatz logarithmieren und erhalten

$\log y_{t}=\log Q_{t}+\log S_{t}+\log r_{t}$

Mit dem logarithmierten Ansatz führen wir die Zerlegung des Modells in seine Komponenten durch, wie oben beschrieben.

↓  Glättungsverfahren

↑  Zeitreihenanalyse

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