Statistik: Zeitreihenanalyse

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Einführung

Zeitreihen sind Beobachtungen, die im Lauf der Zeit erhoben wurden. Bei der Analyse von Zeitreihen versuchen wir, die Beobachtungen durch den Faktor Zeit zu erklären. Wir suchen nach bestimmten Gesetzmäßigkeiten, nach denen diese Zeitreihen zustande kommen.

Für die optische Unterstützung stellen wir eine Zeitreihe als Streudiagramm dar. Um den Verlauf, die Entwicklung des Merkmals darstellen, können wir die Punkte zu einer Kurve (Polygonzug) verbinden.

Wir haben hier beispielsweise das Bruttoinlandsprodukt der Bundesrepublik Deutschland (Quelle: © Statistisches Bundesamt Deutschland 2005) der Quartale 2001 bis 2005 gegeben.

Stichtag

Mrz 01

Jun 01

Sep 01

Dez 01

Mrz 02

Jun 02

BIP

514,51

522,63

531,51

544,91

519,19

531,66

Stichtag

Sep 02

Dez 02

Mrz 03

Jun 03

Sep 03

Dez 03

BIP

546,06

551,9

524,4

533,59

550,76

556,12

Stichtag

Mrz 04

Jun 04

Sep 04

Dez 04

Mrz 05

BIP

537,36

547,85

557,21

564,82

539,78


Zeitreihe des deutschen Bruttoinlandsprodukts (Milliarden €) für die Quartale der Jahre 2001 bis 2005

Modell der Zeitreihe

Die Zeitreihenanalyse erfordert die Konzipierung der Zeitreihe als Modell:

Wir betrachten einen Beobachtungszeitraum mit T vielen Zeitpunkten t. Zu einem Zeitpunkt t gehört die Beobachtung yt des Merkmals y.

Da Zeitangaben häufig unhandlich bei der Berechnung sind (z. B. 1.3.1996), empfiehlt es sich, die Zeitpunkte durchzunummerieren, z.B. t = 1, 2, ... , n.

Beispiel Großhandel

Es liegen n = 60 Quartalsumsätze des Gartenbedarfsgroßhandels Rosalinde vor. Die Quartale sind durchnummeriert als t = 1, ... , 60. Es sind hier nur die ersten Beobachtungen wiedergegeben. Die komplette Zeitreihe befindet sich in Zeitreihe Rosalinde.

Stichtag zum Ende des Monats Quartal Umsatz in Mio. € Linearer Trend

Mrz 90

1

52,19

42

Jun 90

2

48,69

44

Sep 90

3

49,28

46

 

...

...

...

Stichtag zum Ende des Monats Saisonaler Zyklus Konjunktureller Zyklus Restschwankung

Mrz 90

6,00

3,06

1,13

Jun 90

0,00

5,66

-0,96

Sep 90

-6,00

7,39

1,89

 

...

...

...


Zeitreihe der Quartalsumsätze des Großhandels Rosalinde

Wir sehen, dass die Tendenz der Umsätze steigend ist. Es scheint sich außerdem ein vermutlich konjunktureller Zyklus abzuzeichnen, der z. B. 1992 ein Tief und 1995 ein Hoch hatte. Und es ist deutlich ein einjähriger, saisonaler Zyklus zu erkennen, der auch aus der Tabelle ersichtlich ist.

Wir können also die Komponenten der Zeitreihe unterscheiden:

  • Trend Q
  • Konjunkturelle Schwankung K
  • Saisonale Schwankung S
  • Restschwankung r

Sind diese Komponenten unabhängig voneinander, gehen wir vom additiven Modell aus:


Zerlegung der Zeitreihe Rosalinde in die einzelnen Komponenten
Summe der Zeitreihenkomponenten ohne Restschwankung

Oft überlagern sich mehrere zyklische Schwankungen. Es gibt hier spezielle Verfahren, die Zyklen zu identifizieren.

Ein Problem in der Zeitreihenanalyse ist die Wahl des richtigen Modells. Bei den einfacheren Modellen beschränkt man sich meist auf die Bestimmung einer glatten Komponente, die aus Trend und/oder konjunktureller Komponente gebildet wird, einer saisonalen Komponente und die Restschwankung.


↓  Trend und Saisonkomponente
↑  Regressionsanalyse
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