Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Lineare Theorie: Liouville'sche Formel

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Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit
Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen · Satz von Picard-Lindelöf
Lineare Theorie: Liouville'sche Formel


Satz[Bearbeiten]

Sei ein Intervall, stetig und eine Matrixlösung von

d. h., ist differenzierbar mit . Dann gilt für alle die liouvillesche Formel

Beweis[Bearbeiten]

Seien und mit . Für

gilt für . Mit gilt daher

Als erstes zeigt man, dass die Störung unerheblich ist. Sei dazu die symmetrische Gruppe der Ordnung . Setze

Nach der Leibniz-Formel für die Determinante gilt

mit

Aus für folgt für jedes . Also ist

Seien die Eigenwerte von (für festes ). Da die Determinante einer Matrix das Produkt ihrer Eigenwerte und die Spur einer Matrix die Summe ihrer Eigenwerte ist, folgt

Dies impliziert

für alle .

Für

gilt

also

für alle

Literatur[Bearbeiten]

  • Carmen Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications, 2. Auflage. Texts in Applied Mathematics 34, Springer-Verlag, 2006, ISBN 0-387-30769-9

Wikipedia-Verweis[Bearbeiten]