Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen

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Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit
Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen · Satz von Picard-Lindelöf
Lineare Theorie: Liouville'sche Formel


Die Sätze von Picard-Lindelöf und Peano liefern die Existenz lokaler Lösungen. Die Frage, ob man diese Lösung „immer weiter“ fortsetzen kann, bis man zu einer nicht-fortsetzbaren Lösung gelangt, wird durch den folgenden Satz positiv beantwortet. Auf Grund des hier vorgestellten Beweises wird die nicht-fortsetzbare Lösung gelegentlich auch als maximale Lösung bezeichnet. Man verwechsle dies aber nicht mit dem Begriff der maximalen Lösung eines nicht-eindeutig lösbaren Anfagswertproblems (für stetiges ).

Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung[Bearbeiten]

Sei und stetig. Weiter sei eine Lösung von

auf . Dann gibt es ein und eine Lösung obiger Differentialgleichung auf mit den Eigenschaften:

  • auf .
  • Es gibt kein , so dass zu einer Lösung auf fortgesetzt werden kann.

Beweis[Bearbeiten]

Setze

wird zu einer partiell geordneten Menge vermöge

und .

Tatsächlich ist eine induktiv geordnete Menge, denn es gilt ja:

  • , da .
  • Es sei eine Kette und . Definiere dann für
, falls .
Dann ist wohldefiniert, denn zu gilt nach Definition der Kette stets oder . Nun ist ein Intervall der Form für ein , da zu jedem ein existiert mit und somit . Offenbar ist dann eine obere Schranke für die Kette .

Nach dem Lemma von Kuratowski-Zorn besitzt ein maximales Element . Dieses erfüllt die im Satz formulierten Bedingungen.

Wikipedia-Verweis[Bearbeiten]